三角形的边角关系（奥数）_奥赛辅导课件--三角形的边角关系（1）

奥数辅导系列,三角形的边角关系,/fjseo001,1.如图1,在ABC中,C=90,AC=BC,AD平分CAB交BC于D,DEAB于E,若AB=6,则DEB的周长为( ) A.5 B.6 C. 7 D.8,C,A,B,D,E,B,2.如果ABC的三个外角的度数之比是3:4:5,那么这个三角形是( )A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形,C,图1,/fjseo001,3.在ABC中,AB=5,AC=9,则BC边上的中线AD的长的取值范围是_.,A,B,C,D,E,2AD7,延长AD到E,使DE=AD,连结BE.,证BDECDA,得DE=AC.在ADE中,4AE14.即42AD14.2AD7.,/fjseo001,4.若三角形的三边长度均为整数,其中两边的差是7,且三角形的周长是奇数,则第三边长可能是( )A.9 B.8 C.7 D.6,5.一个三角形的三条边的长分别是a,b,c(a,b,c都是质数),且a+b+c=16, 则这个三角形是( )A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.直角三角形或等腰三角形,不妨设三角形三边长度为a,b,c,且a-b=7.则a与b一奇一偶.又a+b+c为奇数,所以c一定为偶数,可能是8,B,不妨设a=2,bc则b+c=14,又c-b2,所以c-b=0, b=c=7.选(B),B,/fjseo001,6.（年江苏初二）已知的三个内角为角，令，则，中锐角的个数至多为（）,把，分别看成是，的外角，因为，中最多只有一个是钝角，故，中最多也只有一个是锐角,/fjseo001,7.(1998年重庆)三角形的三个内角分别为，则的取值范围是（）,，（），（）， （） （），,/fjseo001,8.(2000年江苏初二)锐角ABC中,ABBCAC,且最大内角比最小内角大24,则A的取值范围是_.,解:ABBCAC, CAB,依题意知 C=24+B,又A+B+C=180,B= , C= A解得 52A68,156-A,2,204-A,2,156-A,2,204-A,2,52A68,/fjseo001,9.(第7届初二2试)在ABC中, B=2C,则AC与2AB之间的大小关系是( )A.AC2AB B.AC=2ABC.AC2AB D.AC2AB,A,B,C,D,D,解:如图,延长CB到D使DB=AB,连结AD.在ABD中,AB=BD,所以BAD=D,又ABC是ABD的外角,所以ABC=2D.得D=C,AD=AC.因为在ABD中,AB+BDAD,所以2ABAC,/fjseo001,10.(14届江苏竞赛)已知等腰三角形的周长为12,则腰长a的取值范围是( )A.a6 B.a3 C. 4a 7 D. 3a6,解:设底边为b,则 2a+b=12 2a12 2ab 由得 b=12-2a,代人,得2a12-2a, a3. 由得,a63a6. 故选D,D,/fjseo001,11.(2004年四川竞赛)若不等边三角形的两条高的长分别为4和12,且第三条高的长也为整数,则这条高的长为( ).,解：设高为，所对应的边为，又设第三边及其边上的高为，则：；：可设三边长为，（为正整数），得即，又是整数，从而选,提示:设长度为4和12的高分别是边a,b上的,边c上的高为h, ABC的面积为S,则a=2s4,b=2s12,c=2sh.由2s4-2s122sh2s4+2s12得 3h6, 故h=5.,/fjseo001,12.(第9届五羊杯竞赛)三角形三边长都是整数,最大边长为8,满足这样条件的互不全等的三角形个数为( ). A.15 B.20 C.25 D.30,解:设另两边长为a,b,其中ab最大边长为8, b8又 a+b8,ba, 2b8,b4.b是整数, b5 5b8b=5,6,7,8.,(4,5,8) (5,5,8)(3,6,8) (4,6,8) (5,6,8) (6,6,8)(2,7,8) (3,7,8) (4,7,8) (5,7,8) 6,7,8) (7,7,8)(1,8,8) (2,8,8) (3,8,8)(4,8,8) (5,8,8) (6,8,8)(7,8,8) (8,8,8),B,/fjseo001,13.(1999年重庆初二)给定ABC的三个顶点和它内部的七个点，且这十个点中的任意三点均不共线，则以这十个点为顶点能将ABC分割为互不重叠的小三角形个数为_。,提示：会聚在ABC内每一点的诸角之和为，个点就有个周角，又的内角之和为；所以，所有小三角形的内角和为：。又由于每个三角形的内角和为，故小三角形的个数为：。,/fjseo001,14.如图,在ABC中ABAC,AM为角平分线，则BM和MC的大小关系是_,A,B,C,M,BMMC,提示：如图，在AB上截取AD=AC，连结DM，易证ADMACM，从而MC=MD，又因为BDMAMD=AMCB, 从而BMMD， 所以BMMC。,D,/fjseo001,9.如图,已知P为ABC内任一点.求证:(1)PB+PCAB+AC,A,B,C,P,延长BP交AC于D.,D,在ABD中,有AB+ADBD.在PDC中,DC+DPPC.两式相加:AB+AD+DC+DPBD+PC=PB+DP+PC即,AB+ACPB+PC.得证.,(2) BPCBAC,PDC是ABD的外角, PDCBAC又BPC是PDC的一个外角,BPCPDCBPCBAC,/fjseo001,(3)PA+PB+PCAB+BC+AC,A,B,C,P,证明:由第(1)可知,AB+ACPB+PCAB+BCPA+PCAC+BCPA+PB三式相加,并除以2,可得PA+PB+PCAB+BC+AC,/fjseo001,10. 如图2-7-4，ABC中，ACAB，AD平分BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。求证：PC-PBAC-AB。,思路： 通过构造全等三角形，把PC、PB、AC、AB集中在同一三角形中，利用三角形两边之差小于第三边这一性质来证明本题结论。,证明：在AC上取点E，使AE=AB，连结PE，由AD平分ABC得1=2。又 AE=AB， AP=AP，APEAPB， PE=PB，在 EPC中，PC-PEEC，即PC-PBAC-AE。 PC-PBDE.,A,B,C,M,D,E,延长DM到D ，使DM=MD ,连结CD,DE. DD ME DE=ED BM=MC DM=MD, BMD=CMD BMDCMD BD=CD 在EDC中有EC+CD ED ,故BD+CEDE.,D,/fjseo001,1.若三角形的三条边的长a,b,c是三个连续的自然数,三角形的周长小于19,则这样的三角形有_个.,2.设ABC的三边a,b,c的长度均为自然数,且abc,a+b+c=13,则以a,b,c为三边的三角形共有_个.,练一练,设三边的长为a,a+1,a+2,a+(a+1) a+2, a1,又a+(a+1)+(a+2) 19,a5.a=2,3,4,5.,4,由a+b+c=13,可知a+b=13-c,又a+bc,所以13-cc.即c132.从而c可取5,6.所以有(3 5 5),(4 4 5),(1 6 6),(2 5 6),(3 4 6).共有5个这样的三角形.,/fjseo001,3.(1996年四川) ABC三个内角A,B,C满足:3A5B,3C2B,则这个三角形的形状是( )A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.不能确定,A,3A5B,3C2B, B35A,C23B2335A=25AA+B+C=180, A+35A+25A180A90.,/fjseo001,4.若三角形的三个内角A,B,C满足A3B,C2B,那么这个三角形是( )A.钝角三角形 B.直角三角形C.不等边三角形 D.等边三角形,5.(1997年北京初二)ABC中,三个内角的度数均为整数,且ABC,4C=7A,则B=_.,A+B+C=180, B=180-117C, 70C84因47C是整数, C=77, A=44, B=59,若B30,由A3B得A90若B30,由C2B得C60,A90所以ABC是钝角三角形.,A,/fjseo001,6.若ABC的三个内角A,B,C满足2A5B,2C3B,则ABC必为_三角形.,因为2C3B,2A5B,所以2A2B+3B2B+2C,即又,所以AB+C即A90,因此ABC是钝角三角形.,7.在ABC中，ABC=30,边AB=10,边AC可以取值5,7,9,11之一，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( )A.3 B.4 C.5 D.6,D,/fjseo001,8.(1996年河南)周长为24,各边长互不相等且都是整数的三角形共有_个.,设三角形三边长为abc,则abc=24,b+ca,可得,a12.又a8, 8a12.故有7个.,9.如图,在ABC中, B的平分线与C的外角平分线相交于D,已知D=40,则A等于( )A.50 B.60 C.70 D.80,A,B,C,D,D,/fjseo001,10.(1997年江苏）已知ABC三边长分别为6，10，x，如果这个三角形不是等腰三角形，且周长是偶数，则适合条件的三角形的个数共有_个.,解:根据三角形的三边关系可知,10-6x10+6,即4x16.在这个范围内的整数从5到15共11个,要求三角形周长是偶数,因为6+10=16是偶数,所以第三边x也应是偶数,即有6,8,10,12,14.又因三角形不是等腰三角形,所以6,10不合题意.,3,/fjseo001,11.(1999年江苏）不等边三角形中，如果有一条边长等于另两条边长的平均值，那么最大边上的高与最小边上的高的比值K的取值范围是（ ）A.34k1 B.13k1C.1k2 D.12k1,解:不妨设三角形三边长分别为a,b,c,且abc,由已知,有b=a+c2.由aca+b,得aca+(a+c) 2.ac3a,即13ac1.又S=12ah=12ch,h:h=a:c=k,故 13k1.,B,/fjseo001,12.(2002年江苏）已知三角形的两