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文档简介

一. 判断方程的类型，并化成标准形式解：因为，所以除轴外方程处处是椭圆型的。 2分它的特征方程是 5分即特征线为 作变换： 7分求偏导数将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式 10分二. 求解初值问题解：利用达朗贝尔公式 5分得 10分三. 用分离变量法解定解问题 解先求满足方程和边界条件的解.设解为 2分代入方程得除以有得到两个常微分方程 3分 4分由边界条件得由，得 5分于是固有值问题为 解之得一系列固有值 相应的固有函数为 8分再解方程，通解为 10分利用解的叠加原理，可得满足方程和边界条件的级数形式解 12分 由初始条件，得， 13分由 其中 14分将代入得定解问题解 15分四. 解非齐次方程的混合问题解先确定固有函数.令代入相应的齐次方程和齐次边界条件得固有值问题固有函数为 5分设解为 （1） 7分其中是待定函数.显然满足边界条件.为确定函数,先将方程中的非齐次项展为固有函数级数 （2） 8分其中 9分再将（1）,(2)代入方程得 比较系数,有 10分由初始条件得所以 11分解初值问题得 14分将代入级数(1)，得定解问题的解. 15分五. 用积分变换法解无界杆热传导问题本题所用公式：解对x作傅氏变换，记 F F 2分对方程和初始条件关于x取傅氏变换，有 7分解常微分方程的初值问题，得 10分再对进行傅氏逆变换得 F 13分 15分六. 用静电源像法求解上半平面的狄利克雷问题解先求格林函数，由电学知在上半平面的点处置单位负电荷，在关于x轴的对称点处置单位正电荷，则它与产生的电势在x轴上 互相抵消，因此上半平面的格林函数为 7分下面求 10分所以 15分七. 证明调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，则必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件 证明：假设有两个调和函数和，它们在有界区域的边界上完全相同，则它们的差在中也满足方程，且。由极值原理的推论知，函数在区域上最大值和最小值均为零，即。因此，即狄利克雷内问题的解是唯一的。 5分 其次，设在区域的边界上给定了函数和，而且在上处处成立，这里是一个给定的正数。设分别是方程在区域上以和为边界条件的狄利克雷内问题的解，那么调和函数。由极值原理的推
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