13数学分析期末复习题03.doc

数学分析(三)复习题一、计算题1求二重极限；2求椭球面3x2+y2+z2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角；3求函数z=xy在条件x+y=1下的极值点。4求函数z=x2+xy+y2-4lnx-10lny的极值。5. 求函数z=4(x-y)-x2-y2的极值。6求函数z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值。7. 求函数z=x3y2(6-x-y)，(x0，y0)的极值。8求函数z=x2+(y-1)2的极值。9. 设u(x,y)=e3x-y，x2+y=t2，x-y=t+2，求。10求ez-z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。11. 设f(x,y,z)=x+y2+xz，求f在(1,0,1)点沿方向=(2,-2,1)的方向导数。12求函数u=xyz在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。13. 求函数u=x2+y2-z2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。14在椭球面2x2+2y2+z2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。15设函数f(x,y,z)=cos2(xy)+，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。16 求函数z=arctg在位于圆x2+y2-2x=0上一点(,)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角的范围为：0）。17. 设数量场u=，试求：（1）gradu；（2）在域1z0，在-,存在唯一连续可微函数y=y(x)满足：，并求y/(0)。11. 设F(u,v)处处可微，试证明曲面F(x-mz,y-nz)=0（其中,m,n均不为0）上所有切平面与一条固定直线平行。12. 研究含参量积分(p0)的一致收敛性。13. 研究函数F()=，在(0,1)内的连续性。14. 证明积分F()=是参数的连续函数。 15. 设F(y)=，其中f(x)在0，1中取正值的连续函数。证明F(y)在0点不连续，在y0的任一点都连续。16. 设f(x)在0,+)可积，除+外只有x=0为瑕点。求证：。17. 研究函数F()=在(0,2)内的连续性。18. 设u(x,y)在平面区域D上有二阶连续的偏导数。证明：u(x,y)满足（称u(x,y)为调和函数）的充要条件是：对D内任一圆周C，且C围成的区域包含于D，都有(其中是圆周C的外法向量)。数学分析(三)复习题参考答案一、计算题1求二重极限；解：原式=e。2求椭球面3x2+y2+z2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角；解：椭球面在点(-1,-2,3)处的切平面的法向量为=(-3,-2,3)，平面z=1的法向量为=(0,0,1)。这两个平面的交角=arccos。3求函数z=xy在条件x+y=1下的极值点。 解：当x=，y=时，函数z=xy在极大值。4求函数z=x2+xy+y2-4lnx-10lny的极值。解：在（1，2）有极小值7-10ln2。5. 求函数z=4(x-y)-x2-y2的极值。解：令zx=4-2x=0，zy=-4-2y=0，得x=2，y=-2，则A=zxx=-2，B=zxy=0，C=zyy=-2，AC-B20，且A0，y0)的极值。 解：令zx=3x2y2(6-x-y)-x3y2=x2y2(18-4x-3y)=0，zy=2x3y(6-x-y)-x3y2=x3y(12-2x-3y)=0， x0，y0，解得稳定点(3,2)。又A=zxx|(3,2)=-144，B=zxy|(3,2)=0，C=zyy|(3,2)=-162，AC-B20，且A0，a=，b=-，c=0，代入椭球面方程得：42=1，=，点(,-,0)为所求，且函数f在点(,-,0)沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值|gradf(,-,0)|=。15设函数f(x,y,z)=cos2(xy)+，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。解：gradf(0,2,1)=(-ysin(2xy)，-xsin(2xy)+，-)|(0,2,1)=(0,1,-4)，函数f在点(0,2,1)处沿=(0,1,-4)方向的变化率最大，这个方向上的单位向量为=(0,-)，最大变化率为|gradf(0,2,1)|=。16 求函数z=arctg在位于圆x2+y2-2x=0上一点(,)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角的范围为：0）。解：设a=，b=，又tg=，=，由此可得cos=，cos=，方向导数=-。17. 设数量场u=，试求：（1）gradu；（2）在域1z2内，inf|gradu|，及sup|gradu|。解：（1）gradu=-xz-yz+(x2+y2)。其中r=。（2）|gradu|0，当x=y=0时，有|gradu|=0，inf|gradu|=0，又令=p，（p0）有|gradu|=，而1z0，设|x-1|1，则0x2，要使|4x2-y-6|=|4x2-4-y-2|4|x+1|x-1|+|y+2|12|x-1|+|y+2|，只要取=min1，当|x-1|，|y+2|，且(x,y)(1,-2)时，恒有|4x2-y-6|130，设|x|1，|y-1|1，则0y2，要使|x2-xy+2y2-2|=|x(x-y)+2(y2-1)|x|x-y|+2|y+1|y-1|3|x|+6|y-1|，只要取=min1，当|x|，|y-1|，且(x,y)(0,1)时，恒有|x2-xy+2y2-2|90，点A，点B，使(,)。现依次取=(n=1,2,)，可得点列PnA，点列QnB，使得(Pn,Qn)0，在-,存在唯一连续可微函数y=y(x)满足：，并求y/(0)。 证：令F(x,y)=，由条件30，=0，且(x,y)在点(0,1)的邻域内连续可微，由隐函数存在定理，存在0，在-,存在唯一连续可微函数y=y(x)，满足=0，且y/(0)=-。11. 设F(u,v)处处可微，试证明曲面F(x-mz,y-nz)=0（其中,m,n均不为0）上所有切平面与一条固定直线平行。证：曲面F(x-mz,y-nz)=0上切平面的法向量=(F1/,F2/,-mF1/-nF2/)，取定向量=(m,n,)，则=0，即，故曲面F(x-mz,y-nz)=0（其中,m,n均不为0）上所有切平面与一条方向向量为=(m,n,)的直线平行。12. 研究含参量积分(p0)的一致收敛性。解：=+=I+J，其中I是正常积分，J可令t=x2，得J=，由狄利克雷判别法，J收敛，关于p0一致收敛。又当p0时，对固定的p，函数随x单调且一致有界，由阿贝耳判别法，故原含参量积分在p0上一致收敛。13. 研究函数F()=，在(0,1)内的连续性。解：F()=+=I()+J()，(0,1)，a，b满足0ab0，y0，则F(y)m=m(-arctany)， 0=F(0)，故F(y)在y=0处不连续。16. 设f(x)在0,+)可积，除+外只有x=0为瑕点。求证：。证：0，当0,时，可积，从而关于在0,上一致收敛，又对于固定的0,，在0,+)内单调且一致有界，由阿贝耳判别法，含参量的非正常积分关于在0,上一致收敛。由含参量非正常积分的连续性定理，在0,上连续。故。17. 研究函数F()=在(0,2)内的连续