学案4 导数的应用(2)--极值

学案4：导数的应用（2）-极值与最值【课前预习,听课有针对性】（5m）1. 函数的极大值为，极小值为，则 .42. 已知函数，在时有极值10，则 ； . 3. 函数在的最小值为 . 4.函数有 个极值点。0个5. 已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 . 【及时巩固,牢固掌握知识】（2030m）A组 夯实基础，运用知识6. 函数在闭区间上的值域为 . 7. 若函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 . 8. 已知函数，求函数的单调区间；求函数的极值，并画出函数的草图；当时，求函数的最大值与最小值.解：由，得，函数单调递增；同理，或函数单调递减.由得下表：0+0单调递减极小值f(-2)单调递增极大值f(2)单调递减极小值=-16，极大值=16.由f(-x)=-f(x)，知f(x)是奇函数，得草图如图所示：结合及，得下表：0+端点函数值f(-3)=-9单调递减极小值f(-2)=-16单调递增端点函数值f(1)=11比较端点函数及极值点的函数值，得极小值=f(-2)=-16,9. 已知f（x）=ax3+bx2+cx（a0）在x=1时取得极值，且f（1）=1,（1）试求常数a、b、c的值；（2）试判断x=1是函数的极大值还是极小值，并说明理由.剖析:考查函数f（x）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f（x）=0的根建立起由极值点x=1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a、b、c的值.（1）解法一:f（x）=3ax2+2bx+c,x=1是函数的极值点,x=1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系知又f（1）=1,a+b+c=1. 由解得a=,b=0,c=.解法二:由f（1）=f（1）=0,得3a+2b+c=0, 3a2b+c=0. 又f（1）=1,a+b+c=1. 由解得a=,b=0,c=.（2）解:f（x）=x3x,f（x）= x2= （x1）（x+1）.当x1或x1时,f（x）0;当1x1时，f（x）0.x=1时，f（x）有极大值；x=1时,f（x）有极小值. B组 提高能力，灵活迁移10. 已知函数在的最小值为，则 11. （2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则 解析 f(x)， f(1)0 a3答案 312. （2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 （ ）A1个 B2个 C3个 D 4个答案 A解析 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.13设函数y=f（x）=ax3+bx2+cx+d图象与y轴的交点为P,且曲线在P点处的切线方程为24x+y12=0,若函数在x=2处取得极值16,试求函数解析式,并确定函数的单调递减区间.错因点评：有的同学不知道P点处的斜率为y|,即y|x=0为已知切线方程的斜率 24.又当x=2时有极值,且极值为16,找不到与a、b、c、d的关系,从而无法求出a、b、c、d,导致错解.正确思路：由y=3ax2+2bx+cf（0）=c,切线24x+y12=0的斜率k=24,c=24,把x=0代入24x+y12=0得y=12.得P点的坐标为（0,12）,由此得d=12,f（x）即可写成f（x）=ax3+bx224x+12.由函数f（x）在x=2处取得极值16,则得解得f（x）=x3+3x224x+12,f（x）=3x2+6x24.令f（x）0,得4x2.递减区间为（4,2）.【应对高考,寻找网络节点】（10m）14. （2010天津文）已知函数f（x）=，其中a0. （）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若在区间上，f（x）0恒成立，求a的取值范围.【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.（）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）解：f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：（1） 若，当x变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-f(x)极大值 当等价于 解不等式组得-5a2，则.当x变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f（x）0等价于即解不等式组得或.因此2a5. 综合（1）和（2），可知a的取值范围为0a5.【温故知新，融会而贯通】（10m）15. 若函数在（0，1）内有极小值，则 （ ）A.0b1 B.b0 D.b答案：A16. 设函数，已知是奇函数。（）求、的值。（）求的单调区间与极值。解 （），.从而 是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递