1-1映射与函数

高等数学I2010 9 2011 1 主讲教师 魏敏联系电话mail weimin2005 办公室 教四楼B508室答疑时间 每周三晚6 00 7 00 引言 一 什么是高等数学 初等数学 研究对象为常量 以静止观点研究问题 高等数学 研究对象为变量 运动和辩证法进入了数学 笛卡儿目录上页下页返回结束 二 如何学习高等数学 1 认识高等数学的重要性 培养浓厚的学习兴趣 2 学数学最好的方式是做数学 聪明在于学习 天才在于积累 学而优则用 学而优则创 由薄到厚 由厚到薄 马克思 恩格斯 要辨证而又唯物地了解自然 就必须熟悉数学 一门科学 只有当它成功地运用数学时 才能达到真正完善的地步 第一节目录上页下页返回结束 华罗庚 1 分析基础 函数 极限 连续 2 微积分学 一元微积分 上册 下册 3 向量代数与空间解析几何 4 无穷级数 5 常微分方程 主要内容 多元微积分 机动目录上页下页返回结束 第一章 分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁 函数 极限与连续 本章重点 非常多 本章主题词 函数 极限 无穷小 连续 第一章 第一节 机动目录上页下页返回结束 映射与函数 一 集合 略 二 映射 略 三 函数 本节重点 1 理解函数的概念 特别是邻域的概念 2 熟悉函数的四大性质 有界性 单调性 奇偶性与周期性 3 熟悉反函数与复合函数的概念 4 熟悉基本初等函数和初等函数的性质 定义域 1 函数的概念 定义 设数集 则称映射 为定义在 D上的函数 记为 f D 称为值域 函数图形 机动目录上页下页返回结束 自变量 因变量 对应规则 值域 定义域 定义域 对应规律的表示方法 解析法 图象法 列表法 使表达式及实际问题都有意义的自变量集合 机动目录上页下页返回结束 例1 已知函数 求 及 解 函数无定义 并写出定义域及值域 定义域 值域 机动目录上页下页返回结束 点a的邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域 点a的 邻域 其中 a称为邻域中心 称为邻域半径 点a的去心 邻域 左 邻域 右 邻域 机动目录上页下页返回结束 为何 邻域的概念 2 函数的几种特性 设函数 且有区间 1 有界性 使 称 使 称 说明 还可定义有上界 有下界 无界 2 单调性 为有界函数 在I上有界 使 若对任意正数M 均存在 则称f x 无界 称为有上界 称为有下界 当 时 称 为I上的 称 为I上的 单调增函数 单调减函数 机动目录上页下页返回结束 例1y sinx x R例2y x2 x R或x 1 2 例3y 3 奇偶性 且有 若 则称f x 为偶函数 若 则称f x 为奇函数 说明 若 在x 0有定义 为奇函数时 则当 必有 例如 偶函数 双曲余弦 记 机动目录上页下页返回结束 又如 奇函数 双曲正弦 记 再如 奇函数 双曲正切 记 机动目录上页下页返回结束 4 周期性 且 则称 为周期函数 若 称l为周期 一般指最小正周期 周期为 周期为 注 周期函数不一定存在最小正周期 例如 常量函数 狄里克雷函数 x为有理数 x为无理数 机动目录上页下页返回结束 3 复合函数 反函数略 则 设有函数链 称为由 确定的复合函数 机动目录上页下页返回结束 u称为中间变量 注意 构成复合函数的条件 不可少 例如 函数链 函数 但函数链 不能构成复合函数 可定义复合 机动目录上页下页返回结束 两个以上函数也可构成复合函数 例如 可定义复合函数 4 初等函数 1 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 2 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 例如 并可用一个式子表示的函数 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 称为初等函数 可表为 故为初等函数 又如 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 机动目录上页下页返回结束 非初等函数举例 符号函数 当x 0 当x 0 当x 0 取整函数 当 机动目录上页下页返回结束 且 证明 证 当x 0令 则 由 消去 得 时 其中 a b c为常数 且 为奇函数 为奇函数 练习1 设 机动目录上页下页返回结束 内容小结 定