常见抽象函数问题与处理方法.doc

常见抽象函数问题与处理方法 抽象函数是指未给出函数解析式，只是指明符合函数定义或者给出部分性质，一般以y=f(x)形式给出，不用数字和字母表示出来的函数。由于没有解析式，函数的对应法则不具体，让学生感觉抽象、无从下手、难度大，不易处理。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。纵观近三年高考，很多省市的高考都会对这一问题进行考察，进而全面检验学生对函数概念的理解、函数定义域、值域、性质的掌握以及对树形结合思想和函数方程思想的运用。通常抽象函数问题可以采用换元法、特殊值法、赋值法、构造法以及利用函数的图象性质进行解决。在考试中有以下几种常见类型：1、对函数概念、抽象关系式的考查。例1：(1).若函数的定义域为03,则的定义域为 .(2).若函数的定义域为,则函数的定义域为 .分析：对于定义域的考查要把握两点：定义域始终都是指的范围； 在对应法则下的范围应该一致，即“”后面的括号内范围一致。例2：(浙江高考题)函数,满足，则这样的函数个数共有 .(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个分析：本题主要考查函数的定义，严格按定义来求函数的个数，不可能有解析式。可以分“为三对三”，“三对二”， “三对一”三类分别求函数的个数。例3：（2009四川卷理）已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 。 A.0 B. C.1 D. 分析：本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。解析：令，则；令，则由得，所以2、 对单调性的考查。 这类问题重点是要通过单调性地定义进行突破，得到函数的单调性，从而实现自变量关系和函数值关系的互化，在考题中出现的频率较高。画出示意图，可以将有关抽象函数的问题具体化，从而化“无形”为“有形”，化抽象为直观。例4：(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时,有 。 (A) (B) (C) (C) (D) 分析：由单调性定义，易得函数的单调性，画出简图，从而得解。例5：函数对任意的实数有，且当时，有，求证：在是增函数。分析：本题通过单调性定义证明，主要构造用好“当时，有”这个条件。3、 对周期性和对称性的考查。这类问题首先是要理解几个结论： 若，则 若或，则若，则的对称轴为若，则的对称中心为两个对称性可以转化为周期性，对称轴到对称中心距离的4倍为周期，对称轴间距的2倍为周期。例6：（2009全国卷）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则 。 (A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数解析：与都是奇函数，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，即是奇函数。例7：(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则 解析：关于原点对称，周期为8，,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) -2,0上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.4、对导数问题的考查。例8：（2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 。ABCD解析：由已知，而，所以故选A例9：(2009湖北卷理)设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径 。A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 解析：由题意可知球的体积为，则，由此可得，而球的表面积为，所以，即，故选D例10：设是定义在上的恒大于零的可导函数，且满足，则当时有 分析：在考题中出现“”时，主要考虑构造或形式的导数。本题可以构造商的导数，从而得到新函数的单调性。古语云：授人以鱼，只供一饭。授人以渔，则终身受用无穷。学知识，更要学方法。抽象函数主要处理策略是向直