构造法论文高中数学解题教学中如何巧用构造法

构造法论文：高中数学解题教学中如何巧用构造法摘 要：构造法，就是根据题设条件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法。解题的过程就是一个不断把“未知”转化为“已知”的过程，这里的转化是解题的关键。构造法作为一种重要的化归手段，在数学解题中起着重要的作用。纵观近几年高考试题与竞赛中的许多题目都要用构造法解决，由于学生基础薄弱，许多教师对难度较大的解题方法总是一味包办代替。很大程度上扼制了学生在解题中对解题方法的探究。用构造法解题更是一大难点，为了突破这一难点，本文总结了几点关于高中数学解题中运用构造法的措施，使学生在解题中能够有效的利用构造法，创造性的解决问题。关键词：构造法；培养；联想；思维方法历史上不少数学家，如高斯、欧拉、拉格朗日等人，都曾经用构造法成功地解决过数学上的难题。构造法是数学的基本思想方法。在解题过程中，由于某种需要常常要对问题进行转化，通过构造一个合适的中介辅助问题来觅得一条解决问题的通道，此种解题方法我们就称之为构造法。一、构造方法（一）构造辅助函数法构造辅助函数法是构造法最常用的方法。由于构造法具有直观性以及能行性的特点，因而在解决具体数学问题时运用它，常常带来方便。在数学解题中运用构造函数法，常常体现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助函数求解。主要包括：1.几何直观法构造辅助函数2.行列式法构造辅助函数3.积分法构造辅助函数4.分析法构造辅助函数（二）构造数学模型法构造法所构成的数学模型指那些反映特定问题的数学对象及其关系结构的映像系统是具体、直观、典型的模式。构造数学模型是一种创造性思维，在求解（证明）一些应用型问题时，往往根据这些问题的特点构造模型解题，可以达到触类旁通的效果，但是离不开对题目结构特点的深刻认识。（三）构造区间套法对于证明数列或者数集是否单调的命题，只要是有界的，则此数列或数集就存在收敛的子列或子集，此时就可以利用区间套定理证明命题。（四）构造过程法构造过程法指能够设计、构造出一种可行的步骤、程序，在有限的步骤内解决所给出的问题。例如，欧几里德辗转相除法求最大公约数等。（五）构造方程法列方程解应用题，就是通过构造方程解决问题的简单例子，对于较复杂的问题则要根据需要与可能去设计方程。作为数学的重要内容之一的方程，与函数等许多知识存在密切的联系。可以根据题设中的数量关系和结构特征，构造出新的方程从而使问题得到解决。这种方法应用较广，如计算、求值、证明等都可以理解为方程；恒等式的变形可以理解为方程变形，求值问题可以看成解方程，函数的许多性质也可以归结为方程来研究。（六）构造面积法利用弦与曲线弧所构成的曲边梯形的面积的关系构造函数证明相关的定积分结论，我们称为面积构造法。综上所述，用构造法解题的焦点在于如何“构造”，它并没有固定的方法。构造时主要应抓住问题中的元素所反映出的结构特征、概念意义和运算关系，特别要注意数形结合。通过构造相关的模型，充分展示和利用模型的特征，从而使问题得到解决。二、培养联想类此思维能力，是用构造法解题成败的关键联想思维是创造思维的翅膀，牛顿看到苹果掉地，发现万有引力定理；爱因斯坦想象与光速赛跑，发现广义相对论；哥尼斯堡由七桥问题联想到一笔画问题为图论的创立奠定了基础。这类运用联想思维成功的例子举不胜举，运用构造法解题的关键环节在于构造与题目有关的数学模型，这里的构造离不开联想思维，她在其中起着桥梁和纽带的作用，联想思维是发散思维和思维迁移的一种表现形式，它常与类比思维结合形成联想类比思维。这是创新思维最重要的、不可缺少的思维形式。构造法解题过程中由题目的特征挖掘隐含条件，由一种形式联想到另一种形式，通过类比找到这种新形势对问题解决的可行性，从而达到构造的目的。教师一定要重视对学生这种思维能力的培养。例如对于要解决的问题，在认真审题，弄清题意的基础上，引导学生进行广泛而丰富的联想：所给问题你过去是否见过或求解过？是否类似于你所熟悉的某一问题？是不是你过去求解过的某一问题的变形？能否转化为你所熟悉的某一问题？或转化为较易求解的问题？这是个代数问题，能否用几何问题求解？通过这样步步深入的联想，往往可找到一个类比问题，最后进行分析比较，便可能找到解决问题的途径。根据问题的具体情况，一般可以从三个方面去联想：1.联想有关的概念、定义、定理、公理、公式、法则、图形等；2.联想已知的或过去求解的类似问题或有关问题；3.联想熟悉的解题方法、解题技巧。例如：解不等式（x6）2001x20012x60。解：原不等式可化为（x6）2001（x6）x2001x0。令f（x）x2001x，显然f（x）在r上为奇函数且单调递增。原不等式可化为f（x6）f（x）0。x+6-x,x-3。三、加强其它数学方法的运用，为运用构造法奠定基石构造法是一种基本的数学方法，而不是某些特定情况下的一招一式，有时候很难把构造法与其它数学方法截然分开，它们是相互结合、交叉的，只有在熟练掌握其它基本的数学方法的基础上才能更有效的学会并运用构造方法，诸如构造函数、构造方程、构造图形、构造整体、逆向构造等等，分别是函数思想、方程思想、数形结合、整体思想、逆向思维等数学思想的体现。可见只有全面加强数学方法的教学才能有效地运用构造法解题。例如：已知关于x的方程xax1仅有一个负根，求a的取值范围。分析与解答；构造函数，y1|x|，y2ax作草图，如图1所示，由图1可知；a1，在图中我们必须要让直线y2ax绕定点（0,1）进行旋转，通过对旋转过程的观察才能得到正确的结论。当然，学生完全可以通过想象来完成这种操作的试验。四、渗透构造思想构造是一种很活跃的创造性思想，它能沟通数学各个不同的分支，甚至还沟通数学与其它学科，实现跨度极大的问题转化，这是一种难度大、规律不易掌握的高层次思维方法。因此需要调动各种数学思维方法共同参与，才能完成这种构造性的转化。利用构造思想解题时要结合直觉、联想、猜想、类比、观察、分析、抽象、概括等多种数学思维方法，利用各部分知识的内在联系和性质或形式的某种相似性，有目的的构造数学模型。教师在教学中注意各种思维方法和思维能力的培养，从而使学生在解题中能有效地利用各种思维方法，创造性地解决问题。五、结束语从以上各例不难看出，构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法运用构造法解数学题可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神