初三数学《圆》知识提纲修改版.doc

初三数学圆知识提纲（修改版）(何老师归纳)一、圆的有关性质一：圆的相关概念：1：圆的定义：两要素：定点（圆心），定长（半径） 动态定义: 一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，另一个端点A所形成的图形叫圆 静态定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合 2： 弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。3： 弦心距：圆心到弦的距离 4： 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 分类：半圆：圆上直径的两端点间的部分叫做半圆优弧：大于半圆的弧叫做优弧；记着：劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧；记着： 同弧：一个圆中，同一条弧叫同弧 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧（两条件：1长度相等，2弯曲程度一致）5：同圆：同一个圆叫同圆等圆：圆心不相同，半径相等的圆；同心圆：圆心相同，半径不等的圆。6：弓形：弧与所对的弦所组成的图形 弓形高（h）半径(r)弦心距(d)7：弧的度数：将圆周等分成360份，得到每一份的弧叫做1的弧，弧的度数就是所对圆心角的度数8 ：圆心角：顶点在圆心的角 圆周角 ：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 9：圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交的角，其度数等于所截两弧度数差的一半.圆内角：顶点在圆内，两边与圆相交的角，其度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.10：三角形的外心：三角形外接圆的圆心（或三角形三边中垂线的交点）叫外心三角形的外接圆：如果三角形的三顶点在圆上，这个圆叫三角形的外接圆，反之，这个三角形叫圆的内接三角形二：点与圆的位置关系:1：点在圆内 dr 点A在圆外圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。三：重要定理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。几何表达式举例： AB过圆心,CDAB 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称“知2推3定理”：，即： 是直径 ，由其中任意2个条件便推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中， 2、四量关系定理（即“角、弦、弧、距”定理）： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称“知1推3定理”，即其中的1组量相等，则可以推出其它的3组量也对应结论，即： 弧弧3、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半，同时也等于所对弧的度数的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角 ACBAOB弧ACB的度数推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、所对的弧是弧AB 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形（或）重要结论：在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补4、圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中 四边形是内接四边形 5；外接圆定理：不在一直线上的三个点确定一个圆（1）过一点可以画无数个圆；（2）过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；（3）过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个外接圆是唯一的四：反证法步骤：1：假定原命题的结论不成立 -反设2：进行推理，推出与已知，定义，定理（公理）矛盾；-归谬3：判定假设不成立，从而肯定原命题正确 -结论五：圆常见辅助线作法一：1：作半径 2：作弦心距3：作同弧或等弧所对的圆周角 4：作直径所对的圆周角二：直线与圆一： 直线与圆的位置关系:1：直线与圆相离 dr 无交点 2：直线与圆相切 d=r 有一个交点 3：直线与圆相交 dr 有两个交点二：相关概念1：切线：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，这条直线与这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点2：割线：如果一条直线与一个圆有两个公共点，这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线3：切线长：从圆外一点引圆的切线，该点与切点之间的线段的长，叫切线长。4：内心：三角形内切圆的圆心（或三角形三条角平分线的交点）叫做这个三角形的内心。三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，反之这个三角形叫做这个圆的外切三角形。5：弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。三：重要定理：1：切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端点且垂直于半径的直线是圆的切线； 即：，OA为半径，A是外端点 是的切线 （或MN切于点A）（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称“知二推一定理”：即：过圆心；过切点；垂直；切线； 由其中任意3个条件便推出其他1个结论2、切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两切线的夹角。即：、是的两条切线 平分: 结论1：AB为PO中垂线结论2：PAOB180 在APO中，形成射影定理式结论3：在右图中，DOCAOB PCD的周长2AP(或2PB)3：圆外切四边形定理：圆的外切四边形两组对边之和相等 四边形ABCD为外切四边形 ABCDADBC4：三角形内切圆相关重要结论：结论1：AEAF BEBD CFCD结论2：SABC(bc)r (r为三角形内切圆半径)结论3：BOC90BAC 结论4：在RtABC中，四边形CFOE为正方形，且r5：弦切角定理 ：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角，也等于它所夹的弧的度数的一半.即：BD是切线，BC是弦CBD =CAB推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； ，ED，BC是切线 CBA =DEF6、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点， （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径， （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线 （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线 四：圆常见辅助线作法二：5：作半径 ，证垂直 6：作垂直，证半径三：两圆位置关系（1）两圆外离（无交点）；（2）两圆外切（一交点）；（3）两圆相交（两交点）；（4）两圆内切（一交点）；（5）两圆内含（无交点）（6）两圆同心（无交点）0一： 圆与圆的位置关系:分类：（1）相离：外离，内含（同心）（2）相切：外切，内切。（3）相交；二：相关概念1：外公切线: 两圆在公切线同旁，公切线叫做外公切线；2：内公切线: 两圆在公切线两旁，公切线叫做内公切线；3：公切线的长: 两圆公切线上两切点间距离叫做公切线的长4: 连心线：连接两圆圆心的直线叫连心线5：圆心距：两圆心之间的距离三：公切线及公切线长的计算：两圆位置关系外公切线条数内公切线条数公切线条数外离224外切213相交202内切101内含0001 若两圆有两条外（或内）公切线，则外公切线长相等，内公切线长相等；2 外公切线长和两圆半径、圆心距有关，关系式为：内3 内公切线长和两圆半径、圆心距有关，关系式为：外 AB=. AB=. 特例，两圆外切 AB=2四：重要定理：1、关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；如图：垂直平分。即 、相交于、两点 垂直平（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.如图：1 、2相切 O1 、A、O2三点一线2：射影定理：直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图：t中，若为高， DAD 五：圆常见辅助线作法三： 7：作公切线 四：圆中相关计算一：相关概念1：正多边形：各边，各角相等的多边形叫正多边形； 两条件：(1)各边相等；(2)各角相等2：正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心3：正多边形的半径: 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径4：正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角5：正多边形的中心：到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距6：圆锥的母线：把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。7：圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中a，而h就是圆锥的高二：正多边形的性质1. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.2. 中心角度数外角度数.多边形内角和（n-2）180, 外角和3603. 正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形.4. 正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正 边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.5. 正多边形的有关计算（1）公式：多边形内角和（n-2）180, 外角和360 正边形每一个内角的度数是；中心角度数外角度数（2）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；（3）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（4）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.（5）正边形 n=； an=2Rnsin； rn=Rncos； +； Pn=nan； Sn=Pnrn； Sn=nsin.（三角形的面积为：hOB） 三：扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式（1）圆的周长： C=2r或C=d 圆的面积：S= r圆环面积：S=Rr或S=（Rr）(R是大圆半径，r是小圆半径）（2）弧长公式：； （3）扇形面积公式： ( 圆心角 扇形多对应的圆的半径 扇形弧长 扇形面积 )（4）弓形面积 S = S扇形 S（5）圆柱： A：圆柱侧面展开图S圆柱侧 =2rh =B：圆柱的体积：（6）圆锥A：圆锥侧面展开图S圆锥侧 =. =B：圆锥的体积：(7) 圆锥计算结论：A:底面圆周长等于展开后扇形弧长 B:母线长等于展开后扇形的半径五：补充：四点共圆定理（了解）1：先从四点中先选三点作一圆，如果能够证另一点也在这个圆上，那么这四点共圆2：如果四点到某一定点的距离都相等，那么这四点共圆3：圆周角定理的逆定理：共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆4：圆内接四边形定理的逆定理对于凸四边形ABCD，若对角互补（或外角等于它的内对角），则四点共圆。5：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P，四点共圆。6：割线定理：对于凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P，四点共圆。六：圆常见辅助线作法图：已知弦构造弦心距.已知弦构造Rt.已知直径构造直角.已知切线连半径，出垂直.圆外角转化为圆周角.圆内角转化为圆周角.构造垂径定理.构造相似形.两圆内切，构造外公切线与垂直.两圆内切，构造外公切线与平行.两圆外切，构造内公切线与垂直.两圆外切，构造内公切线与平行.两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB. 两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中