以“构造”为载体培养学生的创新能力.doc

培养学生创造性思维的教学尝试陆丰市林启恩纪念中学 饶俊博(2007年5月)摘要：本文笔者结合自己的数学课堂教学实践，根据创造性思维发生、发展的规律，以及学生认识的特点，从五个方面论述了，培养学生创造性思维的教学途径。坚持这样教学，可使学生的思维经常处于“愤”“悱”的状态，从而学生的创造性思维得以萌芽、发展、提高。关键词：培养 创造性思维 教学开展创新教育、培养人的创新精神，提高学生的素质，是当今教育教学所要研究的重大课题，而创新精神的培养离不开创造性思维的培养。本文结合近年来自己的教学实践，根据创造性思维发生、发展的规律，以及学生认识的特点，就数学课堂教学中培养学生创造性思维的过程，谈谈见解和教学尝试。 一、培养好奇心，引发创造性思维 教师的责任之一就是要保护和发展学生的好奇心，激发学生的求知欲。好奇心是科学发现的巨大动力，是创新意识的表现，美籍华人李政道说：“好奇心很重要，好奇才能提问。”而提出问题正是创造的前奏。实践证明，教学中充分激发和利用学生的好奇心对培养学生创造性思维和提高教学效果是十分有益的，而且使学生的好奇心理得到进一步强化。例1 用一张纸对折30次，请想一想，这叠纸大概有多厚？学生估计厚度至多不会超过几米。老师却说可能比我们这栋教学楼高。学生感到奇怪，于是，急于探究一番。例2 用6根火柴能组成4个三角形（火柴之长为三角形边长）吗？学生受思维定势的影响，仅局限于在一个平面内，无论如何是摆不出来的，这时他们就会产生疑问：6根火柴真能组成4个三角形吗？从学生的眼神里可以看到他们强烈的探求欲望（6根火柴不够用啊！），这时只须轻轻一点：怎样才能够用呢？可以竖起来试试，从而把学生的思维推向空间，很快获得成功；通过这样的事例，能有效地打破只在一个平面上思维的思路，激发出学习立体几何的欲望。例3已知曲线=（1）求在点P（2，4）处的切线方程；（2）求过点P（2，4）的切线方程。大部分学生认为（1）（2）两个问题是一样；而老师却说不一样。奇怪！怎么会不一样？学生激烈争论，教师从中点拨，使学生认识到“点P处的切线”与“过点P的切线”是不同的概念，以及掌握解决这一类问题的方法。好奇心可贵之处就在于它能使我们发现别人不易发现的东西，从而提出问题，而创造恰恰是始于提出问题，最终解决问题。因此好奇心是一种创造的动力。二、培养直觉思维，发展创造性思维 直觉思维是被简约了的思维形式，是已熟悉的有关知识和经验基础上，通过观察、联想得到的顿悟。著名数学家吴文俊说：“只会推理，缺乏数学直觉是不会有创造性的。”可见，直觉思维在创造的关键阶段上，起着重要作用。在数学教学中直觉思维的培养，关键是学生的观察力的培养。观察是思维的触觉，是发现问题的第一步；观察力是直觉思维的基础。通过观察才会发现问题，思考问题；同时，对观察到的现象进行适当分析，也容易触发对一般结果的猜测，对深层次关系的预感，这是一种可贵的创造性素质。教学中培养学生的观察力有如下三个途径：（1）明确观察的目的性。观察是为了发现，寻找问题的解答。教学中应引导学生积极主动去观察，注意问题的本质特征，要使知觉的选择性服从于观察的目的性。例4 将在实数范围内分解因式。解题过程中经常会碰到诸如此类的运算问题，要注意引导学生须明确目标是分解因式，观察后选择将看作整体，使它服务于因式分解，则有：原式=若不以因式分解为目的，盲目展开，变成10项式，再分解就很繁。（2）运用已有的知识去观察发现解题的途径，发展观察力。例5 已知三角形三边长为24，32，40，求此三角形的最大角。引导学生观察思考，此题已知三角形的边长，要求角，应从边与角的关系去观察发现解题的思路，先观察边的关系，因24:32:40=3:4:5故即可判断此三角形为直角三角形，最大角为。若不先进行结合边角关系观察，按一般的方法，用余弦定理解就较繁琐。因此，教学中多注意引导学生，把观察所得对象的特点与学过的知识比较、联系，对探索解题途径是很有帮助的，同时又促进了学生观察力的发展。（3）通过对比进行观察，增强观察力。通过对两个图形或两个式子的观察对比，在两者的区别与联系中发现新的问题。例6设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线=1对称，对任意都有，且=4,求的值。一位学生是这样板演的：的图象关于直线=1对称，则有=；而 定义在R上的偶函数=即2为的一个周期，由已知=，=4=。笔者没有直接指出其错误之处，而是充分肯定其解法是可取的；因为出现这一错误的人不在少数（还有一部分学生得出结论为），要求学生对解题过程重新审视。通过观察分析，不少学生发现：=4与并不等价，除非能证明0，但如何证明呢？，哦！有办法啦（此时一个学生激动地喊了一声）！由=与对比想到：则0（显然0）。对比观察使学生发现对象的相同与差异之处，触发对更深层次关系的认识；并学会了由特殊到一般，再由一般到特殊的推理；同时也学会了“对比观察”这一科学的研究法。直觉思维的培养，除了培养学生的观察力外，还应注意对学生进行类比、归纳，特殊化到一般化等方法的合情推理训练；在学习新知识过程中，尽可能让学生去发现、猜测；在学生做练习时，多引导学生进行猜想；才能使学生逐步形成直觉思维能力。三、培养发散思维，促进创造性思维的发展 发散思维是创造性思维的重要支点，是学生将来成为创造性人才的基础。对于创造性思维来说，一个人创造性的高低是由他的发散思维的素质和具有的价值决定的。一个人的创新，无非是想到别人还未想到的可能性，或者说，就是别人思维尚未扩散到的领域，被你的思维扩散到了。比如在数学解题教学中，“对同一个数学问题，有的学生可能冥思苦想，百思不得其解。”什么原因？归根到底，就是他的思维尚未扩散到能够完成解题的思路上来。所以，我们实施创新教育，培养学生创造性思维，就必须将发散思维的训练，发散思维能力的培养放在重要位置上。 在数学教学中发散思维的培养，主要可通过下面三个渠道进行。第一，多角度地讨论。积极探索每一题目的解题思路，认真思考每一定理、性质等在各题型中的应用，通过一题多解等培养思维的发散性；第二，代数问题几何化，几何问题代数化，一题多变，化归思想、转化策略等，都可起到培养思维发散性的作用。第三，加强数学猜想的训练，培养学生提出数学猜想的能力，对于发展学生的创造性思维具有十分积极的作用。 例7已知集合A=和集合B=,集合T= AB; 求集合T非空集时，的取值范围。根据题目的条件，引导学生进行思维发散，即这个题目的条件如何理解、应用，对题目条件的不同的理解，可产生不同的解法。有的学生看出，这其实可转化为解析几何的问题，即已知以M（-2，4）、N（4，2）为端点的线段MN，直线l:与线段MN恒相交，求的取值范围。有这种理解的学生很快就用数形结合的方法得到解答。也有的学生把题目理解为当方程组有解时求K的取值范围，这样又得到了一种代数解法（但要注意的取值范围）。也有的学生从线段与直线的交点永远在线段上这一事实，结合利用定比分点公式求解（0）。正是思维的发散与灵活，促成了一题多解。接着笔者又要求学生进一步对题目进行变题求解，有的学生把题目变成：若点M（-2，4）和N（4，2）在直线l: 的两侧求的取值范围。这对原题结构认识就更深了些。 另外， 教材中例题一题多解，也特别能调动学生的思维积极性和创造性，培养思维的发散性，在解题教学中，不要追求学生思路跟教材一致，要创设态度民主型，思维开放型的课堂。教材中的题一般只给一种解法，但其中不少题却有多种解法，教师在备课中尽量挖掘出来，在课堂上通过点拨、暗示体现出来，凡是学生有能力解答的，教师只作评价和总结。倘若在教学中认真研究每一道习题，引导学生进行一题多解或一题多变，充分挖掘习题的潜在价值，扩展学生思维空间，培养出来的学生将富有创造力。例8是否存在常数使得等式=对于一切自然数都成立，并证明你的结论。引导学生思考：的值能否确定？怎样确定？，大多数学生能提出：既然命题是要求对任意的都成立，当然可先考虑对局部是否成立；为此先考虑命题对=1、2、3是成立的，代入后得到关于的三个方程，解之可求出的值，从而猜想=4,5是成立的，接下来用数学归法证明。证明后启发学生，从未知的角度来处理这道题：等式可以看成是对左边求和，既然是求和，那我们可以把左边看成通项是什么的数列，学生很快找到数列通项为，并采用一般数列求和证出等式。例9 已知函数=(0),当不等式恒成立时，求正整数的最大值。大部分学生思路是：设函数=，利用的最小值求解，但在利用的导数求解时，无法求得稳定点，思路受阻。此时引导学生比较例9与例8，有学生认为例8与自然数有关，可由特殊猜想一般，例9可以吗？经过比较、思考，大多数学生都认为可以。事实上，不等式恒成立是对于任意正数的；显然=1时有,即(0) 恒成立即可（因）。例8、例9都体现了猜想在探索解题思路中所起的作用，牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”数学猜想是由有限到无限、由特殊到一般的过程；提出数学猜想的过程本质上就是数学探索和创造过程。因此，加强数学猜想的训练，培养学生提出数学猜想的能力，对于发展学生的发散性思维，具有十分积极的作用。 四、培养集中思维，提高创造性思维 集中思维也称集合思路，收敛思维，辐合思维，它和发散思维是创造性思维过程中相互促进、彼此沟通、相互统一的。 例10数列为等比数列，=8, =16,求，让学生先考虑有那些思路，有的学生认为，先求出和，再求；有的学生认为不必求出，只须求出即可，因为= = = 。比较两种思路，从而获得较优的解法；且加深对等比数列中，的理解。发散思维只是为创造性思维提供了思维方向的各种可能性，由发散思维产生的许多观点、设想、方法，有的是正确的，有的是不正确的；有的简单，有的过于复杂。那么如何做出正确的选择呢？集中思维就是要对这些由发散思维所提出的各种可能性，逐一讨论、分析、综合，作出比较、评价和选择，从中得出最终的抉择和判断，最后将各种假设变为解决问题的现实方案。如果学生仅仅善于发散思维，而缺乏集中思维的素质，就不能进行正确的判断和决策，即使产生了非常有价值的发散思维成果，也不能使之获得成功。因此，作为一个完整思维过程，创造性思维离不开集中思维，发散思维和集中思维如同创造性思维的两翼缺一不可。 例11已知二次函数,且=0的两个根都在(0,1)内，求证： 。引导学生观察思考，由题意有：=, =, =，且（0，1）。思路1：结合目标，在等式=左边中，利用02及01，试图放大且消去，显然思路受阻。思路2：结合目标，=式中必须换掉，, 则=，而，即证得结论。思路3 ：因是方程=0的两个根，则=,即可得=，下同思路2。引导学生比较由条件发散的三种思路，思路1未能真实反映条件（0，1），思路2通过代换沟通条件（0，1），而思路3直接沟通条件（0，1）；所以思路3比思路2好。 数学教学对集中思维的培养是多方面的。比如在解证题教学过程中，先让学生通过发散思维列举出各种可能的方案，然后指导他们进行比较、分析、综合，对这些方法、方案、各种思路的优劣、简捷和繁琐以及成功与否做出判断，最后选择一个行之有效的方案，使数学问题得到圆满解决。这不仅培养了发散思维，同时也培养了集中思维。五、重视教学评价，持续发展创造性思维 教师对学生的评价，会对学生产生很大影响。在创造性思维的培养教学过程中，对学生不断进行激励性评价，可以使其创造性能力不断提高。 合理的教学评价应是鼓励性评价和肯定性评价相结合。学生在创造性思维中有些发现是正确的，有些是不正确的，这些是教学中常见现象，主要是学生在考虑问题过程中，仅直觉观察，造成不适当的，甚至错误的思考，也有可能跳跃地得出结论。教师面对这种现象，不能轻易否定，必须鼓励、引导学生通过逻辑思维纠正思路中的错误，并且用“慢镜头”去再现曾经跳跃地、非逻辑地得出过的正确结论，从而使这些结论逻辑化、理性化。例12 已知函数=( R),当时，比较|与|的大小。给学生充分时间思考；笔者命题意图是，这和证明不等式还是有差异的，导向性不明显，需要在严格推理中自行下结论。学生们大都会想到作差或作商，关键是能否进行下去学生1：我的想法是作差，但不大好做下去学生2：我想作商，也变不下去学生3：能不能不作差，也不作商？把看作函数=( R)图象上任意两点（）和()连线的斜率的绝对值？（当笔者赞赏一番后，问接下来呢？学生3无法回答。）学生1、学生2是按教师的意图去解决，教师应适当鼓励，再引导其如何结合其它技巧（如放缩法）进行变形。学生3的思路是很好的，教师应多加鼓励，并引导学生共同探索，接下来应如何解决。学生3的思路正是创造性思维的开端。学生在解题探索中会出现许多新奇的结论或好的解法，对于这些创新成果，教师不