第10章 作业答案(最新修改).doc

第10章 振动与波10-13 一简谐振动的运动方程为，求圆频率、频率、周期T、振幅A和初相位。分析：可采用比较法求解。将题给运动方程与简谐运动方程的一般式作比较，即可求得各量。解：将与比较，可得， ，10-14 一边长为a的正方形木块浮于静水中，其浸入水中部分的高度为a/2，用手轻轻地把木块下压，使之浸入水中的部分高度为a，然后放手，试证明，如不计水的粘滞阻力，木块将作简谐振动，并求其振动的周期和频率。分析：要证明木块作简谐运动，需要分析木块在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力F与位移x间的关系，如果满足，则木块作简谐运动。通过即可求得振动周期和频率。证：木块处于平衡状态时，。当木块上下作微小振动时，取木块处于力平衡时的质心位置为坐标原点O，竖直向下为x轴正向。则当木块向下偏移x位移时， 则木块所受合外力为式中令是一常数。可得木块运动的微分方程为这表明木块在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动。由于（），可得其振动周期和频率分别为，10-15 已知简谐振动图线如图所示，求谐振动方程及速度表达式。解 由振动图线知： 当时，；当时，。将，代入，得：，即，则又时，由图知，要求 所以：将,代入，得 即：， 则又因，则故：，所以：谐振动方程为：速度表达式为：10-16 简谐振动的角频率为，开始时在位移为7.5cm，速度为0.75m/s，速度方向与位移(1)一致；(2)相反。分别求这两种情况下的振动方程。分析 在角频率已知的条件下，确定振幅A和初相是求解简谐运动方程的关键。解 由题意知，。当时， cm/s。振幅：初相：(1) 速度方向与位移一致时得到初相：振动方程为：(2) 速度方向与位移相反时：得到初相：振动方程为：10-17 一质量的小球作简谐振动，速度的最大值，振幅A=0.020m，当时，=0.030m/s。试求：（1） 振动的周期；（2） 谐振动方程；（3）t=0.5s时，物体受力的大小和方向。解：(1)根据速度的最大值公式，得则周期：（2）由 ，故 谐振动方程为：（m）(3)将代入加速度公式，得物体受力的大小为：方向与位移相反。10-18 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅，周期T=0.50s当t=0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在处，向负方向运动；（4）物体在向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。分析：在振幅A和周期T已知的条件下，确定初相是求解简谐运动方程的关键。初相的确定通常有两种方法。（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即时时，和来确定值。（2）旋转矢量法：将质点P在Ox轴上振动的初始位置和速度的方向与旋转矢量图相对应来确定。旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用。解：由题给条件知，而初相可采用分析中的两种不同方法来求。解析法：根据简谐运动方程，当时有，。当(1) 时，则；(2) 时，则，因，取；(3) 时，则，由，取；(4) 时，则，由，取。旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，它们所对应的初相分别为，。振幅、角频率、初相均确定后，则各相应状态下的运动方程为(1) (2)(3) (4) 10-19 简谐振动方程为，求物体由运动到所用最少时间?解 由得：物体由运动到所用最少时间为 ： 即10-20 试证明：（1）在一个周期中，简谐运动的动能和势能对时间的平均值都等于（2）在一个周期中，简谐运动的动能和势能对位置的平均值分别等于和。证 （1）因为简谐运动的动能和势能分别为所以在一个周期中，动能与势能对时间的平均值分别为（2）因简谐运动的势能，则势能在一个周期中对位置的平均值为所以动能在一个周期中对位置的平均值为10-21 一物体同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式分别为试求合振动的振幅和初相。解 因为故合振动振幅为合振动初相位为10-22两个同方向的谐振动方程分别为和。求合振动的振动方程。解 因为故合振动振幅为：合振动初相位为：合振动的振动方程为：10-23 一平面简谐波的波动方程为，求它的振幅、角频率、频率、周期、波速与波长分析 采用比较法。将题给的波动方程改写成波动方程的余弦函数形式，比较可得振幅、角频率、波速，从而求出频率、周期与波长。解 将题给的波动方程改写为与平面简谐波的波动方程比较后可得振幅，角频率，波速，故有，10-24 已知平面简谐波的表达式，求：(1) x=0处振动的初相及x=4m，t=2s时的相位；(2) x1=0处与x2=2m处的相位差。解 (1)将题给方程写成波动方程的一般形式，得当时，有，与波动方程的一般式比较，得将，代入相位中，得此时的相位为(2) x1=0处与x2=2m处的相位差为10-25 平面简谐波的振幅为5.0cm，频率为100HZ，波速为400m/s，沿X轴正方向传播，以波源 (设在坐标原点O)处的质点在乎衡位置且正向y轴正方向运动时作为计时起点求：(1)波源的振动方程；(2)波动方程。解 (1)在已知振幅、频率、波速和初始条件的情况下，可以确定角频率和初相的值。即：又根据初始条件：时，得波源的振动方程为：(2) 简谐波的波动方程为10-26 一平面简谐波沿x轴正向传播，波速=5m/s波源位于y轴原点处，波源的振动曲线如图中所示。求：(1)波源的振动方程；(2)波动方程解 (1)由题给条件，=5m/s，可得当时，波源质点经平衡位置向正方向运动，因而由旋转矢量法可得该质点的初相为。波源位于轴原点处，则波源的振动方程为(2)将已知量代入简谐波的波动方程的一般形式，得10-27 为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0W的功率。若波源发出的是球面波(设介质不吸收波的能量)。求距离波源5.0m和10.0m处的能流密度。 分析 波的传播伴随着能量的传播。由于波源在单位时间内提供的能量恒定，且介质不吸收能量，故对于球面波而言，单位时间内通过任意半径的球面的能量(即平均能流)相同，都等于波源消耗的功率。而在同一个球面上各处的能流密度相同，因此，可求出不同位置的能流密度。 解 由分析可知，半径r处的能流密度为当时，分别有10-28 一平面简谐波的频率为500Hz，在密度空气中以的速度传播，达到人耳时振幅约为。试求波在耳中的平均能量密度和声强。解 波在耳中的平均能量密度声强就是声波的能流密度，即10-29 两相干波源和相距为5m,其振幅相同，频率都是100Hz，相位差为，二波的传播速度为400m/s。试以连线为坐标轴，以连线中点为原点，求间因干涉而静止的各点的坐标。分析 在均匀介质中，两列波相遇时的相位差，一般由它们的初相差和由它们的波程差而引起的相位差两部分组成，即。因此，两列振幅相同的相干波因干涉而静止的各点的位置，可根据相消条件来确定。解 以连线中点为原点，以、连线为坐标轴。两波的波长均为 在、两点的连线间，设任意一点P距原点为x。因，则两列波在点P的相位差为根据分析中所述，干涉静止的点应满足方程得 因，故。即在、之间的连线上共有3个静止点即：。10-30 两相干波波源位于同一介质中的A、B两点，如图所示。其振幅相等、频率均为100HZ,B比A的相位超前。若A、B相距30.0 m，波速为400 m/s，试求AB连线上因干涉而静止的各点的位置。分析 两列相干波相遇时的相位为。因此,两列振幅相同的相干波因干涉而静止的点的位置，可根据相消条件获得。 解 以A、B两点的中点O为原点，取坐标如图1030(b)所示。两波的波长均为。在A、B连线上可分三个部分进行讨论。（1）位于点A左侧部分习题10-30图因该范围内两列波相位差