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平衡问题的方法原稿 处理平衡类问题的方法 一、基本方法1正交分解法这是最基本的方法这种方法是利用物体所受合外力为0这一条件来求解建立一适当的直角坐标系，将物体所受各力分别向两坐标轴分解，转化为同一直线上的力来合成由于物体受的合外力为0，故y轴上的合力F y=0，x轴上的合力F x=0由此列方程求解物体受到3个或3个以上的力作用时，常用正交分解法列平衡方程，形式为0=合xF，0=合yF。 为简化解题步骤，坐标系的建立应达到尽量少分解力的要求。 例例1如图，重物的质量为m，轻细绳AO与BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平面夹角为，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是（）Acos1mg F=；Bcot1mg F=；Csin2mg F=；Dsin/2mg F=解析选O点为研究对象，O点受3个力的作用。 沿水平方向和竖直方向建立xOy坐标系，如图所示。 由物体的平衡条件0cos12=?=F FF x合；0sin2=?=mg FF y合解得?=sin/cot21mg Fmg F因此选项BD正确。 2力的合成法2力的合成法物体在受到3个共点力的作用下处于平衡状态，且其中有两个力垂直，则力的合成法是解决三力平衡的基本方法任意2个力的合力必定与第3个力大小相等，方向相反。 例例2上例中，根据三力平衡特点任意2个力的合力与第3个力等大反向，作出如图3所示和矢量图，由三角形知识可得?=sin/cot21mg Fmg F*正弦定理在解决三力平衡问题中有广泛应用，它可使解题过程大大简化*练习如图，C点为光滑转轴（铰链），A为结点，绳AB能承受的最大拉力为1000N，轻杆AC能承受的最大压力为2000N问A点最多能挂多重的物体？(绳、杆的自重不计)（G不能超过1366N） 3、特殊多边形法图解法即利用力的合成的平行四边形法则，也称矢量三角形法也可以演化成多边形法。 原理物体在多个互成角度的共点力作用下处于平衡，则平移这几个力必定组成一个闭合多角形例 3、（06上海）如图所示，用垂直于斜面BC斜向左下方的推力F，将质量为m，横截面积为直角三角形的物块ABC，顶靠在竖直墙面上，使物体保持静止不动。 设ABC=30，则物块受到的摩擦力大小为多少？点拨物块受四个力力、推力、支持力和摩擦力作用，它们恰能组成一个封闭的四边形。 由图可见n Fmgfsi F+=；求出2FFmgf+=4整体法和隔离法对于多个物体处于平衡状态的问题，常用此法例4如图为一直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑。 AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在图示位置平衡。 现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F N和摩擦力f的变化情况是（）A.F N不变，f变大；B.F N不变，f变小；C.F N变大，f变大；D.F N变大，f变小解析分析受力作出示意图14。 再把两环、细绳作为“整体”研究，可知，小环P所受支持力等于2mg。 即mg F N?2；f F N?=/其中，F N、F N/分别为环P、Q所受支持力。 由式可知，F N大小不变。 然后,依“极限思维”分析，当环P向左移至O点时，环Q所受的拉力T、支持力F N/逐渐减小为mg、0。 由此可知，左移时环P所受摩擦力将减小。 选B。 二动态平衡问题二动态平衡问题在有关物体平衡的问题中，存在着大量的动态问题。 所谓动态问题，就是指物体所处的状态在发生着缓慢的变化，在变化的过程中每一个运动状态均可以看成一系列的平衡状态。 分析动态问题通常有以下几种典型的常见方法1解析法对研究对象的任一状态进行受力分析，结合力的平衡条件或者力矩的平衡条件，建立平衡方程，求出应变量与自变量的一般函数式，然后根据自变量的变化确定应变参量的变化。 例例1如图所示，一个重为G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为。 在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态，今使板与斜面的夹角缓慢增大，问在此过程中，球对挡板和斜面的压力的大小如何变化？解析选球为研究对象，球受三个力作用，即重力G、斜面支持力F 1、挡板支持力F2，受力分析如图2所示。 由平衡条件可得F2cos（90o）F1sin=0F1cosF2sin（90o）G=0联立以上两式求解并进行三角变换可得F1=)cot(sin cos+?G，G F?=sinsin2。 讨论 （1）对F1（+）90o，cot（+）F1，（+）90o，cot（+）F1， （2）对F290o，sinF2，90o，sinF2。 综上所述球对斜面的压力随增大而减小；球对挡板的压力在90o时，随增大而减小；在90o时，随增大而增大；当=90o时，球对挡板的压力最小。 2、图解分析法图图解法即利用力的合成的平行四边形法则，也称矢量三角形法原理物体在三个互成角度的共点力作用下处于平衡，则这三个力组成一个闭合三角形当其中的某两个力或三个力发生变化而物体仍然平衡时（动态平衡），新的三个力又构成一个新的封闭三角形合力大小和方向不变；一个分力的方向不变，分析另一个分力方向变化时两个分力大小的变化情况用图解法具有简单、直观的优点例例2三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们悬挂一个重物，如图，其中OA水平，A端、B端固定若逐渐增加C端所挂重物的质量，则最先断的是A必定是OA；B必定是OB；C必定是OC；D可能是OB，也可能是OB分析选O点为研究对象，力的矢量三角形如图T B、T C的合力必与T A等大反向由直角三角形的性质易知T A最大，故OA绳所受拉力最大当物重增加时，必是OA绳先断例例3如图所示，绳OA、OB悬挂重物于O点，开始时OA水平现缓慢提起A端而O点的位置保持不变，则A绳OA的张力逐渐减小；B绳OA的张力逐渐增大；C绳OA的张力先变大，后变小；D绳OA的张力先变小，后变大分析设OA绳的张力为T1，OB绳的张力为T2，T1与T2的合力必与mg等大反向故在T 1、T2发生变化时，T 1、T2的合力的大小、方向都不变画出T 1、T2合成的平行四边形，T1T2时，T1有最小值D正确练习1在倾角为45的光滑斜面上有一圆球，在球前竖直放一光滑挡板使球保持静止，如将此挡板缓慢转动至水平位置的过程中，球对斜面和挡板的压力如何变化？练习2用等长的细绳0A和0B悬挂一个重为G的物体，如图所示，在保持O点位置不变的前提下，使绳的B端沿半径等于绳长的圆弧轨道向C点移动，在移动的过程中绳OB上张力大小的变化情况是（）A先减小后增大B逐渐减小C逐渐增大DOB与OA夹角等于90o时，OB绳上张力最大解析以O点为研究对象，O点在三个力的作用下处于平衡状态。 三个力分别是重力G、OA和OB绳的拉力T A和T B，将其首尾相接，即构成一封闭矢量三角形，如图。 随着B端向C点的移动，矢量G的大小、方向均不变，矢量F A方向不变、大小变化，矢量F B方向、大小均变。 由于B端移动过程中，视物体始终处于平衡状态（动态平衡），故结点O所受的三个力也始终平衡，即表示三个力的线段始终应构成一封闭的矢量三角形，如图。 从图可看出OB、OA两绳夹角为90o时F B最小，在B端向C点移动过程中F B先减小后增大。 故正确答案选A。 4利用三角形相似求解动态平衡中，如果三个力中有两个力的大小、方向都在变化，一般可用三角形相似处理。 首先根据“闭合多边形”原理，即当物体受同一平面内三个或三个以上不平行的力作用处于平衡状态时，这几个力的矢量箭头首尾相接构成一个矢量的闭合多边形，构建一个力三角形，然后寻找与其相似的几何三角形，利用对应边成比例及几何三角形边长的变化分析力的变化。 例例4固定在水平面上光滑半球，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮，如图所示今缓慢拉绳使小球从A点滑到半球顶点，则此过程中，小球对半球的压力大小N及细绳的拉力大小T的变化情况是AN变大，T变大；BN变小，T变大；CN不变，T变小；DN变大，T变小分析小球受力如图11T、N、G构成一封闭三角形由图可见，AOBANT TAB=NOA=GOB AB变短，OB不变，OA不变，故T变小，N不变C正确练习如图，绳子a一端固定在杆上C点，另一端通过定滑轮用力拉住，一重物用绳b挂在杆BC上，杆可饶B点转动，杆、绳质量及摩擦不计，重物处于静止。 若将绳子a慢慢放下，则下列说法正确的是（）A绳a的拉力F a减小，杆的压力F增大B绳a的拉力F a增大，杆的压力F增大C绳a的拉力F a不变，杆的压力F减小D绳a的拉力F a增大，杆的压力F不变解析使结点C在各个位置处于平衡的三个力中只有绳b的拉力F b（大小等于重力，方向竖直向下）是确定的，另两个力的大小不定、方向变化，但这两个力的方向有依据绳a的拉力F a总沿绳a收缩的方向，杆BC支持力方向总是沿杆指向杆恢复形变的方向，那么表示这两个力的有向线段与几何线段相关，任意位置时表示三力关系的矢量三角形与表示位置关系的某几何三角形一一对应。 如图所示，自结点C先作表示确定力F b的有向线段，另两个变化力F/和F a的有向线段、分别平行于杆BC及绳a，且与有向线段依次首尾相接构成闭合三角形，与该力三角形相似的是几何三角形ABC。 C的位置改变时，由于力三角形与几何三角形总相似，可由几何边长的变化判定对应力大小的变化随着绳子慢慢放下，几何边AC变长、BC边不变，则绳a的拉力F a增大，杆BC对结点C支持力F/不变，即杆所受压力F不变。 故选项D正确。 5特殊多边形一个物体受几个力（四个及以上）而平衡时，这几个力将组成一个封闭多边形。 例5.一个物体受几个力（四个及以上）而平衡时，这几个力将组成一个封闭多边形。 例5.如图所示，一物体放在斜面上处于静止状止状态。 先加一水平推力F，若在推力F从零开始逐渐增大的过程中，物体仍保持静止，则下列判断中正确的是（）A.斜面对物体的静摩擦力一定增大；B.斜面对物体的支持力一定增大C.物体在水平方向所受合力一定增大；D.物体在竖直方向所受合力一定增大解析解析由于“物体仍保持静止”,可得如图的封闭四边形。 由图可知，随水平推力F的增大，斜面的支持力N一定增大，静摩擦力f先减小，后转变方向再逐渐增大。 因物体始终处于静止状态，故合力为零，不发生变化。 本例答案选B。 点拨应该指出，无论物体受几个力作用，只要满足物体的平衡条件，即物体处于匀速直线运动或静止状态，所有各力都可组成一个完全封闭的多边形。 但是，作图时必须弄清每个力的确切方向。 以上几种方法是解决物体平衡的常用方法，有些方法也适用于解决其它物理问题正交分解是最基本方法，基本上对各种问题都适用正弦定理、图象法、三角形相似在解决三力平衡问题时较方便图象法在定性讨论力的变化问题优显简洁。 整体法、隔离法在解决多物体平衡问题时常用6极限分析法运用极限思维，把所涉及的变量在不超过变量取值范围的条件下，使某些量的变化抽象成无限大或无限小去思考解决实际问题。 这种方法具有好懂、易学、省时、准确的特点。 例例6如图所示，轻绳的一端系在质量为m的物体上，另一端系在轻质圆环上，圆环套在粗糙水平杆MN上，先用水平力F拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变F的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动，则在这一过程中，水平力F、环与杆的摩擦力F摩和环对杆的压力F N的变化情况是（）AF逐渐增大，F摩保持不变，F N逐渐增大BF逐渐增大，F摩逐渐增大，F N保持不变CF逐渐减小，F摩逐渐增大，FN逐渐减小DF逐渐减小，F摩逐渐减小，FN保持不变解析在物体缓慢下降的过程中，细绳与竖直方向的夹角不断减小，可把这种减小状态推到无限小，即细绳与竖直方向的夹角=0；此时系统仍处于平衡状态，由平衡条件可知，当=0时，F=0，F摩=0。 所以可得出结论在物体缓慢下降过程中，F逐渐减小，F摩也随之减小。 故选项D正确。 练习1如图在粗糙水平面上放一三角形木块a,物体b在a的斜面上匀速下滑则(A)Aa保持静止，而且没有相对水平面运动的趋势；Ba保持静止，但有相对于水平面向右运动的趋势；Ca保持静止，但有相对于水平面向左运动的趋势；D因未给出所需数据，无法对a是否运动或有无运动趋势作出判断2如图所示，对斜面上的物块施以一个沿斜面向上的拉力F的作用，物块恰能沿斜面匀速下滑，在此过程中斜面相对水平地面静止不动，则水平地面对斜面（B）A.摩擦力等于零；B.有摩擦力，方向为水平向左C.有摩擦力，方向为水平向右；D.有摩擦力，但方向不能确定右图所示三角形木块A放在水平地面上，一物块B在水平推力F作用下静止在A的斜面上，A在地面上静止，此时B与A间的静摩擦力大小为F1，A与地面间的静摩擦力大小为F2，若减小水平推力F的大小而A与B均保持静止，则F1与F2的变化情况是（C、D）A.F1肯定变小，F2可能变小；B.F1肯定变小，F2可能变大C.F2肯定变小，F1可能变小；D.F2肯定变小，F1可能变大 4、（98年广东高考题）如图细绳AO，BO等长，A点固定不动，在手持B点沿圆弧向C点缓慢运动过程中，绳BO的张力将（C）A不断变大B不断变小C先变小再变大D先变大再变小 5、（03年全国理综）如图，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。 一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为1m和2m的小球，当它们处于平衡状态时，质量为1m的小球与O点的连线与水平面的夹角为060=。 两小球的质量比21mm为（A）A13B32C23D 326、（04全国、广东）用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中,如图1所示.已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为030和060，则ac绳和bc绳中的拉力分别为（A）A BO CA.31,22mg mg；B.13,22mg mg；C.31,42mg mg；D.13,24mg mg 7、（07广东）如图所示，在倾角为的固定光滑斜面上，质量为m的物体受外力F1和F2的作用，F1方向水平向右，F2方向竖直向上。 若物体静止在斜面上，则下列关系正确的是（B）Amg Fmg FF=+221,sin cossinBmg Fmg FF=+221,sin sin cosCmg Fmg FF=?221,sincossinDmgFmgFF=?221,sin sincos 8、（05全国）一重为G的小球，套于竖直放置的半径为R的光滑大圆环上，一劲度系数为k，自然长度为L（Lm B，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦均不计.如果绳一端由Q点缓慢地向左移到P点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角如何变化？B BA.物体A的高度升高，角变大B.物体A的高度降低，角不变C.物体A的高度升高，角不变D.物体A的高度不变，角变小12.如图所示，用轻绳将小球悬于O点，力F拉住小球使悬线偏离竖直方向600角，小球处于平衡状态，要使F有最小值，F与竖直方向的夹角