关于竞争模型matlab求解例题.doc

关于两个生物种群的竞争模型求解题： ，=0.5，=1.6，=2.5，=1.8，=1.6，=1，初始条件1） ，初始条件2） 问：（1）.用数值方法画出的曲线图；（2）.画出相轨线；（3）.从的图中观察时，的变化趋势，试图用稳定性的理论进行分析。答：(1)先依据微分方程建立函数文件xt.m。function dy=xt(t,y)p1=0.5;p2=1.6;r1=2.5;r2=1.8;N1=1.6;N2=1;dy=zeros(2,1);dy(1)=r1*y(1).*(1-y(1)./N1-p1*y(2)./N2);dy(2)=r2*y(2).*(1-y(2)./N2-p2*y(1)./N1);利用以下程序画出的曲线图。t0=0;tf=10;t,y=ode45(xt,t0 tf,0.1 0.1);%取初始条件一时，求微分方程数值解subplot(1,2,1);plot(t,y(:,1),t,y(:,2),r);%画出x1(t),x2(t)曲线图xlabel(时间t);ylabel(种群密度x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);%作标记title(初值分别为0.1,0.1时两种群密度与时间关系);grid on;t2,y2=ode45(xt,t0 tf,1 2);%取初始条件二时，求微分方程数值解subplot(1,2,2);plot(t2,y2(:,1),t2,y2(:,2),r); %画出x1(t),x2(t)曲线图xlabel(时间t);ylabel(种群密度x);gtext(x1(t);gtext(x2(t);%作标记title(初值分别为1,2时两种群密度与时间关系);grid on;当取初始条件一时,的曲线图如图(一)： 图(一)当取初始条件二时,的曲线图如图(二)： 图(二)(2) 画出相轨线程序如下：t0=0;tf=10;t,y=ode45(xt,t0 tf,0.1 0.1);plot(y(:,1),y(:,2),b);hold on;plot(y(1,1),y(1,2),r+);xlabel(甲种群密度x1);ylabel(乙种群密度x2);%作标记t2,y2=ode45(xt,t0 tf,1 2);hold on;plot(y2(:,1),y2(:,2),g); hold on;plot(y2(1,1),y2(1,2),r*);grid on;title(甲乙种群相轨线);作出图像如图(三),其中在初始条件一、二下的开始位置分别用“+”和“*”标记。 图(三)(3)从图(一)和图(二)我们可以看出时，总趋向其最大容量1.6，而总趋向于0 (趋向消亡)。我们可从稳定性的理论进行分析。求平衡点：令f(x1,x2)=g(x1,x2)=0，得到四个平衡点：P1(1.6,0)，P2(0,1)，P3(0,0)，P4(4,-3)。令稳定条件为p0而且q0，作表(一)：pq稳定条件P1r1-r2(1- s2 )-r1r2(1-s2)s21(s11(s21)P3-(r1+r2)r1r2不稳定P4r1(1-s1)+r2(1-s2)(1-s1s2)-1r1r2(1-s1)(1-s2)(1-s1s2)-1s11s21且s11。依表(一)知P1是唯一稳定的平衡点。相平面上，即在x1 - x2平面上研究方程解沿着 t 增加所表现出的趋势。 可知x1(t)和x2(t)的增减由j=1-x1/N1-s1x2/N2 和 y=1-s2x1/N1-x2/N2 决定。在s11情况下，j=0 和 y=0 将相平面分为三个区域：S1：x10, x20;S2：x10, x20;S3：x10, x20.用程序作图：t0=0;tf=10;x1=0:0.1:1.6;x11=0:0.1:1;p1=0.5;p2=1.6;N1=1.6;N2=1;r1=2.5;r2=1.8;x21=N2*(1-x1./N1)/p1;x22=N2*(1-(p2/N1).*x11);plot(x1,x21,r,x11,x22,r)%作直线t,y=ode45(xt,t0 tf,0.1 0.1);t1,y1=ode45(xt,t0 tf,1 2);t2,y2=ode45(xt,t0 tf,0.4 1.2);hold on;plot(y(:,1),y(:,2),y(1,1),y(1,2),r*);hold on;plot(y1(:,1),y1(:,2),y1(1,1),y1(1,2),r*);hold on;plot(y2(:,1),y2(:,2),y2(1,1),y2(1,2),r*);xlabel(甲种群密度x1);ylabel(乙种群密度x2);%作标记title(甲乙种群相轨线);grid o