IIR滤波器设计.doc

双线性变换法设计数字滤波器一、数字滤波器数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性:,设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。二、IIR数字滤波器设计方法IIR数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为假设MN，当MN时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数和 ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。2.用双线性变换法设计IIR数字滤波器脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1-3所示。图1-1双线性变换的映射关系为了将S平面的整个虚轴j压缩到S1平面j1轴上的-/T到/T段上，可以通过以下的正切变换实现（1-1）式中,T仍是采样间隔。当1由-/T经过0变化到/T时，由-经过0变化到+，也即映射了整个j轴。将式（1-5）写成将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，则得再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面z=es1T从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：（1-2）（1-3）式（1-2）与式（1-3）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换式（1-1）与式（1-2）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。首先,把z=ej，可得（1-4）即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。其次，将s=+j代入式（1-8），得因此由此看出，当0时，|z|0时，|z|1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。三、IIR数字带通滤波器设计过程：根据以上IIR数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于MATLAB设计一个IIR带通滤波器，其中带通的中心频率为p0=0.5，;通带截止频率p1=0.4,p2=0.6;通带最大衰减p=3dB;阻带最小衰减s=15dB;阻带截止频率s2=0.71.设计步骤：(1)根据任务,确定性能指标:在设计带通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标:带通滤波器的阻带边界频率关于中心频率p0几何对称，因此ws1=wp0- (ws2-wp0)=0.3通带截止频率wc1=0.4,wc2=0.6;阻带截止频率wr1=0.3，wr2=0.7；阻带最小衰减s=3dB和通带最大衰减p=15dB;(2)用=2/T*tan(w/2)对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变，得到带通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率p1,p2;阻带截止频率s1，s2的转换。为了计算简便，对双线性变换法一般T=2s通带截止频率wc1=(2/T)*tan(wp1/2)=tan(0.4/2)=0.7265wc2=(2/T)*tan(wp2/2)=tan(0.6/2)=1.3764阻带截止频率wr1=(2/T)*tan(ws1/2)=tan(0.3/2)=0.5095wr2=(2/T)*tan(ws2/2)=tan(0.7/2)=1.9626阻带最小衰减s=3dB和通带最大衰减p=15dB;(3)运用低通到带通频率变换公式=(2)-(02)/(B*)将模拟带通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标。B=wc2-wc1=0.6499normwr1=(wr12)-(w02)/(B*wr1)=2.236normwr2=(wr22)-(w02)/(B*wr2)=2.236normwc1=(wc12)-(w02)/(B*wc1)=1normwc2=(wc22)-(w02)/(B*wc2)=1得出，normwc=1，normwr=2.236模拟低通滤波器指标：normwc=1，normwr=2.236，p=3dB，s=15dB(4)设计模拟低通原型滤波器。用模拟低通滤波器设计方法得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s);借助巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等。(5)调用lp2bp函数将模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。(6)利用双线性变换法将模拟带通滤波器Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z).3.MATLAB程序：MATLAB 程序如下:clearwp0=0.5*pi;wp1=0.4*pi;wp2=0.6*pi;Ap=3;ws2=0.7*pi;As=15;T=2; ws1=wp0-(ws2-wp0); wc1=(2/T)*tan(wp1/2);wc2=(2/T)*tan(wp2/2);wr1=(2/T)*tan(ws1/2);wr2=(2/T)*tan(ws2/2);w0=(2/T)*tan(wp0/2); B=wc2-wc1; normwr1=(wr12)-(w02)/(B*wr1);normwr2=(wr22)-(w02)/(B*wr2);normwc1=(wc12)-(w02)/(B*wc1);normwc2=(wc22)-(w02)/(B*wc2); if abs(normwr1)abs(normwr2) normwr=abs(normwr2)else normwr=abs(normwr1)end normwc=1; N=buttord(normwc,normwr,Ap,As,s);bLP,aLP=butter(N,normwc,s); bBP,aBP=lp2bp(bLP,aLP,w0,B); b,a=bilinear(bBP,aBP,0.5); w=linspace (0,2*pi,500);h=freqz(b,a,w);subplot(2,1,2);plot(w,abs(h);grid onxlabel(w(rad)ylabel(|H(jw)|)title(频谱函数)subplot(2,2,1);plot(w,20*log10(abs(h);axis(0,2*pi,-120,20);grid onxlabel(w(rad)ylabel(20*lg|H(jw)|(db)title(20*lg|H(jw)|-w)四运行结果及分析：五总结：通过这个实验，对设计带通数字滤波器的整个过程有了很好的掌握。其中双线性变换法，巴特沃斯设计模拟滤波