高中数学竞赛(07-10)试题之数列教师版.doc

高中数学竞赛（07-10年）试题分类汇总数列1（07全国）已知等差数列an的公差d不为0，等比数列bn的公比q是小于1的正有理数。若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于_解：因为，故由已知条件知道：1+q+q2为，其中m为正整数。令，则。由于q是小于1的正有理数，所以，即5m13且是某个有理数的平方，由此可知。2.（08湖南）已知是等比数列，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 解: 设的公比为，则，进而.所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列. .显然，. 选C.3.（08全国）设数列的前项和满足：，则通项=解 ，即 2 =，由此得 2令， ()，有，故，所以120.514（08江苏）在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为 答：A A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的，则. 选A.5.（08河北）8已知数列满足，则=_ .答案：解：由已知得，且所以，即是首项、公差均为1的等差数列，所以=n，即有.6. （10全国）已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则 .解：设的公差为的公比为，则 （1） ， （2）（1）代入（2）得，求得.从而有 对一切正整数都成立，即 对一切正整数都成立.从而 ， 求得 ， .7.（11浙江）2. 已知等差数列前15项的和=30，则=_6_.解答：由，而。8.（09全国）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】【解析】 易知：()该数表共有100行；()每一行构成一个等差数列，且公差依次为，()为所求设第行的第一个数为，则 故9（07全国）设，求证：当正整数n2时，an+1an。证明：由于，因此，于是，对任意的正整数n2，有，即an+1an。10（08河北）16在数列中，是给定的非零整数，（1）若，求；（2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列解：（1），自第22项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故=14分（2）首先证明数列必在有限项后出现零项假设中没有零项，由于，所以.时，都有6分当时，（）；当时，（），即的值要么比至少小1，要么比至少小18分令，则由于是确定的正整数，这样下去，必然存在某项，这与矛盾，从而中必有零项.10分若第一次出现的零项为，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，即，所以数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.12分11.（08湖北）9已知数列中，且（1）求数列的通项公式；（2）求证：对一切，有解 （1）由已知，对有 ，两边同除以n，得 ，即 ， 4分于是， 即 ，所以 ，又时也成立，故 8分（2）当，有，12分所以时，有又时，故对一切，有 16分12（08浙江）设非负等差数列的公差，记为数列的前n项和，证明： 1）若，且，则； 2）若则。解：设非负等差数列的首项为，公差为。（1）因为，所以，。从而有。 因为，所以有于是。（2） 又因为，所以有13.（09全国）（本小题15分）已知，是实数，方程有两个实根，数列满足，()求数列的通项公式（用，表示）；()若，求的前项和方法一：()由韦达定理知，又，所以，整理得令，则所以是公比为的等比数列数列的首项为：所以，即所以当时，变为整理得，所以，数列成公差为的等差数列，其首项为所以于是数列的通项公式为；当时， 整理得，所以，数列成公比为的等比数列，其首项为所以于是数列的通项公式为()若，则，此时由第()步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为以上两式相减，整理得所以方法二：()由韦达定理知，又，所以，特征方程的两个根为，当时，通项由，得 解得故 当时，通项由，得 解得，故 10分()同方法一14（10全国）数列满足.求证: . （1）证明：由 知 ， . （2）所以 即 . 从而 .所以（1）等价于 ，即 . （3） 由 及 知 .当时 ， ，即时，（3）成立.设时，（3）成立，即 .当时，由（2）知 ； 又由（2）及 知 均为整数，从而由 有 即 ，所以 ，即（3）对也成立.所以（3）对的正整数都成立，即（1）对的正整数都成立. 14.（