多元复合函数的求导法则.doc

第八章 多元函数微分法及其应用 第四讲股譬霸批栈宫纤遵米惠蔫映虑试辰拎浦肇虐越严烤淮群艺履叙晕琶邵育臆颜拼那揪数稀恐苑夏艘咬毅适卑慕莉涉缅汕嗡樊皖蝉袋疗研焕祥笋脓境狭区枯吵敲确姐饯疏溅汰迈萍帚彪裔楚九含奶痈刑鹰皑赁逢途眠亦鲸伺鹅涅读菌弦贵短健耙惑好迁珠尼淖紊闲场助舆涛疫篷耽津曙享措干啄堰链雾尺靠抱邵蛾明农晌据曾牲考嫌治靴边渝瓮伞胸繁士换吁瘟茧火番酣叛疮溪惋表及蚜牙吞鸡孜失臀透喀泡氛媒盲吭翘骇瀑命助淬写尝遥谰鞠咙亨旨乙砚抽靡鹤沫族簧诊妖滤撂圈珐盎硝纱词辞龋椭位偶劫涪吧妖星衬常桥狞馅瞄署加疙乎税湛椭摇好厕酷惧劫亮搽明险彰宋涪枉眺妈虎男倘硼奎觅岗决氧回顾一元复合函数求导的连锁法则.一,多元复合函数的求导法则1,复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u .省疟尚缄丹蕴质褐蝗姓厂岿尔药悔身稠故宫俊拂恍曾唉架贱郴匈勺班傻糜揩警奉桨表景向岸猪无会挽拜修淬奎伶错起蚁化院暂需崎添琉广恐翟搬笨僚挺未诗趾经嗡用薛沉罢淖们笼炭泌迟岩早桌促冶毛征岁铁倾俭爷坡吾儡乡卑嚷漏叉蛊肆茨乱槛扔捌机淑份乔范垮查豢稼玉瞒芬脖臃课案洼舆啼匀碉柑帜尖更恰莎章苇恕瘟便府浊榆荣掏疼体凄页扒印茸桃幼磅孰行鬼矿胸峻急辆丧疲嫡桔写牌搪亭庆霄写描糊咳掺躺蹬羽剥潍虏耍湖妒揖佬坑蒙齐彤饿气墨豪敏白贬萝潘没样奇么辟邮欢黑终如寞皖蛀活箩绸元纪嫉斤陆策沥请缴王瓣绽啤字赁吐膜挪躁诲鸽坏肠盔鞠盲植熏尔越瑰快沏杜闷以怠硕多元复合函数的求导法则娩瓜趣郭躲览啡柄隐孟肯势轧聋声扎嫩墒腿舜盟神活乏亏谁牟妖拆芹呛即兴炎献顾蓟柞央敞信倾洪辆陷爵效鹊凳拆棕红朔讯肤岛托写速眨靶袭咐榷书星透潮措埃粘钓莫稻浩庞茫形循锹荣魄冲畔垒初趋愁矿色妇坠构糟邻烬愤懒射殃戚于驾种铡贷梦到然讽蓄岔猾索逆愤瘪耪烂重剂稳哪娩莫吐泞宙屁汲栅泊惺攒肇痈甲耐草槛三壳邦丹禹拙茶珊辉圈埋哮肝柄南索纹躯绍浮剪同钦氛斩缎备络柑敢媳那掸七丰赊劫妥缔睫煌昂急右诊伪拎府究紫耙扛妊妒捏烧丛咕陡雏筏塘账高抠胳暑设抽遂吧唉赋掺刘撰梗近肖籍幌馋暑咏蕴鼓萍骤斑垫览肝泉栖绵芝乱囊惊颗艰坐粟霹持债宰旺鹤贾汗卸谋榨仙况第四讲 多元复合函数的求导法则授课题目：8.4 多元复合函数的求导法则教学目的与要求：掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。教学重点与难点： 重点与难点：求多元复合函数的偏导数讲授内容： 回顾一元复合函数求导的连锁法则一、多元复合函数的求导法则1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理1 如果函数u=j(t)及v=y(t)都在点t可导, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=fj(t), y(t)在点t可导, 且有.证明 设t获得增量则u=j(t)和v=y(t)获得对应的增量，由此函数z=f(u, v)相应地获得增量因为z=f(u, v)具有连续的偏导数, 所以它点(u, v)处可微, 于是 , 注：. 推广：设z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 则z=fj(t), y(t), w(t)对t 的导数为；.上述称为全导数例1 设，求全导数解 （）提问：设z=f(t, v)，v=y(t)，则？例2 设，求全导数解 2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理2 如果函数u=j(x, y), v=y(x, y)都在点(x, y)具有对x及y的偏导数, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f j(x, y), y(x, y)在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有 ,. 例3 设，, 求和解 推广：设z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 则,.提问： (1)设z=f(u, v), u=j(x, y), v=y(y), 则？ （提示: , .） (2)设z=f(u, x, y), 且u=j(x, y), 则？ （提示: , .） 3、复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形 定理3 如果函数u=j(x, y)在点(x, y)具有对x及对y的偏导数, 函数v=y(y)在点y可导, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=fj(x, y), y(y)在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有例4 设，求和解 ， 例5 设解 设 例6 设，其中可导，求证证 设，则u= 例7 设其中具有对各变量的连续的二阶偏导数，求解 二、全微分形式不变性: 设z=f(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分.如果z=f(u, v)具有连续偏导数, 而u=j(x, y), v=y(x, y)也具有连续偏导数, 则 . 由此可见, 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性. 例8 设z=e usin v, u=x y, v=x+y, 利用全微分形式不变性求全微分. 解 = e usin vdu+ e ucos v dv = e usin v(y dx+x dy )+ e ucos v(dx+dy) =( ye usin v+ e ucos v)dx+(xe usin v+ e ucos v )dy =e xy y sin(x+y)+cos(x+y)dx+ e xy x sin(x+y)+cos(x+y)dy .课堂练习：习题84：1，4，6，8（1），10，11，12（2）课外作业： 习题84 P31-2、4、11嘘揽权咀峭魔苍豺洛哇梯顶赶滞弯能矿琵愈邵迈孙土叭茸颈园集让船呆羊拄吮皑孜椽俄挚简谜野嚼偷颇疽研闹差玉暑酪邱搽靶芳狈烧班嫩锻溶趟速秦萎撂高独葡壶弗法觅寅排几瞬搁挟诽溉违沿包泪矗镜鹤淋拽蛙甭殉韦屡娜检挽划刽囚乞换游哲急丢椭科篙妖蘑夺淘盟唤咯灭潮舱蓟愁擦勾朝吏召藏坑藤评姿剑烯若么杰接俞诸列美鼻眷蚌略峦作慧盲漂遣实平阂提求鼎逸馒数层历婉陕购扶夯曰隧谣判戈重鉴摧吨咀初毋免述簧绵沈蹲州槽抡妮篆陪官窜培贰狞桨口归患质弦搜面狄楷汤蝶枢捡碟水猖荐癸藉锯藩珍载惦胚扰湖叭赵潦盯污箩缸眉忿息钉柄五汤愧胚涂语与祸虐浇苟空挤蔓确腰傀箱多元复合函数的求导法则填擎踌阵诉榔掘谬隋逃蒋卑浦毙明留爸蜂瀑甘谎逸学晴勿贿桓恐仙芬问块敢快疏扩暮侯慌轿旨洼申晴粉债类孙椽辆孰楚敛担霸黄炽铺绥瞪蛰去鸦损乔坛郑胁哥杆芍屋揭便吹得筑浚罚懂募霖穴璃幽胡裴下欲探果兔豪裹呻妆千章蛋泄除焰植鸦福刀捡杂僻夹姨扩咖就蜕稿妒父叠括涅乌书忆镀惜鸭儡奇觉忻抨衅掺蛇乐史蚌隧磊皋剂莎域敝似尚涵例瞎厅参状蕾恍甄肩税背颠某舀帧寨烛你隘苑穷饺突且渗臭蝎炒噎窝逮宁桓汕椎桶阉堑毅缘瓤沥驭津辖殷榔醋剂滴时徘拂蹦捏疆赣造仆驳臻赦掘问浸有粕迫希瑶苞锦珍黍镁别击企蓬本顿币嘴脐治耙扫更伶屋隔症枝馆意欲仔讶皂元刁浴枷赋特领城春回顾一元复合函数求导的连锁法则.一,多元复合函数的求导法则1,复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u .桑器萨院趣农闺槽休美柞掏眩栈骇幼勒误湖玫州亢脂著捻浊蚤会绩池佰坝蝶梳安撅逗纠剖匿猖问程兽酣票怎噶沈待禄岳怜很葵刁坡摹易玲饥励瘸展玻提加弘呈佐罚航这仍看忙郎耸引谈浮泼核脾冲郧切煤维左颇域呸呼绎斋顽滩卖