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文档简介

泛函分析练习题一名词解释：1.范数与线性赋范空间2.无处稠密子集与第一纲集3.紧集与相对紧集4.开映射5.共轭算子6. 内点、内部：7. 线性算子、线性范函：8. 自然嵌入算子9. 共轭算子10. 内积与内积空间：11. 弱有界集：12. 紧算子：13. 凸集14. 有界集15. 距离16. 可分17. Cauchy列18.自反空间二、定理叙述1、 压缩映射原理2. 共鸣定理3.逆算子定理4. 闭图像定理5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理6、Baire纲定理7、开映射定理8、Riesz表现定理三证明题：1.若是度量空间，则也使成为度量空间。证明： 显然有 （1），当且仅当。 （2） （3）由，关于单调递增，得 故也是上的度量。2， 设是内积空间，则当时，即内积关于两变元连续。证明：已知 ，即。故有 即 。3.考虑上的非线性积分方程 其中是上的连续函数，满足 证明当足够小时，此方程存在唯一解。证明：令 则T是的算子。并且 所以。故当足够小时，T为到的压缩算子，由压缩映射原理，存在唯一的，使得，也即此方程存在唯一解4.若函数族在紧集上等度连续并且点点收敛，则在A上一致收敛。证明：由在紧集A上等度连续，有 令上式两端令得，。因为为紧集，存在的有限网，对存在，s.t.有 故 此即在A上一致收敛。5.设若是从的算子，计算若是从的算子再求。解：（1）当是从的算子。 所以 。取，则 所以 。故有 （2）当T是从的算子时所以 取，则。又 所以 故有 6.若是上的另一完备范数(原范数记为),并且当时必有,则与等价.证明: 定义 , 因为与完备,显然是一一的到上的线性算子,故只须证明是连续算子. 由已知 时,必有,.,即一致收敛到.由收敛的唯一性知 .所以为闭算子,又与完备, 由闭算子定理得,是连续算子.7. 若并且，则。证 ，令，。则。由，知，即 故有。8应用Hder不等式证明，若是上定义的非负可测函数，则 .证 令， 此题得证。9.设，有界且满足阶Lipschitz条件则是中的相对紧集。 证 ，取，则有故为等度连续函数。又为有界，故由Arzela-Ascoli定理知是相对紧集。四论述题：1、 证明完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。2
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