离散数学复习指导1.doc

离散数学复习指导命题逻辑部分一 学习要求 1理解命题、联结词的含义，掌握命题的符号化； 2理解命题公式的赋值，能求出公式的真值表，判断公式的类型；3. 理解公式等值的定义,记住一些基本等值式,能进行等值演算;4. 体会公式的主范式与公式赋值之间的关系,能利用等值演算求出范式;5. 理解公式的蕴涵及推理的含义及联系,记住一些基本的推理规则,能用演绎推理方法进给出推理证明;二 范例例1 将下列命题符号化 小王聪明但不用功； 说数理逻辑枯燥无味或毫无价值，那是不对的； 你不及格就要补考。 不经一事，不长一智；解： 设p：小王聪明，q：小王用功，则该命题可符号化为：。 p：数理逻辑枯燥无味，q：数理逻辑毫无价值，则：。 p：你及格了；q：你要参加补考，则：。 p：经一事；Q：长一智，则：。 这是简单命题，则p：李卫与李星是兄弟。例2 求命题公式的主析取范式和主合取范式，指出公式的成真赋值和成假赋值，并判断公式的类型。解： （主合取范式） (主析取范式) 公式的成真赋值为：000，001，011，101，110，111 成假赋值为：010，100公式为非重言式的可满足式 。 例3 构造下面推理的证明： 前提： 结论：证：(1) P; (2) T(1)化简规则;(3) T(1)化简规则 (4) P;(5) r T(3)(4)假言推理; (6) P;(7) s T(3)(6)析取三段论; (8) T(5)(7)合取式. 例4. 先将下列相关命题符号化,给出推理证明如果4是偶数,则2不能整除5. 或者7不是素数或者2整除5. 7是素数.因此4不是偶数.解: 设p: 4是偶数; q: 2能整除5; r: 7是素数; s: 2整除5,则前提： 结论：证明: (1) 结论之否定; (2) T(1)等值式;(3) P; (4) T(2)(3)假言推理;(5) P; (6) T(4)(5)析取三段论;(7) P; (8) T(6)(7)合取式. 谓词逻辑部分一 学习要求 1理解谓词逻辑的三要素，掌握命题的符号化； 2理解谓词公式中量词的辖域、约束关系,及公式的解释，能求出在一个解释下公式的真值，能判断公式的类型；3. 理解公式等值的定义,记住谓词公式的特殊的基本等值式,能进行等值演算;4. 理解前束范式的定义,能利用等值演算求出公式的前束范式;5. 理解公式的蕴涵及推理的含义及联系,特别记住谓词中的一些推理规则,能用演绎推理方法进给出推理证明;二 范例例1 将下列命题符号化 不是所以的人都要补考,但就有人要补考. 天下乌鸦一般黑。 不是所有火车都比汽车快，但有的火车比所有汽车快。解：是人； ：要补考，则： （注意特性谓词的用法） 设D=乌鸦，：是黑的，则： （本题使用了论域）：是火车；：是汽车；：比快，则：或：。例2 设解释I如下:D=2,3,.试求出下列公式在解释I下的真值. 解: 在解释I下: 例3 求公式的前束范式.解: (前束范式)例4 构造推理证明，前题: ，结论:证明:(1) 附加前题; (2) T(1) EI规则; (3) P; (4) T(3) UI规则; (5) T(2)(4)假言推理规则; (6) P; (7) T(6) UI规则; (8) T(5)(7)析取三段论. (9) T(8) EG规则.集合论部分一 学习要求 1领会集合的各种运算，掌握各种集合式的谓词演算的证明方法； 2领会序偶及笛卡积的定义,理解二元关系的定义,掌握及关系的运算(定义域、值域、逆、复合、闭包)；掌握关系的三种表示方法(集合、关系图、关系矩阵).3. 领会关系的性质,能判断或证明一个关系所具有的性质,4. 理解等价关系及划分的定义，掌握等价类及集合商集的求法，理解等价关系与划分的关系。5. 理解偏序关系的定义，特别注意偏序集中元素的可比性（“大小”的含义），能画出哈斯图，并能求出集合中的特殊元及集合的界； 理解函数的定义，掌握函数的复合及逆运算，领会特殊函数（单射，满射，双射）的概念。二 范例例1 已知，求： ； ； ； 解：， ； ； ； 例2 已知, 求: ; , , 解: =; = = = 例3 已知X=a,b,c,给出X上的所有等价关系。解:X的划分其有五种:S1=a,b,c, S2=a,b,c,S3=a,c,b,S4=a,b,c,S5=a,b,c,因为X上划分与等价关系一一对应,故x上共有五个等价关系，它们是：R1,R2, R3R4, R5例4 已知偏序集X,R,其中X=a,b,c,d,e, Y=d,e, R的关系矩阵为 求：(1).用集合的列举法写出R(2).画出R的哈斯图； (3).找出X的极大元、极小元、最大 元、最小元； (4).找出Y的上界、下界、最小上界、最大下界。解:(1). (2).略(3)X的极大元:a; 极小元:c，d ; 最大元:a ; 最小元: 无.(4). Y的上界e,a; 下界d ; 最小上界e; 最大下界d。 例5 实数集R上的函数, , 上函数,判断f是否单射、满射、双射,并求, ,.解: 为双射, 为双射, , , , .均为双射, , , .代数结构部分一 学习要求 1理解二元运算的含义及代数系统中的运算的性质及特殊元（单位元、零无、逆元）的定义； 2了解代数系统的同态与同构的定义；知道满同态下的保持性;3. 记住半群的定义,掌握特殊半群（独异点、循环半群、可交换半群等）的证明方法。4. 记住群的定义,了解群的性质，掌握群的证明方法（从定义出发）。;二 范例例1. Z为整数集，S=x|,在S 上定义二元运算*: x*y=minx,y,证明是单元可交换半群。证： 对任意x,y, x*y=minx,y,*是二元运算，是代数系统； 对任意x,y,z(x*y)*z=(minx,y)*z=minx,y,zx*(y*z)= z * (minx,y) =minx,y,z*运算满足结合律，是半群； 对任意x，x*10=10*x=x 10是单位元，是单元半群； x*y=minx,y= miny,x=y*x, *运算满足交换律；故是单元可交换半群。例 2（10分） Zn=0,1,2,n-1 ,在Zn上定义二元运算:xy=(x+y) mod n, 其中+、-是普通加法、减法，证明是循环群。 证(1)对任意x,yZn, 因xy=(x+y) mod nZn 所以是二元运算, 是代数系统;（2分）(2) 对任意x,y,zZn,因 (xy) z=(x+y) mod n) z=(x+y+z) mod nx(yz)=x(y+z) mod n)=(x+y+z) mod n有(xy) z= x