111微分中值定理的证明、推广与应用(定).doc

第一章 引言第一章 引言11研究的背景微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后。1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒。一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提出了大量的问题。这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段。 微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具。什么是微积分？它是一种数学思想，无限细分就是微分，无限求和就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念 如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。 牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。 （l）“已知流量之间的关系，求它们的流数的关系”，这相当于微分学。 （2）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。这相当于积分学，牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。 （3）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值、求曲线的切线和曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等。 牛顿已完全清楚上述（l）与（2）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积分学之间的联系。 牛顿在1665年5月20目的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。 莱布尼茨使微积分更加简洁和准确 而德国数学家莱布尼茨（GWLeibniz 16461716）则是从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是池们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一筹，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。 莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样，促进了微积分学的发展，莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。以标志微积分作为一门独立科学的诞生。前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性。虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视。因此，在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务。 12研究的价值人们对微分中值定理的研究,大约经历了二百多年的时间. 从费马定理开 始,经历了从特殊到一般,从直观到抽象,从强条件到弱条件的发展阶段.人们正 是在这一发展过程中,逐渐认识到微分中值定理的普遍性. 微分中值定理的形成 历史和发展过程深刻的揭示了数学发展是一个推陈出新，吐故纳新的过程, 是一 些新的有力工具和更简单方法的发现与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程, 是一个由低级向高级发展过程，是分析、代数和几何统一的过程. 正像龚昇先生 指出的:“ 数学中每一步真正的发展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密 切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧、复杂的东西抛到一边. 数学科学发展的这种特点是根深蒂固的.”而我们从整个数学，特别是现代数学在21世纪变得更加重要来认识微分中值定理的重要性。美国数学评论2000年新的分类中，一级分类已达到63个，主题分类已超过5600多个，说明现代数学已形成庞大的科学体系，并且仍在不断向纵深化发展。它在自然科学、工程技术、国防、国民经济(如金融、管理等)和人文社会科学(如语言学、心理学、历史、文学艺术等)以至我们的日常生活中的应用都在不断深化和发展。它为我们提供了理解信息世界的一种强有力的工具，它也是新世纪公民的文化和科学素质的重要组成部分。而微分中值定理在数学中又处于独特的地位。13研究的方法本文归纳和总结了一些微分中值定理的证明、推广与应用的方法与技巧，突出了微分中值定理的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握微分中值定理的思想方法；注重对一些著名微分中值定理的推广及应用的介绍，以便更好地理解和运用。我们知道任何知识体系都不是孤立的，它们相互联系相互渗透，而不同体系的“知识交汇”更能有效地培养学生的综合思维能力。所以在写这篇论文时，在整合以上参考文献时，在不同的证明方法和不同的角度和思维的相互交汇下，我受益匪浅。拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是罗尔定理，它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是沟通函数及其导数的桥梁，是数学分析的重要定理之一。构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上，辅助函数法是转化问题的一种重要手段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，这种论证思想也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。 14文献综述数学问题（猜想）的重要性先哲们已有过精辟的阐述。的确，形式优美、新颖、内涵丰富的不等式问题，不仅丰富了我们的研究素材，而且孕育了新思想、新方法的胚芽。当探索者在艰难的跋涉中感到困倦和乏味时，它就会突然放出奇光异彩，照亮一片天地。人们之所以能孜孜不倦地向未知领域探求，也正是问题那充满诱惑力的深情呼唤。新的东西可以刷新我们的视野。由于微分中值定理的多样性与广泛性，各有各的证明特色，所以我阅读许多文献。华东师范大学数学系数学分析（第三版上册）北京：高等教育出版社，2004是我参考的第一本文献。文中介绍了一些常见的证明方法及一些例子的应用。我还参考了刘振航关于拉格朗日中值定理的证明天津商学院学报，2002(5)：35-36；杜明芳拉格朗日中值定理的证明与思考北京印刷学院学报，2002(2)：56-57；刘应辉经济应用数学中国财政经济出版社，2002；施昭常微积分自学指导M暨南大学出版社，1993；裴礼文数学分析中典型问题与方法北京：高等教育出版社，2004；马振元数学分析中的方法与技巧选讲兰州兰州大学出版社，1999；程其襄，张奠宙等实变函数与泛函分析基础（第三版）北京：高等教育出版社，2005；刘玉琏，傅沛仁数学分析北京：高等教育出版社，2003；同济大学高等数学北京：高等教育出版社，2003；霍凤芹，陶金瑞微分中值定理的证明与推广东邢台学院学报，2007(2)：96-97；侯谦民中值定理的推广武汉职业技术学院学报，2003(6)：81-82；胡付高微分中值定理的推广及应用孝感学院学报（自然科学版），2000(11)：16-18；N吉米多维奇著数学分析习题集北京：高等教育出版社，1958等一些文献，从中收获很大，为本文的写作提供了很多参考资料。微分中值定理的证明方法有很多，而且非常的灵活、精彩。这些有关微分中值定理的结果就是数学家依靠并不复杂的逻辑推理得到的，然而在其来龙去脉被领悟以前，却常常像变戏法似的神秘莫测。这就是数学的魅力所在吧。本论文虽然经过多次的修改，但由于水平有限，论文肯定会存在不足之处，甚至是手误。31 第二章 微分中值定理的证明第二章 微分中值定理的证明微分中值定理分为：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式。其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，又（统）称为微分学基本定理、有限改变量定理或有限增量定理，是微分学的基本定理之一。内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同。现通过几何意义、辅助函数结合图形来证明各个定理。21 罗尔定理的证明罗尔定理（Rolle）: 如果函数满足下列条件： 在闭区间上连续， 在开区间内可导， ，则在区间内至少存在一点，使得罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。证明： 因为在上连续，所以有最大值与最小值，分别用与表示，现分两和情况来讨论：（a）若=，则在上必为常数，从而结论显然成立。（b）若，则因，使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点。由条件，在点处可导，故由费马定理推知。22 拉格朗日中值定理的证明拉格朗日中值定理的证明过程就是对所构造的辅助函数(该辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件)应用罗尔中值定理。由于构造辅助函数的思路不同,拉格朗日中值定理的证法就有多种。拉格朗日中值定理（Lagrange）: 设函数满足下列条件： 在闭区间上连续， 在开区间内可导，则在区间内至少存在一点，使得这个式子也可表示成。221 直接作辅助函数如数学分析中直接作辅助函数来证明拉格朗日中值定理。作辅助函数。显然， ，且在上满足罗尔定理的另两个条件。故存在，使得 ，所以成立。从上面的证明可知道罗尔定理是拉格朗日定理当时的特殊情形一般地，验证函数在闭区间上是否满足上述定理的条件时, 需要同时考虑定理中的条件，只有当定理中所列的条件全部满足了，才能说函数在这个闭区间上满足定理，并能求出定理结论中相应的。222 利用坐标旋转构造辅助函数设函数y = f ( x)在 a, b 上连续,在( a, b)内可导图1如图1所示,只要把坐标轴旋转到与直线重合,在新坐标系下,图形显然满足罗尔定理条件,通过罗尔定理即可得出结论。为此,可引入旋转坐标变换： 因为 所以有逆变换记 取旋转角时, 在内连续,在内可导由，可得 即，因此, 满足罗尔定理的条件,故至少存在一点使即 。223 利用分析表达式构造辅助函数在中学我们就知道一阶导数是可以作为函数的斜率。则由拉格朗日中值定理的结论得，可构造辅助函数 ，则且在闭区间上连续，在内可导，根据罗尔定理，存在一点使，即，定理得证。或者由拉格朗日中值定理结论，辅助函数应满足，即的形式。所以,可构造辅助函数。由于应满足，即然 故辅助函数为 所以对在内用罗尔定理即可证明。224 利用向量矢量积的几何意义构造辅助函数引理1在平面直角坐标系中,已知三个顶点的坐标分别为，则面积为 。 于是可以利用引理证明拉格朗日中值定理如下：若在内连续，在内可导，则在内连续，在内可导，且所以由罗尔中值定理知：在内至少存在一点，使得，而 故 。23 柯西定理的证明在前面本文已经证明了拉格朗日中值定理，可以看出如果在拉格朗日定理中加上的条件，就得到罗尔定理的结论，从而拉格朗日定理包含了罗尔定理。那么在柯西定理中, 若令，是否得到拉格朗日定理呢？现则对柯西中值定理进行证明。柯西中值定理（Cauchy）：如果函数及满足以下条件：（1） 在闭区间上连续；（2） 在开区间内可导，且，那么在骨至少有一点，使得 231 利用作辅助函数 因在区间上连续，在内可导，所以根据拉格朗日中值定理可知存在，使得，又因，故，因此。作辅助函数 因与在上连续，在内可导，故在上连续，在内可导，而，因此作辅助函数满足罗尔定理的条件所以由罗尔定理可知至少存在一点，使，因故上式可化为： 定理证毕。232 利用参数方程 在证明之前为了方便起见，先引进两个辅助定理： 定理1 设函数在开区间内可导, 且，则在该区间内的符号相同。定理2 如果函数在闭区间上连续且单调增加( 减少) , 则在对应的函数值区间上必存在着单值的反函数且该反函数也连续且单调增加( 减少)。由于上述两个辅助定理的证明比较简单, 在此就不加以证明了。下面给出利用参数的证法。 设 （2.3.21）其中看成参数因在开区间内，由辅助定理1 可知在该区间内同号, 不失一般性, 可设，故在该区间内单调增加, 显然在上也单调增加。又因在上连续, 则由辅助定理2 可知在区间上必存在着单值反函数，且该反函数也连续且单调增加。在参数方程（2.3.21） 中消去参数, 可得到以为自变量的函数，。因在闭区间上连续且单调, 而在闭区间上连续, 由复合函数的连续性可知在上连续。又因在开区间内可导,且, 由反函数的导数定理可知在内可导。注意到在开区间内可导, 由复合函数的导数定理可知在内可导, 并且有：由拉格朗日中值定理可知至少存在一点,使得下列等式成立: 即 而 ，如果令则有： 因，所以，因此有： 定理证毕。以上给出了柯西定理的两种证明方法, 第一种是常用的, 它的方法是构造一个辅助函数, 再利用罗尔定理来证明。第二种它的方法是利用参数方程以及复合函数的相关性质和定理, 然后再利用拉格朗日定理来证明。24 泰勒公式的证明泰勒公式（Taylor）中值定理： 如果函数在含有的某个开区间内具有直到(n+1)阶的导数，则当在内时，可以表示为的一个次多项式与一个余项之和： 其中称为在的次Taylor多项式，称为次Taylor多项式的余项。Lagrange型余项， 在与之间。Peano型余项。证明： 由假设，在内具有直到阶导数，且 两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得 （在与之间）两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得 （在与之间）如此下去，经过次后，得 （在与之间，也在与之间）因为 ，所以 则由上式得 （在与之间） 称为按幂展开的次近似多项式 称为按的幂展开的n阶泰勒公式 （在与之间） 所以 从上面的式子可以看出当时,泰勒公式即为拉格朗日中值定理 （在与之间）即泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广第三章 微分中值定理的推广第三章 微分中值定理的推广微分中值定理是微分学的重要定理，是应用导数研究函数性质的重要工具，是沟通函数及导数之间关系的桥梁，也是研究函数在某个区间内的整体性质的重要工具，历来受到人们的重视。31 罗尔中值定理的推广罗尔中值定理是微积分理论中的一个重要而有用的结论，但要求函数满足条件：(1) 在上连续；(2) 在内可导；(3). 并且这些条件缺一不可。那么对于其他一些不满足在 内可导的连续函数，是否有类似的中值定理？本文尝试减弱应满足的条件(2)，进而得出一般的中值定理。31 从单侧可导上的推广引理2 若函数在左开右闭区间上连续, 在左开右闭区间上存在左导数。函数在开区间上单调增加(单调减少),则在区间上有 （）。证明： 对于任意及自变量的改变量 (使), 由于函数在区间上单调增加, 故有，即 ，从而 。已知函数在点存在左导数, 根据极限保号性得: 。同理可证在上单调减少的情形。定理3 若函数满足下列条件：(1) 在闭区间上连续，(2) 在左开右闭区间上存在左导数，(3)；则在上至少存在一点，对于任意，存在，当时, 有 证明: 因在闭区间上连续, 故在闭区间上取到最大值和最小值，下面分两种情况讨论:如果，则函数在闭区间上是常数,于是, 对任意有即，所以上的任意一点都可当作，使得，当时, 有 。如果, 由条件(3)可知, 函数在闭区间两个端点与上的函数值与不可能同时取得最大值或最小值, 即在开区间内至少存在一点，函数在点取到最大值或最小值,不妨假设取得最小值, 于是函数在点处必取得局部极小值, 即为极小值点。由极小值的定义, 必存在，使函数在上单调减少, 在上单调增加, 由引理2, 函数在上有，在上有。对于任意，当时, 有，从而。即存在对于任意，存在当时, 有 。32 拉格朗日中值定理的推广32 由可导推广到单侧可导定理4 若函数满足下列条件：（1) 在闭区间上连续；(2) 在左开右闭区间上存在左导数；则在开区间内至少存在一点，对于任意，存在，当时, 有 。证明：作辅助函数 已知函数在上连续，在左开右闭区间上存在左导数，所以函数在上连续，在上存在左导数。又有即函数满足定理3的三个条件, 由定理3可知, 在上至少存在一点，对于任意，存在，当时, 有，即 。33 柯西中值定理的推广定理5 若函数与满足下列条件:(1) 在闭区间上均连续;(2) 在左开右闭区间上分别存在左导数与； (3) 在上单调, 且，有；则在上至少存在一点，使得对于任意，存在，当时, 有 。证明: 作辅助函数 ，已知函数与在上连续, 在上存在左导数,故在连续, 在上存在左导数，且，所以函数满足定理3的三个条件, 根据定理3可知, 在上至少存在一点，对于任意，存在，当时, 有，即 （3.3-1）又因为在上单调, 且有，故当在单调增加时, 由引理2有；当在单调减少时,由引理2，有，由此可知与同号, 即 。把（3.3-1）式两边同除以得:不难看出, 在定理5中, 当时, 定理5就成为定理4。34 举例说明例1 验证 在上满足定理3的条件和结论。解：易证在上连续, 在上存在左导数，且，故 满足定理3的三个条件。在上存在一点, 对于任意，存在，当时, 有所以，满足定理3的结论。例2 验证 ，在上满足定理4的条件和结论。解：易证在上连续, 在上存在左导数，故满足定理4的两个条件。取，当时, 有，又 所以满足定理4的结论。说明: 上述定理与引理2中将左导数改为右导数, 同样可以得到相应结论。第四章 微分中值定理的应用第四章 微分中值定理的应用微分中值定理是一元函数微分学的理论基础,也是一元函数微分学通往应用的桥梁,其应用非常广泛。现利用微分中值定理来求根的存在、判定级数的敛散性等。41 用来证明存在性问题,如根的存在性引理3若实函数在开区间内可导,且, 其中是内的个互不相同的实数,则方程在内至少有个不同的实根。用按顺序可分成个区间,并在每个区间上应用罗尔定理即可得到上述结论。定理6 若实函数在开区间内有阶导数,且，其中是内的个互不相同的实数,则方程在内至少有个不同的实根。证明：由引理3知方程在内至少有个根, 不妨设这个根为，则，由引理3可得方程在内至少有个根. 以此类推，在内至少有个根。推论若实函数 在开区间内有阶导数,且方程在内只有个不同的实根,则方程在内至多有个不同的实根。例3 证明方程有且只有三个实根,并估算根的范围。证明：令，则 因方程只有1 个实根,所以由推论知方程最多有3个实根. 又由根的存在定理知, 在内原方程至少有一个实根,又都是原方程的根,故原方程只有3个实根,其根分别为。例4若函数在上连续,在内可导,且，则在内存在两数，使得 成立。证明: (辅助函数法) 令，则。由罗尔定理得：，使得，即。又，故 。并令，则本题得证。例5：证明方程在0与1之间至少有一个实根 证明：不难发现方程左端是函数的导数： 函数在0，1上连续，在(0,1)内可导，且，由罗尔定理 可知，在0与1之间至少有一点c，使，即 也就是：方程在0与1之间至少有一个实根罗尔定理的推论：若在上连续，在上可导，则存在，使得（简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点）。我们来看一例，例6: 证明等式：设.证明：在（0，1）内至少有一个满足分析：讨论在（a，b）内的根的存在性问题，一般有两种途径：（1）验证，利用连续函数的零点定理即可；（2）寻找一个函数适合且，利用罗尔定理，就有，使，即为方程的根。本题采用第二种方法，不难看出，若令则取，就有。证 作辅助函数易见，且（已知条件），由罗尔定理知至少有一个，使，即例7. 设在0，1上连续，在(0，1)内可导，且。试证：存在一点使。分析：即证有一个根，我们希望找到一个函数，使得，且在(0，1)上满足罗尔定理的条件，可利用原函数构造辅助函数，由令辅助函数为证明 令显然在0，1上连续，在(0，1)内可导，因此，所以，又因为，所以由零点定理可知，存在，使。故在区间上满足罗尔中值定理的条件，由罗尔定理知，存在在(0，1)区间上，使即。上两题均为只应用了一次中值定理，我们再来看一下在一题中多次用到中值定理的例子以上几道题均是对根的存在性的证明，中值定理有时可以判定根的个数，我们来看一例：例8.方程（为自然数，为实数）当为偶数时至多有两个实根；当为奇数时至多有三个实根。证明：设用反证法1） 当为偶数时，假设，至少有三个实数根不妨设，则由罗尔中值定理知：存在，使得但由于幂函数在上严格递增，从而也在上严格递增，而，所以，于是推出矛盾。2） 当为奇数时，若，结论显然成立。若假设至少有四个实根，则由罗尔中值定理知即 至少有三个实根这与1）的结论矛盾。所以所证结论成立。42 用来判定级数的敛散性定理7 已知为定义在上的减函数，为定义在上的连续函数, 且。 (1) 当极限存在时, 正项级数收敛,设其和为，则 (2) 当极限时, 正项级数发散。证明:下面只证定理7的前半部因为函数在区间上满足中值定理的条件(其中) ,所以在内至少存在，使得成立，又为减函数,故有 ， 。将上述个不等式相加得 。令 ，则 （4.21）因为存在,为减函数,从而数列有界，所以数列单调递增且有上界, 故极限存在, 即级数收敛. 从而,由（4.21） 可得 。例9 判定级数是否收敛?若收敛,请估算其和。解：令，则故当时，此时为减函数,又由定理知级数收敛,且 ，所以 即 。43 用来证明不等式中值定理可用来解决函数值的差与自变量的差的关系问题，如下：例10 设，证明 。证明：对函数在上应用拉格朗日中值定理,得 。设，则，当时， ，所以单调减少,从而，即 ，所以 。例11 证明当时, 证明: 设，则函数在区间0，x上满足拉格朗日中值定理得条件，有因为，所以，又因为所以 例12设，则 证 由Lagrange中值定理，存在，使得由于，所以故例13 证明: , .证 考虑函数. 在区间上满足Lagrange中值定理的条件 , 因此, 使 . , 由, 有. , 即, 亦即 , .44 用来求极限例14 已知， 试求。解：(原函数法) 设，对在区间上应用拉格朗日中值定理得 ， 。故 当时,上述个不等式相加得即 ，从而 由极限存在准则知 。45 用来证明函数恒为常数例15 设在上连续,，且在内恒有，其中为小于1 的常数,试证为常数函数。证明：，不妨设，则 ， 同理 ， ， 所以 又在上连续,从而有界. 故 ， 即(当时同样成立) ,从而，,故在上为常数函数.注意:当c 取区间端点值时上例结论也成立,若区间长度较大时,可分区间解决.微分中值定理应用非常广泛(在使用定理时应特别注意验证定理的条件) ,以上只介绍使用该定理的一些方法,如辅助函数法、原函数法、递推法和累加法,并介绍它在几个方面的应用。 46 用来证明等式在对于一些等式的证明中，我们往往容易思维定式，只是对于原来的式子要从哪去证明，很不容易去联系其它，只从式子本身所表达的意思去证明。已知有这样一个推论，若函数在区间I上可导，且，则为I上的一个常量函数。它的几何意义为：斜率处处为0的曲线一定是平行于轴的直线。这个推论的证明应用拉格朗日中值定理，在这里不做具体介绍了。应用这个推论的例子很多，我们来看一个 ：例16.证明：在上恒有 证 构造辅助函数设，则在开区间（-1，1）上恒有，由推论知在（-1，1）上。因为，所以。又由于，故在-1，1上恒有上题结论成立。由于关于反三角函数的计算很少有公式，直接应用很难算出，所以只有间接的应用中值定理来得出结论。例17.证明这一题和上一题很相似同样也应用辅助函数可得出要证的结论。证明：令，而于是得出（c为常数）去时得到即 例18 证明: , .证明 : 设. , .又 , 因此 , 即 , .以上是对于证明等式的几个例子，我们从例子中看出对于这样的等式证明，导数是易于求的，而且其和为0，这样的题目多数利用上述的定理推论，是中值定理的一个证明恒等式的很好的应用。结束语由于微分中值定理有多条，证明方法也是有多种，可以从几何方面入手，但是可以看出，证明方法都离不开怎样去构造辅助函数。而本毕业论文则主要是介绍微分中值定理的证明、推广与应用。在证明过程中会发现罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理它们的证明大致是相同的，基本上都是要做辅助函数来证明。同时