初等几何变换及其在竞赛数学中的应用毕业论文.doc

苏州科技学院本科毕业设计（论文）初等几何变换及其在竞赛数学中的应用摘 要 本文主要讨论初等几何的几种变换，首先介绍了初等几何变换的相关定义和定理，然后给出必要的背景证明。如合同变换、对称变换等，这些初等几何变换在证明几何题，求轨迹问题、解作图问题等几个方面都有重要的用途,充分理解初等几何变换的广泛应用。关键词：初等几何变换；数学竞赛；合同变换 ；解题步骤；常用方法Elementary geometry transformation and its application In competition mathematicsAbstract Elementary geometry of several transformations are discussed in this paper. Firstly, the thesis introduces the definitions and theorems of elementary geometric transformation, and then give the necessary background was demonstrated. Such as contract transform, symmetry transform, the elementary geometric transformation in geometry proofs, for trajectory, mapping problem solution and so on several aspects have important use, fully understand the wide application of elementary geometric transformation.Keywords: elementary geometric transformation; mathematics competition; contract transformation; procedure and methods; 目 录- 7 -初等几何变换及其在竞赛数学中的应用I第一章 绪论11.1 引言11.2 相关知识简介1第二章 初等几何中常见的变换的概念及其解题方法32.1 初等几何变换中有关变换概念和性质的研究32.1.1合同变换32.1.2相似变换32.1.3 反演变换32.2变换分类研究在解题中的作用42.2.1合同变换42.2.2相似变换102.2.3反演变换13第三章 几何变换的广泛应用153.1用变换思想解平面几题153.2利用合同变换证明几何中的等量关系163.3 应用合同变换解轨迹163.5应用合同变换解作图题173.6应用合同变换证题18结 论21致 谢22参 考 文 献23附录A 外文原文- 1 -附录B 外文翻译- 1 - 第一章 绪论1.1 引言 数学家欧几里得著作几何原本的出版，标志着平面几何成为数学研究的一个重要分支。平面几何因具有严谨和精炼的语言，并且经常出现一些极具挑战性的问题，通过对初等几何课程的学习，可以培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，从而提高学生的逻辑思维能力。我们就其数学活动本身的研究发现它与解题紧密相连，衡量数学掌握的熟练程度的一个重要标志可以说就是解题能力的大小，解题中出现了最初的竞赛，16世纪初期的数学爱好者们喜欢互相提问题，以用来挑战其它的数学家，可以说最初的这些挑战构成了早期的数学竞赛。自1894年在匈牙利首开先例举办的数学竞赛活动之后，往后每次开展世界各级的数学竞赛活动中，已经开始广泛而频繁的出现有关平面几何题的情况，并且平面几何内容也逐渐成为一个常规的数学竞赛内容，几何问题在数学中的应用已是屡见不鲜。1.2 相关知识简介传统的平面几何中几何图形被看作静止的，研究者更多的注意力放在几何图形本身，可以方便发现它的内在规律。然而，用这种静止的观点去研究平面几何是不够的，在发现不同几何事实间的联系时需要我们用运动、变化的观点来研究，并动静结合去发现运动中最本质的东西，掌握运动中始终保持不变的性质。上述观点关于“研究平面几何变化中的不变性”德国数学家克莱因(F. Klein)曾提出。用初等几何变换的方法来解决几何问题时，主要是根据题意怎样来对哪些点施行哪种变换以求达到解决问题的目的，巧妙的运用几何变换能有效地实现由条件到结论的逻辑沟通。本文将从平面几何中几种主要的变换如合同变换，相似变换等具体变换中，研究它在几何计算和证明，作出运动轨迹中的应用，体现它的广泛性。 第二章 初等几何中常见的变换的概念及其解题方法2.1 初等几何变换中有关变换概念和性质的研究 将一个图形通过某种运动变为与它相等的图形，这里说的运动就是指一种变换。把图形中的点变换为图形中的点，使得任意两点间的距离总是保持不变，转向也保持不变。令运动将图形变换为与之全等的图形，而运动变换为,由于全等图形具有传递性，从到的变换也是一个运动,称为两运动和按这顺序的乘积，写作.可以让相等图形叠乘重合的一种变换就叫正交变换或合同变换，给出一个定点和一个定数.并将任意一点与定点连线，在这条直线上取一点，令有向线段之比，那么我们称点是的位似点；定点称为位似中心或者相似中心；定数称为位似比或者相似系数。2.1.1合同变换 变化后两点间的距离和之前的距离保持不变的变换就是合同变换。显而易见，图形的大小和性质没有发生变化，变化的只是图形的位置。研究合同变换时，往往细分为平移变换，轴反射变换，旋转变换三种来进行讨论。2.1.2相似变换 在一种几何变换的作用下， 假如对于平面上任意的两点, 以及它们各自的对应点,总存在，其中为非零实数，那么就称这个变换是一个相似变换。这里的实数叫作相似比，相似变换此时记为。显而易见，相似变换改变了图形的大小和相对位置，但图形的形状不发生变化。时，即变成合同变换。位似平移变换和位似旋转变换以及位似轴反射变换是相似变换的三种一般形式。2.1.3 反演变换令是平面上一定点,平面上任意取一点, 若存在一对对应点、与定点, 满足,那么和的变换就是反演变换, 为反演中，常数叫做反演幂，记作. 当时,与同向；当; 与反向，其中与互为反点，而点的反点不存在或为无穷远点;因为时，可的反演变换在以为中心的中心对称变换下，会与反演变换的复合,。那么我们只需就的情况来讨论反演变换.。假设, 那么. 常设，并且称以为半径,为圆心的圆是的反演基圆。 上述可知，我们可得到下图，分别作出直线和直线的，这两条直线的反形即为下图中的圆及圆, 同理可知以为直径的圆和以为直径的圆的反形分别为直线. 2.2变换分类研究在解题中的作用2.2.1合同变换2.2.1.1平移变换：将平面图形上的任意一点，按某个方向移动固定距离的变换叫作平移变换，记作, 称为平移方向。我们很容易发现，平移变换前后线段的长度保持不变，方向平行或共线。平移变换可应用来解决题设中，有平行或相等线段的平面几何问题，在解决时可移角也可移线段，甚至对整个图形来进行平移。利用平移变换证明命题我们在证题时常会遇到题目设问和结论要求的某些条件，它们之间的相互关系在图形中原有的位置上一般不容易发现什么规律。此时倘若采用适当的变换，将它们从原来的位置变换到新的位置也就是我们常常说的引出辅助线，使元素间隐藏的关系显现出来，从而有利于证明。例2.1-1 以三中线为边构成,又以三中线为边构成。求证：（1）与相似，且相似比是4:3（2）面积的比是：=：=4:3证：令为的重心，且为边中点。将延长一倍到达点，也就是说将平移到。那么则有的三边的长度等于各中线的长度，那么可以得到,即得到相似比是2:3。因为的中线可以发现的一条中线等于。那么可以说的边长是，那么证明了（1）。又相似三角形面积的比等于相似比的平方，所以=；仿此=，结果证毕。例2.1-2，给定两平行线以及它们外侧各一点，求自到的最短路线，要求介于之间的部分必须与定直线平行。分析：假设是上的点，且满足。用分别表示与的交点，那么可以发现=定长，所以问题就转化为确定Y的位置使得最短。如图2.1-2，将按向量平移到,则我们得到=，问题证毕。 （图2.1-2）例2.1-3在单位正方形中，有距离为1的两条平行线和它各自相交于两点，正好截出两个三角形，分别在平行线的两侧。求证： 这截得的两个三角形的周长的和与正方形在平面上所处的位置无关。证明： 如右图所示, 设直线/, 且与的距离为1，单位正方形的边分别与相交于, 边分别与相交于. 作平移变换, 设, 则在上, 过正方形的顶点. 因而点A到的距离等于AB, 那么肯定不会与边相交。 设与边分别交于, 则有 从而, 于是再过顶点作的垂线, 设垂足为H, 则。因为, 那么点A是的，且分别为的圆与三边的切点, 所以，我们可以得到，即。即的周长加上的周长是2，证毕。2.2.1.2轴反射变换若有点关于直线对称点是,等价于连接两点所成的线段被直线垂直平分。轴反射变换可以这样解释，在反射轴定直线作用下，图形中任意一点都能和变换后相应的点重合，记作。应用反射变换来证明相关命题利用反射变换解答有关平面几何问题时，如果图形是对称的，那么往往可以添加条对称轴，如等腰三角形的顶角平分线，正方形、菱形的对角线，两圆的连心线等，以用来充分利用对称图形的性质。有时选取合适的某条直线作为反射轴，图形被这条直线反射到另一侧去，两边组成轴对称图形，使得条件相对集中从而方便解决问题。如下图，关于直线L的反射象为ABC,可表示为（）=.例2.1-4求证平面内任意四边形的面积不大于对边乘积的和的一半。证明：如下图，取四边形对角线的垂直平分线,作，则,且=,四边形=四边形。又因为四边形=+=(+)，那么四边形（+).（图2.12-4）例2.1-5在锐角中，, BC边上的高是, 线段AD上有一点P。过点P作, 垂足为E, 作, 垂足为F。 分别是的外心。求证: 是的垂心是四点共圆的充要条件。证明: 如右图所示，由条件知，四点共圆，并且BP 是该圆的直径，所以的外心是的中点。同样四点共圆, 且是的中点。 因此我们得到, /, 所以.充分性：设是的垂心, 由于, 所以四点共线, 四点共线, 四点共圆。于是可由得出, 故而四点共圆。必要性：因为是的斜边的中点, 是的斜边的中点, 所以, . 又因为四点共圆, 所以. 于是这样, 若四点共圆, 那么可得. 因而有再由，即可得, 也就是说。作反射变换，设, 因, , 所以, 于是在线段上, 且. 因为, 所以, 从而四点共圆。于是, 所以，即，而, 故可证得是的垂心。综上所述：当题设与结论所涉及的元素过于分散亦或过于集中时,我们很难以发现其相互之间的联系, 又或者条件和结论无直接联系时,可以通过变换部分条件,来作一个与某部分图形的全等图,再借助合同变换,把已知与未知的某些量的关系转移成图形组成的新关系, 利用这些新关系能使问题得到顺利解决。2.2.1.3旋转变换 把平面图形中的所有的点，绕着某个固定的点，沿一定的方向转动定角的一种变换就是旋转变换，写成. 其中两对应直线所成的交角 是转幅，点为旋转中心。根据上述易知，旋转变换作用下，变换前后不改变线段长短。当已知条件中出现含有等腰三角形或正方形或其它特殊图形的问题时，通常可借助旋转变换来进行处理。假设当两对应线段相等同时垂直，那么转幅为；其中转幅等于的特殊旋转变换是中心对称变换。在中心对称变换作用下，对称中心经过并平分所有对应点连接所成的线段。充分掌握中心对称变换的性质，灵活运用去解决出现中点的平面几何问题。利用旋转变换证明命题例2.1-7若是等边三角形底边上的中线，点为内的任意一点，求证：。证明：利用旋转变换，令，连接。由,可得；由，可得，从而，由，得，证毕。例2.1-8设圆与圆交于两点。 圆在点的切线交圆于C, 圆在点的切线交圆于. 是的中点。试证：. 证明： 如右图所示, 作中心对称变换，令，那么得到四边形是一个平行四边形。现延长的线交于点，那么。 又因为,那么, 于是. 两式相乘，并注意到,所以可以得到. 而又因为, 所以, 那么, 故.2.2.2相似变换2.2.2.1位似平移变换令是平面上的一个确定的点, 是平面上的变换, 如果对任意一对对应点, 都存在，其中是非零的实数, 那么是位似变换, 其中是相似比，是位似中心。逆位似变换是当时，内点把和分在点的两边；正位似是当 时，外点把与分在点的同边。位似变换是一种特殊的相似变换，位似变换解决几何问题的应用更加广泛。利用相似变换证明命题利用相似变换证题，常需对题设条件进行分析，尤其是当题设条件中出现比值或乘积时，要联想并寻找相似三角形。不易发现时，试着添条辅助线去构造出相似三角形，再利用其性质得出要求的结论。例2.2-1 如图b，以的三边为底作三个转向相同的相似等腰，,.求证是平行四边形。证：要证是平行四边形，只要证明它的两组对边与和与各自相等即可。首先，由得=。并且由上面两三角形相似又有=，可见跟有一角相等且夹边成比例，所以。同理有。从而推出。最后这一对相似三角形中，按假设还有一对对应边相等：,因此，所以有 四边形的两组对边各相等，就是平行四边形。证毕。( 图b)2.2-2在一个内有三个等圆,等圆,有一个公共点,已知每一个圆都与三角形的两边相切。试证：该的内心,外心与点三点共线。证明思路： 已知圆,分别与的两边相切，得到AB，BC,CA,又A,B,C分别平分、,得出它们共点于内心,得出ABC和是以为中心的位似形，作出适当位似变换求出位似比。证：点为圆A,圆B，圆C的公共点，得出A=B=O C=，为等圆的半径，因此为ABC的外心，根据平行线截得的线段成比例，得到AB:AB=IA:IA=AC:AC=IC:IC=CB:CB，可得ABCABC，位似比为=,因此、三点共线。2.2.2.2位似轴反射变换综合几种变换的应用，发现位似轴反射变换的应用似乎有一定局限性。但作为几何变换中必不可少的构成，像有对角线和内接几边形等问题中大多可以试着用位似轴反射变换去解决。例2.2-4 已知圆内接凸四边形, 与的交点是, 与的交点是, 和的中点分别是. 求证: .证明: 如图所示, 设, 以为位似比, 为位似中心作位似轴反射变换, 令. 若, 那么. 同样地, 如果以为位似比作位似轴反射变换, 使得. 若, 则, 且都在关于的平分线对称的直线上, 那么此, 由, 得, 所以, 可得四边形是一个平行四边形, 证得是的中点. 同理, 是的中点. 于是, 故可得2.2.2.3位似旋转变换有着相同中心的旋转变换和位似变换复合，就可得位似旋转变换, 记作.例2.2-3 设圆与圆交于两点, 一直线过点分别与圆、圆交于另一点和, 点分别是线段上的点, 且/ , / . 再设点分别在圆的(不含点)上和圆的(不含点)上, 且, . 求证: . 证明: 如图所示，令圆与圆的半径分别是 , 作位似旋转变换, 由于割线过两圆的另一个交点，可得. 设, 则在上, 在圆上, 且, , 得到, . 设的延长线交圆于L, 则有, 而, 可得. 又皆为直角, 因此. 但由/ , / 可知，四边形是平行四边形, 那么. 于是，我们发现, 因此. 再注意到, 即得到.2.2.3反演变换 根据反演变换()的几何意义与定义，可以推出如下反演变换的特殊性质： 性质 基圆上的点仍变为本身，基圆内除点外的点变为基圆外的点，反之也成立。性质 任意不共线的两对反演点一定在同一个圆上，过一对反演点的圆一定和基圆正交，也就是交点处两圆的切线相互垂直。性质 过反演中心的圆变为不过反演中心的直线；不过反演中心的相交圆和相切圆变成对应的不过反演中心的相交圆和相切圆；若圆和圆以为反演幂，反演中心是点，那么, .性质5 反演变换作用下，共线的直线和圆点除中心外的反点共反形线为对应的圆和直线；、圆和圆、直线和直线的交角。例2.2-5设为的边的中点，点为的外接圆上(不含点)的中点，点为的外接圆上(不含点)的中点。证明：. 证明: 如图所示, 以为反演中心、反演半径为作反演变换, 则都是自反点, 直线为自反直线. 的反点, 在直线上, 和外接圆的反形分别是直线和直线, 直线与的交点 以及直线和的交点的反点分别是点和点；同时直线的反形为的外接圆. 那么分别平分和, 所以, , 且从而/. 设与交于. 因是的中点, 所以是的中点。再发现即知为的外心, 这说明直线与的外接圆正交，因此直线与正交，证出. 第三章 几何变换的广泛应用3.1用变换思想解平面几题例3.1-1已知:和中, , , , 求证: 。解析:利用 , 使与重合, 从而把移到上, 则, 。要比较与 , 只需比较与。作的角平分线, 交于, 连结，则可得。我们可得。分析：把比较两个三角形边的关系, 通过平移和对称变换化归为同一三角形三边的关系。先使得问题局部得以解决, 再进而得出整体的解决。这也体现化归法的思维方法渗透。例3.1-2.如下图，是等边三角形内一点, =3 , =4, =5,求三角形的边长。分析:图中已知的三条线段勾成股数, 未知线段构成一个等边三角形, 为了把分散的线段集中,我们可以将绕着点逆时针旋60得正三角形 和。过点作, 垂足在的延长线上, 则利用解直角三角形可得三角形的边长。解：在中，=3,=30，可得=1.5,=1.5,又=4，在中用勾股定理，易求得边长的长度。3.2利用合同变换证明几何中的等量关系例3.1-3：正中，在外，且=120，在上，在上，且=60，求证:的周长=2。分析: 图中等腰三角形中，已知顶角是120，把绕着点顺时针旋转120旋转到 再证，可得，可得的周长=+=2.例3.1-4：在中，为内一点，且=.求证：是等腰三角形。分析：本题为等腰三角形，可考虑将绕点逆时针旋转 的度数得， 则，=， 所以1=2， 所以1=2，即3=4，所以，。3.3 应用合同变换解轨迹例3.1-5 等腰三角形的顶角=30，为定点，点在定直线上移动，求点的轨迹。分析：设是一个符号条件的图形，=30，点在直线上。若将点绕旋转30就达到点的位置，所以那么将动点移动的路线绕点旋转30就得到点随而移动的路线。点在定直线上移动，将直线绕点逆时针旋转30得直线，顺时针转30得直线，则点的轨迹可能是一对直线和。说明：解轨迹题的难处在探求运动路线，用变换思想探求轨迹，经过变换而得到的，通常得出所求轨迹是某些已知图形，因而其状态，大小、位置就容易确定了。.3.4应用合同变换解计算题例3.1-6 已知等腰的顶角=20，是上一点，求的度数。解: 分别作及的中垂线,两线相交于,令=a .则，所以。=20=60即是等边三角形。所以AC=AE,=40即=70故=103.5应用合同变换解作图题例3.1-7 已知是直线上一定点，在直线l的异侧有两定点。在直线上求作一点，使=。分析：假设点已经作出，取点关于直线的对称点，由=可知、四点共圆，而是定点，于是这个圆可以作出，点就确定了。说明：在已知直线的同侧异侧有若干定点时，常常利用反射变换使问题得到转化。3.6应用合同变换证题例3.1-8 等腰中，顶角= 100，的平分线交于，求证: A 。分析: 已知条件中有角平分线BP，以它为轴进行反射变换，就可以使角的一边上的点 变换到另一边上。由于已知角的度数特殊，可推出是的平分线，又可以 为轴将反射到，于是线段的和可以作出。证明：是角平分线=80=60平分=80=40例3.1-9设是一个正三角形, 在边上, 在边上, 在边上, 且凸六边形的六边长都相等. 求证: 三条直线交于一点. 证明: 如图所示, 作平移变换, 则, 令, 则, 且, 所以是正三角形, 因此, 且由可知, /, 因而是平行四边形, 即, 又, 所以也是正三角形.于是, 根据是平行四边形, 和都是等边三角形可得, . 同理, , 那么再由, 即可得因而可知, 所以是正三角形. 于是, 又, 所以是的垂直平分线, 从而通过的中心, 同理都通过的中心. 故得三线共点.其实本题中易知, 也是等边三角形, 并且、这三个等边三角形的中心都是点。例3.1-10在凸四边形中, 对角线既不平分, 也不平分, 点在四边形的内部, 满足, . 试证: 四边形内接于圆的充要条件是. 证明: 如图所示.必要性. 假设四边形内接于圆. 作的垂直平分线在，作为反射轴作轴反射变换, 把, 都在圆上, 有, 即得, 可以说明三点共线. 同理, 三点共线, 得到点是与的交点, 因此在反射轴上, 即在的垂直平分线上, 故. 充分性.假 设. 分别延长与的外接圆交于点, 则有, , . 因为四点共圆, 则, 可得. 再由, , 所以, 得到. 又, 进而. 也就是说四边形与四边形关于的平分线互相对称. 而共圆, 可得共圆, 即六点共圆. 故四边形内接于圆.总的来说，在解题过程中，将题设图形中的某一部分进行合同变换，实质上是在适当位置作某部分图形的全等图形，使已知条件中的位置发生一些变化，可能适当集中，亦或相对分散，以求得解题途径。合同变换直观形象，便于思考，充分利用其性质来叙述解题过程也很简炼。 结 论 本篇论文是在研究初等几何变换的相关知识后，再更进一步的利用初等几何去对竞赛数学进行指导和应用。初等几何变换总的分为合同变换，相似变换和反演变换三种类型；合同变换又可细分为平移变换，轴反射变换和旋转变换三种，本篇论文主要也是针对合同变换不同类型变换的概念和性质的研究，并从初等几何变换方法中看到初等几何广泛的应用，具体的应用变换思想解平面几何，证明几何中的等量关系你，应用合同变换解轨迹以及解计算题，能较为深入地知道初等几何的内在涵义和外部延伸。经历了对初等几何的学习和数学竞赛题的研究的过程，发现初等几何和中学数学有着紧密的内在联系，意识到初等几何在几何学中的重要地位，从而拓宽了对几何学的眼界，对我们用全局的视角来分析和认识初等几何有帮助。初等几何中的许多问题研究后也有了较为透彻的理解，可以减少在以后教学过程中的盲目性，避免了一些因知识狭隘造成一些错误的发生。深入掌握初等几何，任教可以应用初等几何变换作为背景来备教案、解答疑难和编造习题，从而来丰富几何题的层次性和多样性。此外，也为日后着重发展学生的空间想像能力和思维逻辑创新能力提供了方法论的依据，引导学生进行多层次的发散思维，从而达到培养学生能力，发展学生的智力的目的。 致 谢 本文选题涉及到初等几何变换的理论知识和竞赛数学中的应用，在论文前期，借阅相关领域的专著和数据库搜索有关的理论期刊后，紧接着对前期文献做了一次筛选，确定大致的参考文献范围。然后开始外文翻译的任务，通过检索论文相关的关键字词选定好要翻译的外文文献，再借助翻译工具的基础上去整理、修改。再次，撰写文献综述。最后，撰写开题报告。开题报告中论文主体纲要的罗列概括，包含着毕业论文写作时每一部分应该研究的关键点和内容，所以在确定开题报告中论文各个部分的主体纲要时，会跟指导老师进行一个及时的沟通交流，基本上完成了论文的初稿。本论文从选题到完成，每一步都是在王艳明老师的悉心指导下完成，过程中遇到了很多问题，比如对理论知识掌握的不够深刻，逻辑思路整理的不够清晰等，但在与王老师的交流沟通和老师的耐心的指导下，去不断的修改，问题都得到了解决。论文的丰富和完善，倾注了导师的大量心血。论文写作阶段是一个自我学习、提高和自我完善的过程。学到的不仅仅是论文题目本身涉及到的理论知识，尤为重要的是经历从收集、查找论文的相关资料文献到撰写论文，再到整理论文，反复的修改与完善的这过程中，让我学会了如何去认认真真地做好一件事，锻炼了我坚持的意志和探索的精神，提高了独立思考的能力。虽然论文的写作过程是疲惫的，辛苦的，但与此同时，更多的是思维的培养，能力的提升和经验的积累，收获了在这整个写作过程中的苦和甜！在毕业论文完成之际，我要感谢学校和领导对我四年来的栽培，感谢关心和帮助过我的所有同学。当然，论文从不尽人意到日臻完善，都离不开王老师对我的指导和帮助，王老师渊博的专业知识和精益求精的工作作风对本人影响深远，再次感谢王老师鞭策着我圆满地完成了我的毕业论文。 参 考 文 献 1 沈文选. 平面几何证明方法全书M. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2011.2 萧振纲. 几何变换与几何证明M. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2010.3 邹宇. 数学奥林匹克中平面几何试题的命题研究D. 长沙: 湖南师范大学, 2007.4 沈文选. 数学奥林匹克中的几何问题研究与几何教学探讨J. 数学教育学报, 2004, 13(4): 7881.5 朱德祥，朱维宗. 初等几何研究（第二版）M.北京：高等教育出版社，2003.6 费林北，柴夏芬. 平面几何解题指导M.北京：高等教育出版社，1990.7 李长明，周焕山. 初等数学研究M.北京：高等教育出版社，1992.8 张奠宙. 中学几何研究M.北京：高等教育出版社，2006.9 梁绍鸿. 初等数学复习与研究M.北京：人民教育出版社，1978.10 萧振刚. 几何变换与几何证题M.上海：华东师范大学出版社， 2005.11 朱德祥，朱维宗.高等几何（第二版）M.北京：高等教育出版社，2003.12 梅向明，平面几何及变换 M.北京师范学院出版社，1988.13 梅向明，北京市中学生数学竞赛试题解析M.北京师范学院出版社1986 附录A 外文原文Middle-school students concept images of geometrictranslationsH Bahadr YanikAnadolu University, Faculty of Education, Middle School Mathematics Education, Eskisehir 26470, Turkeya Keywords: mathematics Geometric translations Concept images ABSTRACT This study explored sixth grade students concept images of geometric translations andthe possible sources of their conceptions in a non-technological environment. The datawere gathered through a written instrument, student and teacher interviews and documentanalyses. Analyses of student responses revealed two major concept images of geometrictranslations: (a) translation as translational motion, and (b) translation as both transla-tional and rotational motion. Students who held these conceptions showed various levelsof understanding, such as conceiving translations as undefined motion, partially-definedmotion, and defined-motion of a single geometric figure on the plane. The findings of thestudy suggested, in general, consistencies between students concept images and their con-cept definitions. However, most of the students concept definitions were inconsistent withthe formal concept definition of geometric translations.Data analyses also revealed five interpretations of a translation vector,Furthermore, classroom instruction, math-ematics and science textbooks, real-life examples and everyday language were the majorsources of students concept images of geometric translations.1. Introduction Recent curriculum reform movements in Turkey brought new topics into the middle-school mathematics curriculum.Geometric transformations were among the new content areas added to the course of geometry. One of the reasons forincluding geometric transformations in the curriculum was its potential to contribute the development of students mathe-matical thinking abilities such as reasoning and justification skills. Students may discover patterns, construct generalizations,and develop spatial competencies and critical thinking through studying geometric transformations. Specif-ically, geometric transformations allow “students to develop broad concepts of congruence and similarity and apply themto all figures”. “Mathematical properties from the various branches of geometry can be described in terms of transformations which may be representedthrough several types of manipulative activities” . Several national and international documents advocate the importance of studying transformation geometry. According to NCTMsPrinciples and Standards for School Mathematics, “instructional programs from pre-kindergarten through grade 12should enable all students to apply transformations and use symmetry to analyze mathematical situations” .However, describing mathematical understanding can be a challenging task. Concept imagesare one of the conceptual tools for exploring understanding. Learners cognitive structures related to a concept which involverepresentations, mental images, properties and processes can be described through concept images.Learners build understanding using various sources of information such as previous courses, textbooks, classroom discuss-ions, and everyday experiences. Investigating the sources of students conceptions beside the nature of their understandingwould provide specific recommendations for instructional practices. Students may develop misconceptions even after theyare introduced to formal mathematical concepts. Lack of in-class experiences and focusing on particular examples may sup-port students misconceptions . Representations shown in textbooks have some limitations whichmay hinder the development of coherent ideas about mathematical concepts . Stud-ies have shown that students have difficulties connectingconcrete activities and representations with the formal mathematical concepts. Exploring student understanding wouldinform us about possible sources of these incomplete ideas. Therefore, it is crucial to investigate both the nature of studentsunderstandings and the possible sources of their conceptions together.For the purpose of this study, in particular, the following research questions were investigated:What are the nature of middle-school students concept images of geometric translations?To what extent do students expose consistencies between the concept images and concept definitions?What prototypical examples do students rely on when they reason about geometric translations?What are the possible sources of their conceptions about geometric translations?2. Framework for the studyThis study was guided by a cognitive model formulated by several researchers which has been characterized as the theory of concept definition and concept image. Tall and Vinner consider the term concept definition as “to be a form of words used to specify that concept” . Researchers argue that students do not always consult with concept definitions during the problemsolving process. Tall and Vinner proposed that the acquisition of concepts of mathematics depends more on thelearners concept images rather than concept definition. Many concepts people use are not formally defined and everydaymeaning of many mathematical terms may interfere with the learning of mathematical concepts.Whenworking on a mathematical activity or solving a mathematical task, students rely on their individual mental representationswhich might be influenced by daily experience.“During the mental processes of recalling and manipulating aconcept, many associated processes are brought into play, consciously and unconsciously affecting the meaning and usage”.This study focused on oneexample of rigid geometric transformations called geometric translations. Geometric translations can be interpreted astranslational motion The motion interpretation of geometric transfor-mations includes “the mental or physical manipulation of geometric figures to new positions or orientations” . One needs to apply translations to all points in the plane based on a specific direction and distancegenerally defined by the translation vector. One may consider the plane as a background where geometric shapes could bemanipulated upon it studentsunderstanding of geometric transformations. Earlier studies focused on various research ideas regarding geometric trans-formations, such as identifying students abilities and misconc