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一道新课标高考试题解法机理分析及其通性通法2010年全国统一招生考试理科（新课标）数学试卷的第21题：设函数 （）若，求的单调性区间；（）若时，求的取值范围这一道题看似简单其实是一道深思熟虑的试题，尤其是第（）问，命题者给出的答案非常巧妙并且颇有思辨性，但命题者解法不是中学数学教育中的通性通法，该解法中学教师和中学生接受都有点困难基于此，本文就命题者的解法机理分析及其通性通法谈一下看法先看命题者给予的解答（记为方法一）：方法一：（），由于，（i）若，即时，当时，而，于是，有；（ii）若时，由于时，可得，所以，当时，而，于是存在，使得，即时，在不恒成立，综上所述：实数的取值范围是一、解题机理分析：从命题的逻辑关系来看，所谓的“若时，求的取值范围”实际上是求“任意，”的充要条件，解答中对参量的分类讨论“（i）若时，任意，所以当时，”，即“”就是“任意，”的充分条件，并非是必要条件，“（ii）若时，存在时，”是求的“任意，”的必要条件，即“若，则”等价于“若时，则存在，”从同一解题思想方法出发，还可以选择两次求导数的方法来求“任意，”的充要条件方法二：（），令，则，由于时，若时，（等号仅当时成立），所以，在上单调递增，且，因此，当时，即，且，所以，；由于只是“任意，”的充分条件，同方法一一样也要求“任意，”的必要条件，以下同方法一方法一、方法二分别利用了若，则的结论，事实上，对于，有更精确的结论是，并且利用这个结论恰好可以进行变量分离、构造函数和化归成恒成立问题来来解决，而变量分离、构造函数和化归成恒成立问题也恰好是中学数学常用的通性通法和思想方法，并且可以直接得到“任意，”的充要条件二、本题的通性通法：方法三（参变量分离法）：（）（i）若时，成立时，是任意实数； （ii）若时，等价于，令， 令，由于，在上是增函数，即在上是增函数，且，即，而，即，综上所述：实数的取值范围是方法四（化归思想）：（）由（）知，当时，令（），则，则在区间上是增函数，且，所以，即，所以，由于在时恒成立，即恒成立，则，解之，故实数的取值范围是方法三和方法四都利用了时，这个结论，事实上已经触及这个问题的底线，也就是泰勒（Taylor）公式：，三、构造函数利用极限思想方法五：（）（i）若时，成立时，是任意实数； （ii）若时，等价于，令，由（）知（仅等号成立），所以， 因为，要，只需，现在设，即只需（x），又，则只需（x），（1）当时，因为 ，即（2）
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