2018年春湘教版八年级下册数学全册教案教学设计

第 1 页 共 148 页 2018 年春湘教版八下数学全册教案 直角三角形的性质 教学目标 知识与技能 1 理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理 2 能应用直角三角形的判定与性质 解决有关问题 过程与方法 通过对几何问题的 操作 探究 讨论 交流 讲评 的学习过 程 提高分析问题和解决问题的能力 情感 态度与价值观 感受数学活动中的多向思维 合作交流的价值 主动参 与数学思维与交流活动 教学重点 直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与应用 教学难点 操作 探究 讨论 交流 讲评 得出直角三角形斜边上的中线 性质定理 教 学 过 程程 一 教学引入一 教学引入 1 三角形的内角和是多少度 学生回答 2 什么是直角三角形 日常生活中有哪些物品与直角三角形有关 请举 例说明 3 等腰三角形有哪些性质 二 探究新知二 探究新知 1 探究直角三角形判定定理探究直角三角形判定定理 观察小黑板上的三角形 从 A B 的度数 能说明什么 两个锐角互余的三角形是直角三角形两个锐角互余的三角形是直角三角形 讨论 讨论 直角三角形的性质和判定定理是什么关系 2 探究直角三角形性质定理探究直角三角形性质定理 学生画出直角三角形 ABC 斜边的中线 CD 测量并讨论斜边上的中线的长度与斜边的关系 学生猜想 直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 3 共同探究 例例 已知 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD 是斜边 AB 上的中线 求证 CD AB 1 2 教师引导 数学方法 倒推法 辅助线 D CB A D 第 2 页 共 148 页 分析 要证 CD AB 先证 CD AD CD AD 在同一个三角形中证明 1 2 CD AD 必须找 ACD A 但是题目中没有我们要怎样做呢 作 1 A 学生注 意在作辅助线时只能作一个量 因此 我们要证明 1 与 AB 的交点就是中点 三 应用迁移三 应用迁移 巩固提高巩固提高 练习 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半 求证 这个三角形 是直角三角形 已知 CD 是的 AB 边上的中线 且 CD AB 求证是 ABC 1 2 ABC 直角三角形 提示 倒推法 要证明是直角三角形 只有通过定义和判定定理 ABC 定义与判定定理都与角有关系 现在我们只有边的关系 我们学过的边与角能 联系起来的就是等腰三角形 还要找到与 90 有关的角 但是我们只知道三角 形的内角和为 180 通过提示 请同学们自己写出证明过程 四 课堂小结四 课堂小结 1 两个锐角互余的三角形是直角三角形 2 在直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 反过来讲也正确 五 作业布置五 作业布置 P7 练习题 教学反思 第 3 页 共 148 页 直角三角形的性质的推论 重难点 重点 直角三角形的性质推论 1 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 则它所对的直角边等于 斜边的一半 2 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么这条直角边 所对的角为 30 难点 1 性质定理的证明方法 2 性质定理及其推论在解题中的应用 讲一讲 例 1 已知 Rt ABC 中 ACB 90 AB 8cm D 为 AB 中点 DE AC 于 E A 30 求 BC CD 和 DE 的长 分析 由 30 的锐角所对的直角边为斜边的一半 BC 可求 由直角三角形 斜边中线的性质可求 CD 在 Rt ADE 中 有 A 30 则 DE 可求 解 在 Rt ABC 中 ACB 90 A 30 ABBC 2 1 AB 8 BC 4 D 为 AB 中点 CD 为中线 4 2 1 ABCD DE AC AED 90 在 Rt ADE 中 ADDE 2 1 ABAD 2 1 2 4 1 ABDE 例 2 已知 ABC 中 AB AC BC ABC 为等边三角形 D 为 BC 边上的 中点 DE AC 于 E 求证 ACCE 4 1 分析 CE 在 Rt DEC 中 可知是 CD 的一半 又 D 为中点 故 CD 为 BC 上 的一半 因此可证 证明 DE AC 于 E DEC 90 垂直定义 ABC 为等边三角形 AC BC C 60 第 4 页 共 148 页 在 Rt EDC 中 C 60 EDC 90 60 30 CDEC 2 1 D 为 BC 中点 BCDC 2 1 ACDC 2 1 ACCE 4 1 例 3 已知 如图 AD BC 且 BD CD BD CD AC BC 求证 AB BO 分析 证 AB BD 只需证明 BAO BOA 由已知中等腰直角三角形的性质 可知 由此 建立起 AE 与 BCDF 2 1 AC 之间的关系 故可求题目中的角度 利用角度相等得证 证明 作 DF BC 于 F AE BC 于 E BDC 中 BDC 90 BD CD BCDF 2 1 BC AC ACDF 2 1 DF AE ACAE 2 1 ACB 30 CAB ABC CAB ABC 75 OBA 30 AOB 75 BAO BOA AB BO 练一练 1 ABC 中 BAC 2 B AB 2AC AE 平分 CAB 求证 AE 2CE 2 已知 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB CE 为 AB 边上的中线 且 BCD 3 DCA 求证 DE DC 第 5 页 共 148 页 3 如图 AB AC AD BC 于 D AF FD AE BC 且交 BF 的延长线于 E 若 AD 9 BC 12 求 BE 的长 4 在 ABC 中 ACB 90 D 是 AB 边的中点 点 F 在 AC 边上 DE 与 CF 平行 且相等 求证 AE DF 5 已知 如图 在 ABC 中 B C AD BC 于 D E 为 AC 的中点 AB 6 求 DE 的长 教学反思 第 6 页 共 148 页 F E D C B A 直角三角形的性质的练习 1 在直角三角形 ABC 中 ACB 90 度 CD 是 AB 边上中线 若 CD 5cm 则 AB 三角形 ABC 的面积 2 在直角三角形 ABC 中 ACB 90 度 CD 是 AB 边上中线 图中有 个等腰 三角形 3 如图 在 ABC 中 B C D E 分别是 BC AC 的中点 AB 6 求 DE 的 长 4 已知 四边形 ABCD 中 ABC ADC 90 度 E F 分别 是 AC BD 的中点 求证 EF BD 5 如图 在 ABC 中 B 2 C 点 D 在 BC 边上 且 AD AC 求证 CD 2AB 6 在直角三角形 ABC 中 C 90 BAC 30 BC 10 则 AB 顶角为 30 度的等腰三角形 若腰长为 2 则腰上的高 三角形面积是 等腰三角形顶角为 120 底边上的高为 3 则腰长为 三角形 ABC 中 AB AC 6 B 30 则 BC 边上的高 AD 7 Rt ABC 中 C 90 A 15 AB 的垂直平分线交 AC 于 D AB 于 E 求证 AD 2BC 8 已知 ABC 中 AB AC B 30 AD AB 求证 2DC BD E DCB A CDB A E D CB A CB A D 第 7 页 共 148 页 E D C B A 9 如图 ABC 中 C 90 A 60 EF 是 AB 的垂直平分线 判断 CE 与 BE 之间的关系 10 已知 ABC ADC 90 度 E 是 AC 中点 求证 1 ED EB 2 图中有 哪些等腰三角形 11 如图 AB CD 交与点 O 且 BD BO CA CO E F M 分别是 OD OA BC 的 中点 求证 ME MF 12 在等边三角形 ABC 中 点 D EF 分别在 AB AC 边上 AD CE CD 与 BE 交与 F DG BE 求证 1 BE CD 2 DF 2GF 教学反思 E F C BA M F E D C B A G E F D C B A 第 8 页 共 148 页 勾股定理的推导及应用 教学目标 知识与技能 1 了解勾股定理的文化背景 体验勾股定理的探索过程 2 在勾股定理的探索过程中 体会数形结合思想 发展合情推理 能力 过程与方法 1 通过拼图活动 体验数学思维的严谨性 发展形象思维 2 在探究活动中 学会与人合作 并在与他人交流中获取探究结 果 情感 态度与价值观 1 通过对勾股定理历史的了解 感受数学文化 激发学习热情 2 在探究活动中 体验解决问题方法的多样性 培养学生的合作 交流意识和探索精神 教学重点 经历探索及验证勾股定理的过程 教学难点 用拼图的方法证明勾股定理 教学过程 1 1 课前探究知识储备 课前探究知识储备 请各个学习小组从网络或书籍上 尽可能多的寻找和了解验证勾股定理的 方法 并填写探究报告 勾股定理证明方法探究报告 方法种类及历史背景验证定理的具体过程知识运用及思想方法 2 2 设置悬念引出课题 设置悬念引出课题 提问 为什么我国科学家向太空发射勾股图试图与外星人沟通 为什么把这个图案作为 2002 年在北京召开第 24 届国际数学家大会会徽 引出课题 勾股定理 3 3 画图实践大胆猜想 画图实践大胆猜想 沿着先人的足迹 开始勾股定理的探索之旅 活动一 毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家 相传在 2500 年以前 他在朋 友家做客时 发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数 量关系 1 同学们 请你也来观察下图中的地面 看看能发现些什么 第 9 页 共 148 页 地面 图 18 1 1 2 你能找出图 18 1 1 中正方形 A B C 面积之间的关系吗 3 图中正方形 A B C 所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系 由等腰直角三角形中的发现 进一步提问 是否其余的直角三角形也有这个性 质呢 学生们展开 活动二 在方格纸上 画一个顶点都在格点上的直角三角形 并分别以这 个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形 四人小组每组成员所画图形 相同 派小组代表前台投影展示 1 以斜边为边的正方形面积可以怎样求 2 三个正方形面积有何关系 3 直角三角形三边长有何关系 4 请大胆提出你的猜想 学生在网格纸上按要求画图 然后回答给出的问题 进一步追问 是否任意直角三角形三边都满足此关系 由学生归纳 得出命题 如果直 角三角形的两直角边长分别为 斜边长为 那么 设问 这 abc 222 cba 是个真命题吗 活动三 现有四个全等的直角三角形 两直角边为 斜边为 请同 abc 学 们动手拼一拼 1 请用尽可能多的方法拼成一个正方形 2 请从你拼的图形中验证 222 cba 4 4 动手拼图定理证明 动手拼图定理证明 继续追问 你还有别的方法来验证这个结论吗 请把你探究报告中了 解的方法与大家一起分享 被证明为正确的命题称为定理 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 斜边长为 斜边长为 那 那 abc 么么 222 cba 5 5 学以致用体会美境 学以致用体会美境 课件展示练习 1 求下图中字母所代表的正方形的面积 2 求下列图中表示边的未知数 x y 的值 3 如图 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中最大的正方形的边长为 7cm 则正方形 A B C D 的面积之和为 cm2 4 几何画板演示运动的勾股树 6 6 总结升华 总结升华 总结收获 通过本节课的学习 大家有什么收获 有什么疑问 你还有什 第 10 页 共 148 页 么想要继续探索的问题 结束寄语 牛顿 从苹果落地最终确立了万有引力定律 我们 从朝夕相处的三角板发现了勾股定理 虽然两者尚不可同日而语 但探索和发现 终有价值 也许就在身边 也许就在眼前 还隐藏着无穷的 万有引力定律 和 勾股定理 祝愿同学们 修得一个用数学思维思考世界的头脑 练就一双用数学视角观察世界的眼睛 开启新的探索 发现平凡中的不平凡之谜 教学反思 第 11 页 共 148 页 勾股定理的逆定理 教学目标 知识与技能 1 体会勾股定理的逆定理得出过程 掌握勾股定理的逆定理 2 探究勾股定理的逆定理的证明方法 3 理解原命题 逆命题 逆定理的概念及关系 过程与方法 1 通过对勾股定理的逆定理的探索 经历知识的发生 发展和 形成的过程 2 通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状 体验 数 形结合方法的应用 情感 态度与价值观 1 通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状 体验 数 与形的内在联系 感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系 2 通过对勾股定理的逆定理的探索 培养了学生的交流 合作 的 意识和严谨的学习态度 同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值 教学重点 证明勾股定理的逆定理 用勾股定理的逆定理解决具体的问题 教学难点 理解勾股定理的逆定理的推导 教学过程 1 1 复习 复习 1 在直角三角形中 两直角边长分别是 3 和 4 则斜边长是 2 一个直角三角形 量得其中两边的长分别为 5 3 则第三边的长是 3 要登上 8 高的建筑物 为了安全需要 需使梯子底端离建筑物 6 问至 少需要多长的梯子 2 2 情境导入 情境导入 1 在古代 没有直尺 圆规等作图工具 人们是怎样画直角三角形的呢 实验观察 用一根打了 13 个等距离结的细绳子 在小黑板上 用钉子钉在第一个结 上 再钉在第 4 个结上 再钉在第 8 个结上 最后将第十三个结与第一个结钉 在一起 然后用三角板量出最大角的度数 可以发现这个三角形是直角三角形 这是古埃及人画直角的方法 2 用圆规 刻度尺作 ABC 使 AB 5 AC 4 BC 3 量一量 C 再画一个三角形 使它的三边长分别是 5 12 13 这个三角形有什么 特征 3 为什么用上面的三条线段围成的三角形 就一定是直角三角形呢 它们 的三边有怎样的关系 学生分组讨论 教师适当指导 第 12 页 共 148 页 学生猜想 如果一个三角形的三边长满足下面的关系 cba 222 cba 那么这个三角形是直角三角形 4 指出这个命题的题设和结论 对比勾股定理 理解互逆命题 3 3 探究新知 探究新知 1 探究 在下图中 ABC 的三边长 满足 如果 abc 222 cba ABC 是直角三角形 它应该与直角边是 的直角三角形全等 实际情况是这 ab 样吗 我们画一个直角三角形 A B C 使 C 90 A C B C b 把画好的 A B C 剪下 放到 ABC 上 它们重合吗 学生分组动 a 手操作 教师巡视指导 2 用三角形全等的方法证明这个命题 难度较大 由教师示范证明过程 已知 在 ABC 中 AB BC AC 并且 如上图 1 cab 222 cba 求证 C 90 证明 作 A B C 使 C 90 A C B C 如上图 ba 2 那么 A B 勾股定理 2 22 ba 又 已知 222 cba A B A B c A B 0 2 2 c 在 ABC 和 A B C 中 BC B C a CA C A b AB A B c ABC A B C SSS C C 90 ABC 是直角三角形 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三 角形是直角三角形 角形是直角三角形 第 13 页 共 148 页 强调说明 1 勾股定理及其逆定理的区别 2 勾股定理是直角三角形的性质定理 逆定理是直角三角形的判定定理 如果原命题成立 那么逆命题也成立吗 你能举出互为逆定理的例子吗 4 4 应用举例 应用举例 1 例题 判断由线段 组成的三角形是不是直角三角形 abc 1 15 a8 b17 c 2 13 a14 b15 c 2 像 15 8 17 这样 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数 称 为勾股数 你还能举出其它一组勾股数吗 5 练习巩固 1 判断由线段 组成的三角形是不是直角三角形 abc 1 7 a24 b25 c 2 5 1 a2 b5 2 c 3 4 5 a 1 b4 3 c 4 40 a50 b60 c 2 如果三条线段长 满足 这三条线段组成的三角形 abc 222 bca 是不是直角三角形 为什么 3 说出下列命题的逆命题 这些命题的逆命题成立吗 1 两条直线平行 内错角相等 2 如果两个实数相等 那么它们的绝对值相等 3 全等三角形的对应角相等 4 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 6 课堂总结 通过这节课的学习 你有什么收获 还有什么困惑 这节课我们学习了 1 勾股定理的逆定理 2 如何证明勾股定理的逆定理 3 互逆命题和互逆定理 4 利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形 7 作业布置 P16 习题 教学反思 第 14 页 共 148 页 勾股定理知识总结 一 勾股定理一 勾股定理 直角三角形两直角边 a b 的平方和等于斜边 c 的平方 即 a2 b2 c2 要点诠释 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系 是直角三角形的重要性质之 一 其主要应用 1 已知直角三角形的两边求第三边 2 已知直角三角形的一边与另两边的关系 求直角三角形的另两边 3 利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 二 勾股定理的逆定理二 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 则有关系 a2 b2 c2 那么这个三角形是 直角三角形 要点诠释 用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 1 首先确定最大边 不妨设最长边长为 c 2 验证 c2与 a2 b2是否具有相等关系 若 c2 a2 b2 则 ABC 是以 C 为直角的直角三角形 若 c2 a2 b2 则 ABC 是以 C 为钝角的钝角三角形 若 c2b c 那么 a2 b2 c2 2 1 1 其中正确的是 A B C D 13 三角形的三边长为 a b 2 c2 2ab 则这个三角形是 A 等边三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形 14 如图一轮船以 16 海里 时的速度从港口 A 出发向东北方向航行 另一轮船以 12 海里 时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行 离开港口 2 小时后 则 两船相距 A 25 海里B 30 海里C 35 海里D 40 海里 15 已知等腰三角形的腰长为 10 一腰上的高为 6 则以底边为边长的正方形 的面积为 A 40B 80C 40 或 360D 80 或 360 16 某市在旧城改造中 计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以 美化环境 已知这种草皮每平方米售价 a 元 则购买这种草皮至少需要 A 450a 元B 225a 元C 150a 元 D 300a 元 三 解答题 17 如图 在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF GH 四条线段 其中 能构成一个直角三角形三边的线段是 A CD EF GH B AB EF GH C AB CD GH D AB CD EF 18 1 在数轴上作出表示 的 点 2 150 20m30m 第 16 题图 北 南 A 东 第 14 题 图 第 17 页 共 148 页 2 在第 1 的基础上分别作出表示 1 和 1 的点 22 19 有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门 如果把竹竿竖放就比 门高出 1 尺 斜放就恰好等于门的对角线长 已知门宽 4 尺 求竹竿高与门 高 20 一架方梯长 25 米 如图 斜靠在一面墙上 梯子底端离墙 7 米 1 这个 梯子的顶端距地面有多高 2 如果梯子的顶端下滑了 4 米 那么梯子的底端 在水平方向滑动了几米 21 如图 5 将正方形 ABCD 折叠 使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合 折痕交 AD 于 E 交 BC 于 F 边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G 如果 M 为 CD 边的中点 求证 DE DM EM 3 4 5 图 5 22 如图所示 ABC 是等腰直角三角形 AB AC D 是斜边 BC 的中点 E F 分别是 AB AC 边上的点 且 DE DF 若 BE 12 CF 5 求线段 EF 的长 教学反思 A A B A B O A 第 20 题图 第 18 页 共 148 页 直角三角形全等判定直角三角形全等判定 教学目标 1 使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定 方法来判定 2 使学生掌握 斜边 直角边 公理 并能熟练地利用这个公理和一般 三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等 指导学生自己动手 发现 问题 探索解决问题 发现探索法 由于直角三角形是特殊的三角形 因而它 还具备一般三角形所没有的特殊性质 因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊 性 所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想 从而体现由一般到特殊 处理问题的思想方法 教学重点 斜边 直角边 公理的掌握 难点 斜边 直角边 公理的灵活运用 教学手段 剪好的三角形硬纸片若干个 教学方法 观察 比较 合作 交流 探索 教 学 过 程 一 复习提问 1 三角形全等的判定方法有哪几种 2 三角形按角的分类 二 引入新课 前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法 SAS ASA AAS SSS 我们也知道 有两边和其中一边的对角对应相等的两个 三角形不一定全等 这些结论适用于一般三角形 我们在三角形分类时 还学 第 19 页 共 148 页 过了一些特殊三角形 如直角三角形 特殊三角形全等的判定是否会有一般三 角形不适用的特殊方法呢 我们知道 斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形 可以根据 ASA 或 AAS 判定它们全等 两对直角边对应相等的两个直角三角形 可以根据 SAS 判定它们全等 提问 如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等 边边角 这两个三 角形是否能全等呢 1 可作为预习内容 如图 在 ABC 与 A B C 中 若 AB A B AC A C C C Rt 这时 Rt ABC 与 Rt A B C 是否全等 研究这个问题 我们先做一个实验 把 Rt ABC 与 Rt A B C 拼合在一起 教具演示 如图 3 44 因为 ACB A C B Rt 所以 B C C B 三点在一条直线上 因此 ABB 是一个等腰三角形 于是利用 SSS 可证三角形全等 从而得到 B B 根据 AAS 公理可知 Rt ABC Rt A B C 3 两位同学比较一下 看看两人剪下的 Rt 是否可以完全重合 从而引 出直角三角形全等判定公理 HL 公理 三 讲解新课 斜边 直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边 直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 可以简写成可以简写成 斜边 直角边斜边 直角边 或或 HL HL 这是直角三角形全等的一个特殊的判定公理 其他判定公理同于任意三角 形全等的判定公理 练习 1 具有下列条件的 Rt ABC 与 Rt A B C 其中 C C C C Rt Rt 是否全 等 如果全等在 里填写理由 如果不全等在 里打 1 AC A C A A 2 AC A C BC B C 3 A A B B 4 AB A B B B 5 AC A C AB A B 2 如图 已知 ACB BDA Rt 若要使 ACB BDA 还需要什么条件 把它们分别写出来 有几种不同的方法就写几种 理由 例题讲解 第 20 页 共 148 页 P20 例题 1 如图 1 23 BD CE 分别是 ABC 的高 且 BE CD 求证 Rt BEC Rt CDB 练习 3 已知 如图 3 47 在 ABC 和 A B C 中 CD C D 分别是高 并且 AC A C CD C D ACB A C B 求证 ABC A B C 分析 要证明 ABC A B C 还缺条件 或证出 A A 或 B B 或再证明边 BC B C 观察图形 再看已知中还有哪些条件可以 利用 容易发现高 CD 和 C D 可以利用 利用它可以证明 ACD A C D 或 BCD B C D 从而得到 A A 或 B B BC B C 找出书写顺序 证明 略 P20 例题 2 已知一直角边和斜边 求作直角三角形 已知 求作 作法 1 2 3 则 ABC 为所求作的直角三角形 小结 由于直角三角形是特殊三角形 因而不仅可以应用判定一般三角形 全等的四种方法 还可以应用 斜边 直角边 公理判定两个直角三角形全 等 HL 公理只能用于判定直角三角形全等 不能用于判定一般三角形全等 所以判定两个直角三角形的方法有五种 SAS ASA AAS SSS LH 四 练习 P20 练习 1 2 五 作业 P21 习题 A 组 1 2 3 4 六 板书设计 七 课后反思 第 21 页 共 148 页 角平分线的性质 角平分线的性质 1 1 教学目标 1 探索两个直角三角形全等的条件 2 掌握两个直角三角形全等的条件 HL 斜边和一条直角边对应相等的两 个直角三角形全等 3 了解并掌握角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 及其 逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 及其简单应用 教学重点 直角三角形的判定方法 HL 角平分线性质 教学难点 直角三角形的判定方法 HL 的说理过程 教学方法 观察 比较 合作 交流 探索 教教 学学 过过 程程 一 教学引入 如图 AD 是 ABC 的高 AD 把 ABC 分成两个直角三角形 这两个直角三 角全等吗 问题 1 图中的两个直角三角形有可能全等吗 什么情况下这两个直角三 角形全等 由于学生对等腰三角形有初步的了解 因此教学中 学生根据图形的直观 认为这两个直角三角形全等的条件可能情况有四个 BD CD BAD CAD B C AB AC 问题 2 你能说出上述四个可判定依据吗 说明 1 从问题 2 的讨论中 可以使学生主动发现判定两个直角三角形全 等时 直角相等是一个很重要的隐含条件 同时由于有一个直角相等的条件 所以判定两个直角三角形全等只要两个条件 2 当 AB AC 时 从图形的直观可以估计这两个直角三角形全等 这时 两个直角三角形对应相等的元素是 边边角 从而有利于学生形成新的认知的 冲突 在上学期中我们知道 已知两边及其一边的对角 画出了两个形状 大小都不同的三角形 因此得到 有两边及其一边的对角对应相等 这两个三 角形不一定全等 的结论 那么当其中一边的对角是特殊的直角时 这个结论 能成立吗 二 新授 探究 1 把两个直角三角形按如图摆放 已知 在 OPD 与 OPE 中 PD OB PE OE BOP AOP 请说明 PD PE 思路 证明 Rt PDO Rt PEO 得到 PD PE 归纳结论 角平分线上的点到角两边的距离相等归纳结论 角平分线上的点到角两边的距离相等 探究 2 把两个直角三角形按如图摆放 已知 在 OPD 与 OPE 中 PD OB PE OE PD PE 请说明 BOP AOP 请学生自行思考解决证明过程 归纳结论 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 归纳结论 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 板书 第 22 页 共 148 页 三 例题讲解 P23 例题 1 如图 1 28 BAD BCD 900 1 2 1 求证 点 B 在 ADC 的平分线上 2 求证 BD 是 ABC 的平分线 四 巩固练习 P24 练习 1 2 到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 角平分线上的点到两 边的距离相等 等腰三角形的判定的综合应用 变式训练 变式一请学生根据图形出一道证明题 然后不改变条件 让学生探究还可以证 明什么 五 小结 l 直角三角形是特殊的三角形 所以不仅可以应用一般三角形判定全等的方法 还有直角三角形特殊的判定方法 HL 公理 2 两个直角三角形中 由于有直角相等的条件 所以判定两个直角三角形全等 只须找两个条件 两个条件占至少有一个条件是一对边相等 3 角平分线上的点到角两边的距离相等 4 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 六 布置作业 P26 习题 1 4 A 组 1 2 3 七 课后反思 第 23 页 共 148 页 角平分线的性质 角平分线的性质 2 2 教学目标 1 掌握角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 2 掌握角平分线的判定 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 3 角平分线定理的简单应用 教学重点 角平分线定理的理解 难点 角平分线定理的简单应用 教学方法 观察 比较 合作 交流 探索 教教 学学 过过 程程 一 知识回顾 1 角平分线的性质 2 角平分线的判定 二 动脑筋 P24 如图 1 29 已知 EF CD EF AB MN AC M 是 EF 的中点 需要 添加一个什么条件 就可使 CN AM 分别为 ACD 和 CAB 的平分线呢 可以添加条件 MN ME 或 MN MF 理由 NE CD MN CA M 在 ACD 的平分线上 即 CM 是 ACD 的平分线 同理可得 AM 是 CAB 的平分线 三 例题讲解 P25 例题 2 如图 1 30 在 ABC 的外角 DAC 的平分线上任取一点 P 作 PE DB PF AC 垂足分别为点 E F 试探索 BE PF 与 PB 的大小关系 四 练习 P25 练习 1 2 动脑筋 P25 如图 1 31 你能在 ABC 中找到一点 P 使其到三边的距离相等吗 五 小结 1 角平分线上的点到角两边的距离相等 2 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 六 布置作业 P26 习题 1 4 B 组 4 5 七 课后反思 第 24 页 共 148 页 小结与复习 小结与复习 1 1 一 知识小结 二 例题讲解 例例 1 1 已知 Rt ABC 中 ACB 90 AB 8cm D 为 AB 中点 DE AC 于 E A 30 求 BC CD 和 DE 的长 分析分析 由 30 的锐角所对的直角边为斜边的一半 BC 可求 由直角三角形 斜边中线的性质可求 CD 在 Rt ADE 中 有 A 30 则 DE 可求 解 解 在 Rt ABC 中 ACB 90 A 30 ABBC 2 1 AB 8 BC 4 D 为 AB 中点 CD 为中线 4 2 1 ABCD DE AC AED 90 在 Rt ADE 中 ADDE 2 1 ABAD 2 1 2 4 1 ABDE 第 25 页 共 148 页 例例 2 2 已知 ABC 中 AB AC BC ABC 为等边三角形 D 为 BC 边上的中 点 DE AC 于 E 求证 ACCE 4 1 分析 分析 CE 在 Rt DEC 中 可知是 CD 的一半 又 D 为中点 故 CD 为 BC 上 的一半 因此可证 证明 DE AC 于 E DEC 90 垂直定义 ABC 为等边三角形 AC BC C 60 在 Rt EDC 中 C 60 EDC 90 60 30 CDEC 2 1 D 为 BC 中点 BCDC 2 1 ACDC 2 1 ACCE 4 1 例例 3 3 已知 如图 AD BC 且 BD CD BD CD AC BC 求证 AB BO 分析 分析 证 AB BD 只需证明 BAO BOA 由已知中等腰直角三角形的性质 可知 由此 建立起 AE 与BCDF 2 1 AC 之间的关系 故可求题目中的角度 利用角度相等得证 证明 作 DF BC 于 F AE BC 于 E BDC 中 BDC 90 BD CD BCDF 2 1 BC AC ACDF 2 1 DF AE ACAE 2 1 ACB 30 CAB ABC CAB ABC 75 OBA 30 AOB 75 BAO BOA AB BO 第 26 页 共 148 页 三 作业布置 P28 复习题 1 四 课后反思 第 27 页 共 148 页 A BC D E P A B C D E 1 2 3 O A B C D E A BC O 习 题 课 1 2 已知 Rt ABC 中 C 90 A 50 则 B 2 在 Rt ABC 中 C 90 则 A 与 B 3 在 ABC 中 若 B 与 C 互余 则 ABC 是 三角形 4 在直角三角形中 斜边上的中线等于 的一半 5 若 ABC 中 A B C 1 2 3 则 ABC 是 三角 形 6 如图 在 ABC 中 ACB 90 CD AB A 40 则 DCB B 7 如图 直线 AB 上有一点 O 过 O 点作射线 OD OC OE 且 OC OE 分 别是 BOD 和 AOD 的平分线 则 1 与 2 的大小关系是 1 3 度 OC 与 OE 的位置关系是 8 如图 ABC 中 AB AC 4 P 是 BC 上任意一点 过 P 作 PD AC 于 D PE AB 于 E 若 S ABC 6 则 PE PD 9 10 11 9 如图 已知 ACB BDA 90 要使 ACB BDA 至少还需加上条 件 10 如图 已知 AD BC AE 平分 DAB BE 平分 ABC 则 E A 大于 90 B 等于 90 C 小于 90 D 无法确定 11 如图 ABC 中 A 50 BO CO 分别是 ABC ACB 的平分线 则 BOC 的度数是 A 115 B 110 C 105 D 130 12 如图 已知 AC BD 于 C CF CD BF 的延长线交 AD 于点 E 且 AC BC 求证 1 D 1 2 BE AD 13 如图 在 Rt ABC 中 A 90 B 45 AD 为斜边 BC 上的高 且 AD BC 12cm 求 BC 的 长 C D A B C D E F 1 第 28 页 共 148 页 A B 14 如图 AB CD BAC 和 ACD 的平分线相较于点 H E 为 AC 的中点 EH 2cm 求 AC 的长 A B E H C D 15 如图 在 ABC 中 B 90 AB AD DE AC 垂足为 D C 28 求 AED 的度数 A D B E C 16 ABC 中 BAC 2 B AB 2AC AE 平分 CAB 求证 AE 2CE 17 已知 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB CE 为 AB 边上的中线 且 BCD 3 DCA 求证 DE DC 18 如图 AB AC AD BC 于 D AF FD AE BC 且交 BF 的延长线于 E 若 AD 9 BC 12 求 BE 的长 第 29 页 共 148 页 19 在 ABC 中 ACB 90 D 是 AB 边的中点 点 F 在 AC 边上 DE 与 CF 平 行且相等 求证 AE DF 20 已知 如图 在 ABC 中 B C AD BC 于 D E 为 AC 的中点 AB 6 求 DE 的长 21 已知 ABC 中 ACB 90 CD 是高 A 30 求证 BD AB 1 4 22 2008 湖北 已知 如图 ABC 中 AB AC BD AC 于 D 点 BD AC 1 2 则 A 23 已知 如图 AD 为 ABC 的高 E 为 AC 上的一点 BE 交 AD 于 F 且有 BF AC FD CD 求证 BE AC 24 如图 3 AD 是 ABC 的中线 DE AB 于 E DF AC 于 F 且 BE CF 求证 1 AD 是 BAC 的平分线 2 AB AC 25 已知如图 AE ED AF FD AF DE EB AD FC AD 垂足分别 为 B C 试说明 EB FC A D CB A E DC B F 1 2 A BC 1 2 EF 图3 D 第 30 页 共 148 页 26 2007 南充 如图 已知BE AD CF AD 且BE CF 请你判断AD是 ABC的中线还是角平分线 请说明你判断的理由 A B C D F E 课后反思 第 31 页 共 148 页 多边形内角和 一 学习目标学习目标 1 了解多边形及其相关概念 会用字母表示多边形 2 经历探索 总结并掌握多边形内角和定理 重点 3 通过多边形内角和定理的探索 培养学生的自主探索与合作交流 体会化归思想 难点 学习过程学习过程 一 学前准备 1 观察身边的物体 找出熟知的图形 如平行四边形 长方形 正方形和梯形等 从 而得出 的封闭图 形叫做多边形的概念 2 了解多边形相关的概念 边 顶点 内角 外角 以及凸多边形概念 1 从图中任选一个 说出它的边 顶点 内角 外角 1 2 3 2 叫做凸多边形 二 合作探究 探究 1 我们知道三角形的内角和是 180 那么怎样求四边形的内角和呢 能 否将问题转化为三角形来求解 你用了哪些方法 与同伴交流 叫做多边形的对角线 方法一 方法二 你还有其他的方法吗 探究 2 你能用上面的方法求五边形 六边形的内角和吗 试试看 探究 3 你从上面得到的结果发现多边形的内角和与它的边数有什么关系 能猜想出 n 边形的内角和是多少 与同伴交流你的结论 多边形内角和定理多边形内角和定理 n n 边形的内角和等于边形的内角和等于 n 2 180 n 2 180 n n 为不小于为不小于 3 3 的整数 的整数 AB C D AB C DE F AB C D E AB C D AB C D O 第 32 页 共 148 页 探究 4 你能证明这个定理吗 三 应用与迁移 例 1 1 求十边形的内角和 2 若一个多边形的内角和是 2520 求这个多边形的边数 学习小结学习小结 1 我的收获 2 我的困惑 学习检测学习检测 基础练习 基础练习 课本 36 页练习中 1 2 拓展练习 拓展练习 将一个四边形剪去一个角后得到一个多边形 求它的内角和 课后反思 第 33 页 共 148 页 多边形内角和 二 学习目标学习目标 1 了解多边形的外角定义 并能准确找出多边形的外角 重点 2 掌握多边形的外角和公式 利用内角和与外角和公式解决实际问题 难点 学习过程学习过程 一 学前准备 清晨 小明沿一个五边形广场周围的小跑 按逆时针方向跑步 图 1 1 小明每从一条街道转到下一条街道时 身体转过的角是哪个角 在图中标出它们 2 他每跑完一圈 身体转过的角度之和是多少 二 合作探究 探究 1 如图 1 五边形 ABCDE 中 小明转过的角度之和是多少 1 1 BAE 2 五边形 ABCDE 的内角和是多少度 3 你能求出图中 1 2 3 4 5 的和吗 你是怎样得到的 与你的同伴交流 2 探索多边形外角和定理 如果广场的形状是六边形 七边形 八边形 那么还有类似的结论吗 3 探究归纳 多边形外角和定理 4 正多边形的定义 5 想一想 1 利用多边形外角和的结论 能推导多边形内角和的结论吗 反过来呢 2 正 n 边形的每个外角等于多少度 三 应用与迁移 例 1 1 求十边形的内角和 2 若一个多边形的内角和是 2520 求这个多边形的边数 学习小结学习小结 1 我的收获 2 我的困惑 学习检测学习检测 基础练习 基础练习 E D C B A 5 4 3 2 1 第 34 页 共 148 页 1 从 n 边形的一个顶点出发作对角线 把这个 n 边形分成三角形的个数是 A n B n 1 C n 2 D n 3 2 多边形的边数由 3 增加到 n n 3 时 其外角度数的和是 A 增加 B 保持不变 C 减少 D 变成 1803 n 3 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍 它是几边形 拓展练习 拓展练习 4 一个多边形每个外角都是 这个多边形的边数是 内角和是 45 5 多边形的边数增加 1 则内角和发生怎样的变化 外角和呢 课后反思 平行四边形 第一课时 主备人 王勇 合备人 周谧洋 钟猛 教学时间 月 日第 节 总第 节 学习目标学习目标 第 35 页 共 148 页 1 理解并掌握平行四边形的定义 掌握平行四边形的性质定理 1 及性质定理 2 重点 2 理解两条平行线的距离的概念 3 经历探索平行四边形的有关概念和性质的过程 发展自己的探究意识和合情推理 的能力 难点 学习过程学习过程 一 学前准备 1 什么是四边形 四边形的一组对边有怎样的位置关系 2 一般四边形有哪些性质 二 合作探究 1 平行四边形的定义 1 定义 2 几何语言表述 3 定义的双重性 具备 两组对边分别平行 的四边形 才是 平行四边形 反 过来 平行四边形 就一定具有 两组对边分别平行 性质 4 平行四边形的表示 用 表示 如 ABCD 2 探究平行四边形的性质 探究 已知 如图 1 平行四边形 ABCD 求证 AB CD CB AD B D BAD BCD 图 1 结论 性质 1 性质 2 3 两条平行线间的距离 推论 1 平行线间的距离是指 推论 2 三 应用与迁移 例 1 1 在平行四边形 ABCD 中 A 500 求 B C D 的度数 2 平行四边形的两邻边的比是 2 5 周长为 28cm 求四边形的各边的长 学习小结学习小结 1 我的收获 2 我的困惑 学习检测学习检测 第 36 页 共 148 页 基础练习 基础练习 1 如图 2 在 ABCD 中 AC 为对角线 BE AC DF AC E F 为垂足 求证 BE DF 2 如图 3 在 ABCD 中 如果 EF AD GH CD EF 与 GH 相交与点 O 那么图中的平行四 边形一共有 A 4 个 B 5 个 C 8 个 D 9 个 图 2 图 3 图 4 拓展练习 拓展练习 3 如图 4 AD BC AE CD BD 平分 ABC 求证 AB CE 4 农民李某想发展副业致富 经考察地形后 在耕地旁边的荒地上开垦一平行四边形 形状的鱼塘 能测得 BAD 1200 量得 AB 50 米 AD 80 米 请你帮助李某一下鱼塘的 对边 AD BC 之间的距离及这个鱼塘的面积 课后反思 平行四边形的性质平行四边形的性质 2 主备人 王勇 合备人 周谧洋 钟猛 教学时间 月 日第 节 总第 节 学习目标学习目标 1 掌握平行四边形对角线互相平分这一性质 并会用此性质进行有关的论证和计算 重点 2 经历观察 猜想 实验 验证等数学活动 认识平行四边形的性质 3 通过多种方法探究平行四边形的性质 体验解决问题策略的多样性 难点 学习过程学习过程 一 学前准备 A BC D 第 37 页 共 148 页 1 复习 四边形的内角和 外角和定理 平行四边形的性质定理 1 2 的内容 什么叫 两条平行线的距离 二 合作探究 探究 如图 1 ABCD 的两条对角线 AC BD 相交于点 O 1 图中有哪些三角形是全等的 有哪些线段是相等的 2 能设法验证你的猜想吗 3 你能发现平行四边形的对角线有什么性质 性质 3 三 应用与迁移 1 课本例 3 已知 如图 ABCD 的两条对角线 AC BD 相交于点 O AB AC AB 3 AD 5 求 BD 的长 2 从边 角 对角线总结平行四边形的性质 从边看 从角看 从对角线看 学习小结学习小结 1 我的收获 2 我的困惑 学习检测学习检测 基础练习 基础练习 1 课本练习 1 2 拓展练习 拓展练习 2 如图 在 ABCD 中 已知 AC BD 相交于点 O 两条对角线的和为 24cm BC 长为 8cm 求 AOD 的周长 A D BC O 图 1 O A D C B O A D C B