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概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名第一章 随机事件及其概率1.1 随机事件1.2 随机事件的概率一、单选题1.以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（ D ） （A） “甲种产品滞销，乙种产品畅销”（B）“甲、乙两种产品均畅销”（C） “甲种产品畅滞销” （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”2.对于事件，有，则下述结论正确的是（ C ） （A）必同时发生； （B）发生，必发生； （C）发生，必发生； （D）不发生，必发生3.设随机事件和同时发生时，事件必发生，则下列式子正确的是（ C ）(A) (B)(C) (D)二、填空题1. 设表示三个随机事件，用的关系和运算表示（1）仅发生为：；（2）中正好有一个发生为：；（3）中至少有一个发生为：；（4）中至少有一个不发生表示为：.2.某市有住户订日报，住户订晚报，住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户所占的百分比是3. 设则；.1.3古典概率一、填空题1.将数字写在张卡片上，任取张排成位数，则它是奇数的概率为.2.把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为.3.若袋中有3个红球，12个白球，从中不返回地取10次，每次取一个，则第一次取得红球的概率为，第五次取得红球的概率为.4. 盒中有2只次品和4只正品，有放回地从中任意取两次，每次取一只，则（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一只；（3）取到的2只中至少有一只正品.二、计算题 1一份试卷上有6道题. 某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误. 试求： (1) 这4处错误发生在最后一道题上的概率； (2) 这4处错误发生在不同题上的概率； (3) 至少有3道题全对的概率. 解：4个错误发生在6道题中的可能结果共有64=1296种，即样本点总数为1296.(1)设A表示“4处错误发生在最后一道题上”，只有1种情形，因此；(2)设B表示“4处错误发生在不同题上”，即4处错误不重复出现在6道题上，共有种方式，因此有6种可能，故(3)设C表示“至少有3道题全对”相当于“至少有2个错误发生在同一题上”，而表示“4处错误发生在不同题上”，.2. 已知件产品中有件是不合格品，今从中随机地抽取件，试求: (1) 件中恰有件不合格品的概率； (2) 件中至少有一件不合格品的概率. 解：从件产品中抽取件产品的每一取法构成一基本事件,共有种不同取法.(1)设A表示抽取件产品中恰有件不合格品的事件，则A中包含样本点数为,由古典概型计算公式，。(2)设B表示抽取件产品中至少有一件不合格品的事件，则表示件产品全为合格品的事件，包含个样本点。则。3一批产品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。从这批产品中任取3件，求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率；（2）取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率.解：设事件表示取出的3件产品中有2件等品，其中=1，2，3； （1）所求事件为事件、的和事件，由于这三个事件彼此互不相容，故=0.671 （2）设事件表示取出的3件产品中至少有2件等级相同，那么事件表示取出的3件产品中等级各不相同，则1.4条件概率一、单选题1.设,互不相容，且,则必有（ D ）.(A) （B） (C) （D） 2.已知，则（ D ）. (A) 0.2 （B）0.45 (C) 0.6 （D）0.753.已知，则( C ). (A) （B） (C) （D）4.已知 则 ( D ).(A) （B） (C) （D） 5. 掷一枚质地均匀的骰子，设A为“出现奇数点”，B为“出现1点”，则( C ). (A) 1/6 （B） 1/4 (C) 1/3 （D） 1/2二、填空题1. 已知,及,则 .2.设互不相容，且；则.3.设事件及的概率分别为，则.4.已知事件互不相容，且，则5.设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4. 如果一只动物现在已经活到20岁, 则它能活到25岁以上的概率是.三、计算题 1. 一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率.解 设Ai(i=1,2,3)为第i次抽到合格品的事件，则有= =10/1009/9990/980.0083.2.一个盒子装有6只乒乓球，其中4只是新球. 第一次比赛时随机地从盒子中取出2只乒乓球，使用后放回盒子第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球. 试求第二次取出的球全是新球的概率.3.某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。统计资料表明，这3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%， “一般的”占50%，“冒失的”占30%，一个被保险人在一年内出事故的概率是多大？解：设=“他是谨慎的”， =“他是一般的”， =“他是冒失的”，则构成了的一个划分，设事件=“出事故”，由全概率公式：1.5 事件的独立性 1.6 独立试验序列一、单选题1.设是两个相互独立的随机事件,，则（ B ）(A) (B) (C) (D) 2.设甲乙两人独立射击同一目标，他们击中目标的概率分别为 0.9和0.8，则目标被击中的概率是（ B ）.(A) 0.9 （B） 0.98 (C) 0.72 （D） 0.83.每次试验成功率为，(1)进行10次重复试验成功4次的概率为( A )(2)进行重复试验，直到第10次试验才取得4次成功的概率为( B )(3)进行10次重复试验，至少成功一次的概率为( D )(4)进行10次重复试验，10次都失败的概率为( C ) (A) (B) (C) (D) 二、填空题1.设与为两相互独立的事件，=0.6，=0.4，则=.2.三台机器相互独立运转，设第一、二、三台机器不发生故障的概率依次为，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率.3.某人射击的命中率为，独立射击次，则至少击中次的概率为.4.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为 0.5 .5.一批电子元件共有100个，次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个，则第二次才取到正品的概率为.三、计算题 1. 5名篮球运动员独立地投篮，每个运动员投篮的命中率都是80.他们各投一次，试求： (1) 恰有4次命中的概率； (2) 至少有4次命中的概率； (3) 至多有4次命中的概率. 解：设 (1)(2) (3) 2一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人看管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7.求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人看管的概率.解：设事件表示第台车床不需要照管，事件表示第台车床需要照管，（=1，2，3）， 根据题设条件可知： 设所求事件为，则 根据事件的独立性和互不相容事件的关系，得到： 3.甲、乙、丙3位同学同时独立参加概率论与数理统计考试，不及格的概率分别为.（1）求恰有两位同学不及格的概率；（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率.解：（1）设，.则 （2）第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量2.2 离散型随机变量及其概率分布一、单选题1. 离散型随机变量的概率分布为()的充要条件是( A ).（A）且 （B）且 （C）且 （D）且2. 下面函数中，可以作为一个随机变量的分布函数的是（ B ）.（A） （B）（C） （D）3. 已知随机变量服从二项分布,则（ C ）.（A） （B） （C） （D） 二、填空题1. 已知随机变量的取值是1,0,1,2，随机变量取这四个数值的概率依次是，则.2. ,则的分布函数是3. 设随机变量,若则.4.重复独立地掷一枚均匀硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数Y的分布为.三、计算题 1. 一寻呼台每分钟收到寻呼的次数服从参数为4的泊松分布.求（1）每分钟恰有7次寻呼的概率.（2）每分钟的寻呼次数大于10的概率.解：（1）（2）2. 已知盒子中有4个白球和2个红球，现从中任意取出3个，设X表示其中白球的个数，求出X的分布列.解：的可能取值为3、4、5，又 3 4 5 3. 设随机变量Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P 求 (1)系数A及Y的分布列； (2)Y的分布函数； (3)(1) 此时分布为 0 1 2 3P (2) (3).2.3 连续型随机变量及其概率密度一、单选题 1. 若函数 是随机变量的概率密度，则区间为 （ A ） （A） （B） （C） （D）2.下列函数为随机变量的密度函数的为( D )(A) (B) (C) (D) 3. 设随机变量的概率密度为，则一定满足（ D ） （A） （B） （C） （D）4.设,那么当增大时，则（ C ） (A)增大 (B)减少 (C)不变 (D)增减不定5. 设且，则（ C ） （A）0.3 （B）0.4 （C）0.2 （D）0. 5二、填空题1.设连续随机变量的分布函数为(1); ;(2) 0.5 ;(3)概率密度.2.设随机变量在在区间上服从均匀分布，则（1） 0 , （2） 2/3 ,（3） 1 , （4） 1/3 . 3. 设随机变量,则若， 1 .4. 设随机变量，,则事件的概率为0.3835. 设随机变量，若,则 0.35 .三、计算题1. 设连续型随机变量的密度函数为，求： 常数； 概率 解： 由密度函数的性质，得 所以，得即随机变量的密度函数为 2. 设随机变量的分布函数为 （1）求； （2）求分布密度.解：（1） （2），3. 设k在(0,5)上服从均匀分布，求方程有实根的概率.解：x的二次方程有实根的充要条件是它的判别式 即 解得 由假设k在区间(0,5)上服从均匀分布，其概率密度为 故这个二次方程有实根的概率为 2.4 随机变量的函数及其分布一、计算题1. 设随机变量的分布列为-2-1013求的分布列.解：所有可能取值为0，1，4，9.故X的分布律为：Y01492.设随机变量的概率密度，求下列随机变量的概率密度：（1）; （2） .解：（1） （2）3. 设随机变量在区间内服从均匀分布,求的分布密度.解： Y的分布函数当y0时，（注意x在有值，y在）， 第三章 二维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布一、单选题1.设二维随机变量的联合概率密度为 则（ A ）（A）0.5 （B）0.55 （C） 0.45 （D）0.62.二维随机变量的联合分布函数是以下哪个随机事件的的概率（ B ）（A） （B） （C） （D）二、填空题1.设二维随机变量的联合分布函数为则系数=，= ，= ，的联合概率密度为 .2.设二维随机变量的联合概率密度为 则 = 2 .三、计算题1.设二维随机变量的联合概率密度为：求 （1）系数；（2）.解：（1）由于， 故， 所以 （2） 2. 设二维随机变量的联合概率密度为 试求：（1）常数；(2)概率.解：（1）由于， 故， 所以 （2）= 3.将三个球随机的投入三个盒子中去，每个球投入盒子的可能性是相同的.以及 分别表示投入第一个及第二个盒子中球的个数，求二维随机变量联合概率分布.解：XY012301233.2 边缘分布 3.3 随机变量的独立性1.下表列出了二维随机变量联合概率分布及关于和关于的边缘概率分布的部分数值，试将其余值填入表中的空白处 12.已知随机变量和的概率分布如下而且（1）求和的联合分布；（2）问和是否独立？为什么？解： -10100.2500.2510050（2）和不独立。3.把一枚均匀硬币抛掷三次，设为三次抛掷中正面出现的次数 ，而为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求的概率分布以及关于、的边缘概率分布.解： 的可能取值为0，1,2,3；的可能取值为1,3并且 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3) 得的分布及关于、的边缘概率分布为 13234.已知二维随机变量的联合概率密度为判断随机变量和是否独立？解: 由于 ， 。故所以随机变量和独立第四章 随机变量的数字特征4.1 数学期望一、单选题1.设连续型随机变量的分布函数为，则（ B ）（A） （B） （C） （D） 2.掷10颗骰子，令为10颗骰子的点数之和，则（ C ）（A） （B） （C）35 （D） 3.设随机变量与相互独立，且它们分别在区间-1，3和2，4上服从均匀分布，则=（ C ）（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4二、填空题1.设连续型随机变量的概率密度为 其中，又已知，则 3 ， 2 .2.设随机变量服从参数为1的指数分布，则数学期望 4/3 .3.设随机变量的概率密度为则 0 . 4.已知离散型随机变量服从参数为2的泊松分布，即则随机变量的数学期望 4 .三、计算题1. 设的概率分布为-10123求：解：101492. 设的联合概率密度为，求. 解：，同理。3.设随机变量在区间上服从均匀分布，求随机变量函数的数学期望.解：第五章 中心极限定理一、计算题1.已知一本书有500页，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布.各页有没有错误是相互独立的，求这本书的错误个数多于88个的概率.()解：设表示第页上的错误个数， 则，因此 设表示这本书上的错误总数，由列维中心极限定理知 因此2.计算机在进行数值计算时，每次计算的误差都服从均匀分布，若在一项计算中进行了100次数值计算，求平均误差落在区间上的概率()解：设表示第次计算的误差， 则，因此 设表示100次计算的总误差，由列维中心极限定理知 因此 3.某单位有100部电话，每部电话约有20的时间使用外线通话设每部电话是否使用外线是独立的，问该单位至少要安装多少条外线，才能以90以上的概率保证每部电话使用外线时都能够打通？( ) 解:设表示需要使用外面的电话数，表示安装的外线数，则 ，因为 较大, 所以近似服从正态分布. , . () 所以该单位至少要安装26条外线，才能以90以上的概率保证每部电话使用外线时都能够打通？ 4.某品牌家电三年内发生故障的概率为0.2,且各家电质量相互独立.某代理商发售了一批此品牌家电,三年到期时进行跟踪调查：（1）抽查了四个家电用户,求至多只有一台家电发生故障的概率；（2）抽查了100个家电用户,求发生故障的家电数不小于25的概率.（ )解:设表示发生故障的家电数,则 (1) =+ =+ (2) ， 因为 较大, 所以近似服从正态分布. , . () 第六章 数理统计的基本知识一、单选题1.设是来自总体的简单随机样本，则必然满足( C ) （A）独立但分布不同 (B)分不相同但不独立 (C) 独立并且分布相同 (D)既不独立也不同分布2.设总体,其中未知，已知，是来自总体的样本，则下列不是统计量的是（ D ） （A） (B) (C) (D) 3.设独立且服从同一分布，是样本均值，记，则下列服从 的是 ( A )（A） （B） （C） （D）4.总体服从正态分布，为其容量为100的样本的样本均值，则服从正态分布的是 （ A ） ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 5.是来自正态总体的样本，为样本均值，为样本方差，则下列不正确的的是 （ C ）( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 二、填空题1.已知某总体的样本值为99.3，98.7，100.05，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5，则样本均值= 99.93 ，样本方差= 1.43 2.已知样本观测值为： 1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200则样本均值= 1147 ，样本方差= 7579 3.在一小时内观测电话用户对电话站的呼唤次数，按每分钟统计得到观测数据列表如下： 则样本均值= 2 ，样本方差= 1.966 4.设是独立且服从标准正态分布的随机变量，且每个都服从若服从分布，则 1 ，其自由度为 2 5.随机变量，,且与相互独立，则6.设总体在区间服从均匀分布，是来自总体的简单随机样本，则 0 7.从总体中抽取容量为9的样本,则= 0.9987 8.和是来自正态总体的两个独立样本，则 第七章 参数估计 7.1 点估计一、单选题1.是来自总体的样本，且，则下列不是的无偏估计的是（ D ）( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 2.是来自正态总体的样本，下列的无偏估计量中最有效的是（ A ）( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 二、填空题1.设总体在区间上服从均匀分布，其中为未知参数.如果取得样本观测值为，则参数的矩估计值为 2.设某厂生产的灯泡的寿命服从寿命为的指数分布，测得个灯泡失效的时间为，则的矩估计值三、计算题1.设总体的概率分布为01或其中为未知参数。如果取得样本观测值为，求的矩估计值和极大似然估计值。解：（1）令,求得为矩估计值。（2）似然函数为取对数，得于是，得.由此可得参数的极大似然估计值为求得。2.设总体的概率分布为123其中为未知参数。已知取得样本值试求的矩估计值和极大似然估计值.解 ：(1)令,具体地，即：，求得为矩估计值。 (2)似然函数为取对数，得于是，得.由此可得参数的极大似然估计值为求得。3.设总体的密度函数为，其中未知，是一组样本观测值，求参数的极大似然估计值.解：似然函数为取对数，得于是，得.由此可得参数的极大似然估计值为求得。7.3 正态总体的置信区间1、 单选题1.对总体的均值进行区间估计，得到置信度为的置信区间，意义是这个区间是（ D ） (A) 平均含总体95%的值 (B) 平均含样本95%的值 （C）有95%的机会含样本的值 (D) 有95%的机会含的值2.若总体，其中已知，当样本容量保持不变时，如果置信度变小，则的置信区间（ B ） (A)长度变大 (B)长度变小 （C）长度不变 (D)长度不一定不变3.设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足.若，则等于（ C ）（A） (B) (C) (D)二、填空题1.由来自正态总体，测得容量为的简单随机样本 15.8, 24.2, 14.5, 17.4, 14.9, 20.8, 17.9, 19.1, 21.0则未知参数的置信度为的置信区间为 (17.812,18.988) （）2. 进行10次独立测试，测得零件直径（mm）的样本观测值为： 5.21 4.77 5.64 5.93 5.37 4.93 5.56 5.45 5.39 5.08设零件直径服从正态分布,则零件直径的均值的置信水平为0.95的置信区间为 （5.09，5.58） 。()3.从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠的直径（单位：mm）如下 14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8若滚珠直径服从正态分布，且未知，则滚珠直径方差的置信度为0.9的置信区间为 （0.02,0.10） （）三、计算题1. 设