高一二次函数竞赛答案.doc

高一二次函数竞赛培训题一、求二次函数在闭区间上的值域1轴定区间定例1已知函数，当时，求函数f(x)的最大值与最小值2轴定区间动例2求函数在区间上的最小值解析：对称轴（1）当即时，；（2）当即时，；（3）当即时，3轴动区间定例3求函数在上的最大值解析：函数图象的对称轴方程为，应分，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；由图可知（2）；由图可知（3）时；由图可知；即4轴动区间动例4设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值。例4已知，求的最小值解析：将代入u中，得，即时，即时，所以5、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值例5已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值解析：（1）若，不合题意（2）若则由，得；（3）若时，则由，得综上知或例6已知函数在区间上的值域是，求m，n的值解析：方法一：讨论对称轴中1与的位置关系若，则解得若，则，无解若，则，无解若，则，无解综上，方法二：由，知，则，f(x)在上递增所以二、根的分布例7(1)方程的两根均大于，求实数的范围(2)方程的两根一者大于，一者小于求实数的范围(3)方程的两根一者在内，一者在（6，8）内，求实数的范围解析：令（1）由或 得：；（2）由或得：；（3）由得：例8关于的方程有实根，求实数的取值范围解析：令（），原方程有实根等价于方程有正根令，则恒过点方法一：得：方法二：要使方程有正根，则方程的较大根大于即可；故由得：例9关于的方程至少有一个负根，求实数的取值范围解析：令，恒过点方法一：时， 成立时，得：；时，恒成立；综上可知：方法二：时， 成立时，要使方程至少有一个负根等价于方程的较小根小于即可故或得；综上可知：例10已知函数与非负轴至少有一个交点，求实数的取值范围解析：方法一：方程有一个实根是，则得：；方程有两个正根，则得：；方程有一个正根一个负根，则得：；综上可知：方法二：考虑命题的对立面：方程没有实根或两个负根；方程没有实根，则得：；方程有两个负根，则得；故或因此函数与非负轴至少有一个交点实数的取值范围是：例11关于的方程只有较小的根在内，求实数的取值范围解析：时，此时方程为，两根，不成立；由得；综上可知：例12 关于的方程在区间上有实根，求实数的取值范围解析：令，端点：；得：；在开区间上（i）在上仅有一个实根，则得： ；（ii）在上有两个相等的实根，则得：；（iii）在上有两个不等的实根，则得：；综上可知：三、恒成立问题此类问题往往可以转化为求函数最值的问题或用参数分离的方法例13已知函数，（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围解析：（1）当时，恒成立，即在上恒成立，因此得：（2），恒成立，即，函数的对称轴为：，即时，得：故此时无解；即时，得：故；即时，得：故；综上可知：例14不等式对一切恒成立，求实数的取值范围解析：时，恒成立；时，满足得：；综上可知：例15当，不等式，求实数的范围解析：方法一：令开口向上故在上的最大值为或，故得：方法二：参数分离法时，等价于（），（）,故例16对满足的所有实数，求使不等式恒成立的取值范围例16对满足的所有实数，求使不等式恒成立的取值范围解析：由题意知，不等对恒成立，令，（看作是的函数）由得：或课后练习1f(x)是定义在全体实数上的偶函数，它的图象关于x=2为轴对称，已知当x(-2,2时f(x)的表达式为-x2+1，则当x(-6,-2)时，f(x)的表达式是：(A)-x2+1，（B）-(x-2)2+1，(C)-(x+2)2+1，（D）-(x+4)2+1。（） 2已知x2-4x+b=0的一个根的相反数为x24x-b=0的根，则x2+bx-4=0的正根为。 3 已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb且f(-1)=-2，又f(x)2x对一切xR都成立，求a+b=? 4已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根，x12+x22的最大值是： （A）19；（B）18；（C）50/9(D)不存在 5已知f (x)=x2-2x+2，在xt,t+1上的最小值为g (t)，求g (t)的表达式。 解：f (x)= (x-1)2+1 (1)当t+11即t1时，g(t)=f (t)=t2-2t+2 综合（1）、（2）、（3）得：6集合=，=，求实数的取值集合解：、分别表示函数与函数的值域由3知=3，）而受参数的影响，要进行讨论=0时，值域是符合条件0时，=是二次函数，如果0，该函数的值域为，这时不成立如果0时，由3，,得 01综上所述, 的可取值集合为|01。说明：参数的取值决定了函数=的类别及性质，因而对该函数的值域有影响为了由求出的允许值范围，必须对参数分情况讨论7抛物线的顶点位于区域内部或边界上，求、的取值范围解：抛物线的顶点坐标为（），故 ，上式即为、的取值范围8设=时，二次函数有最大值5，二次函数的最小值为2，且0， +=,=25求的解析式和值解：由题设=5，=25，=，所以 =30，解得 =1 （= 17舍去）由于在=1时有最大值5，故设 =所以 =，因的最小值为2，故,所以从而=9已知01, =,的最小值为（1） 用表示；（2）求的最大值及此时的值解：（1）把改写成=于是知是顶点为（），开口向上的抛物线又因为0,1,故当01，即02时，的最小值为；当1,即2时，有最小值于是（2）当2时，的值小于0，而当02时，=，它的最大值为（当=1时取得），故的最大值为，此时=110函数=，,1,该函数的最大值是25,求该函数取最大值时自变量的值分析：限定在区间,1上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单调情况当可取任意实数时，二次函数的图象是对称轴为开口向下的抛物线，与区间,1的位置关系决定了已知函数的单调状况，因此要分区间讨论当,1,即时,最大值应是由=25, 2=,不符合的条件可见当1,即时，函数=，,1是增函数，可见，解之得=或=其中=不合的条件，舍去可见1=1=当，即时,函数=是,1是减函数,可见,解之得=或=其中=不合的条件,舍去,由此知= 综上所述,当=或=时, 函数有最大值2511已知方程，其中1，证明：方程的正根比1小，负根比 1大8证明：原方程整理后，得=0，令=，则是开口向上的抛物线，且，故此二次函数=0有一个正根，一个负根要证明正根比1小，只须证，要证明负根比 1大，只须证0因为 从而命题得证12定义在上的奇函数，当0时，=另一个函数=的定义域为,值域为,其中,、0在,上, =问:是否存在实数,使集合恰含有两个元素?分析：是以轴为对称轴由=的图象平移所形成的抛物线系对给定的它表示一条抛物线，条件恰含有两个元素的意思是函数=，,的图象与抛物线恰有两个交点首先要弄清楚=，,，进而作出它的图象容易求出奇函数=在0时的解析式是=即 =函数=的定义域为,值域为,其中,、0，这表明 可见、同号也就是说=，,的图象在第一或第三象限内根据=（,以及的图象可知，函数的图象如所示曲线的一部分 值域与函数的单调状况有关，又与定义域有关如果只考虑02或20两种情况，不能准确地用,、表示出值域区间的端点，因此要把区间（0，2），（2，0）再分细一些，由图中看出，当、0时，考虑以下三种情况较好01，01，12如果01，那么1但是（0，1时，1,这与的值域区间的右端点大于1矛盾可见不出现01的情形如果12，由图看出是减函数，可见整理得 ，考虑到12的条件，解之得完全类似地，考虑到10，210，21三种情况后,可以在21的情况下通过值域条件得