第七章-圆轴的扭转.ppt

7 1工程中的扭转问题 在第五章中我们已经讨论了杆件受轴向载荷作用时 杆件发生轴向拉伸或压缩变形 杆件的横截面上产生拉或压的轴力 横截面上的点受到轴向的正应力 在这一章中我们将讨论另一类基本变形 扭转变形 当一根直杆受到绕杆的轴线转动的力偶作用时 杆会发生扭曲 即杆的截面发生绕轴线转动的扭转变形 例如当你要拧紧一个木螺丝时 见图7 1a 你在螺丝批的把手上作用了一个力偶 见图7 1b 在螺丝批的另一端则受到木螺丝对它的反力偶作用 螺丝批发生扭转变形 又例如图7 2的掘土机械中的螺旋钻的空心圆轴和图7 3的手枪钻的麻花钻头都发生扭转变形 在工程中有许多轴类构件 截面大多是圆形截面 有些是实心圆轴 也有空心圆轴 当受到绕轴线转动的力偶作用时 截面将绕轴线转动 截面之间发生相对转动 即产生扭转变形 如图7 4所示 返回 7 2外力偶矩 扭矩和扭矩图 一 外力偶矩在工程中 圆轴经常用来传递力偶所做的功 例如自行车的车轴 汽车的驱动轴和车床的齿轮轴等 而功的大小取决于作用在轴上力偶的矩和轴的转速 现在来考虑一根用马达驱动的轴 如图7 5所示 如果轴匀速转动 转速是n r m 传递的力偶矩是M 马达的功率是P kW 则轴的转动角速度是 下一页 返回 7 2外力偶矩 扭矩和扭矩图 传递力偶的功率与马达的功率相等 即由此 已知轴的转动速度和输入或输出的功率 就可以换算出作用在轴上的外力偶矩 换算公式是 下一页 上一页 返回 7 2外力偶矩 扭矩和扭矩图 二 扭矩如图7 6a所示的圆轴 两端受到一对大小相等 转向相反的外力偶作用 力偶矩是M 并处于平衡状态 为了求出轴的内力 在轴内的任意一个横截面m m处将轴切开 分成两个部分 它们的受力分析分别如图7 6b和7 6c所示 截出的两个部分仍然保持平衡状态 所以截面上的内力必定是一个力偶 称之为扭矩 左右两截面上的扭矩是一对作用和反作用力 它们的大小一定相等而转向相反 扭矩的大小和实际转向可以通过两部分的平衡方程得到 下一页 上一页 返回 7 2外力偶矩 扭矩和扭矩图 三 扭矩图求出轴内任意一个截面上的扭矩以后 就可以用图线来表示扭矩与截面位置之间的关系 这个图线称为扭矩图 图7 6d就是轴7 6a的扭矩图 从图中可以看出 在两个集中力偶作用之间的截面上 扭矩是一个常量 上一页 返回 7 3圆轴的扭转变形 一 纯扭转考虑一根等截面圆轴 两端受到一对力偶作用 如图7 7a所示 轴内扭矩是一常量 此时圆轴所发生的扭转变形称为纯扭转 在小变形的条件下 由对称性知 轴的横截面在绕轴线转动的过程中仍保持为平面 它的形状还是圆 半径仍是直线 轴的长度和半径的大小都保持不变 左右两端截面绕轴线相对转过一个角度 称为扭转角 假设左端面转过的角度是0 则右端面转过角度就是 轴内任一横截面的扭转角用 x 表示 下一页 返回 7 3圆轴的扭转变形 二 切应变和扭曲率在纯扭转的圆轴内用两个横截面截出长度为dx的微段 如图7 7b所示 两截面绕轴线相对转过的角度是d 两条母线ad和bc分别倾斜了一个相同的角度 矩形abcd变形成平行四边形abc d ab与ad的夹角从90 减小了一个角度 max 这个角度的改变称为切应变 在小变形的条件下 由图示的几何关系得到在纯扭转的情况下 可以用轴两端截面的相对转角 除以轴的长度l来表示 即 下一页 上一页 返回 7 3圆轴的扭转变形 由此可以得到圆轴外表面的切应变的表达式根据类似的分析可以得到圆轴内部的切应变 见图7 7c所示 在dx的微段内截出半径为 的圆柱体 因为半径仍保持直线 所以其表面的切应变是 上一页 返回 7 4圆轴扭转时横截面上的切应力 一 纯剪切在小变形的前提下 圆轴扭转时横截面始终保持为平面 而且圆截面的形状 大小不变 半径仍为直线 截面之间的距离也不变 所以在横截面上没有正应力 而切应力与过这点的半径垂直 朝向与截面上的扭矩转向相一致 在图7 8纯扭转的圆轴中取一个微体 它的边长分别是dx dy和 见图7 8b所示 在微体的左右侧面上各有一个相等的剪力 dy 它们的方向相反 组成一个力偶 其力偶矩是 dydx 因为微体处于平衡状态 所以在微体的顶面和底面上必定存在切应力 上下两个面上的剪力必然也要组成一个反力偶 反力偶矩是 dxdy 与上述的力偶相平衡 即 下一页 返回 7 4圆轴扭转时横截面上的切应力 上面的表达式表示微体的两个正交面上如果有切应力的话 则切应力的数值相等 方向与两个正交面的交线垂直 共同指向或共同背离交线 这就是切应力互等定理 上面微体的四个侧面上只有切应力没有正应力 这种应力状态称为纯剪切 二 剪切胡克定律发生纯剪切的微体由原来的正六面体变形成平行六面体 见图7 8c 原来互相正交的棱边由于变形发生了一个角度的改变 就是切应变 对于线弹性的材料 切应力与切应变成正比关系 即 下一页 上一页 返回 7 4圆轴扭转时横截面上的切应力 表达式中的比例常数G称为切变弹性模量 它与拉压弹性模量E一样是反映材料特性的弹性常数 上面的关系式称为剪切胡克定律 对于各向同性材料 拉压弹性模量E 切变弹性模量G和泊松比 之间存在如下关系 可以得到 下一页 上一页 返回 7 4圆轴扭转时横截面上的切应力 由此可见 圆截面上点的切应力分布与该点的半径成正比 如图7 8d所示 显然 截面上最大切应力位于圆截面的外边缘上 其大小是 由切应力互等定理可知 圆轴的纵向截面上只有切应力 分布如图7 9所示 下一页 上一页 返回 7 4圆轴扭转时横截面上的切应力 三 扭转的切应力公式在知道了圆截面上的切应力分布后 现在来分析切应力与扭矩之间的关系 见图7 10 在半径为 的圆周处取一个微面积dA 上面作用微剪力 dA 它对圆心O的微力矩是 dA 所有这些微力矩的和等于截面上的扭矩 即将公式 7 9 代入上式得 下一页 上一页 返回 7 4圆轴扭转时横截面上的切应力 令上式中的积分为IP 它仅与截面的几何尺寸有关 称为极惯性矩 即由此可以得到把上式代入到 7 9 式中 就得到切应力计算公式 下一页 上一页 返回 7 4圆轴扭转时横截面上的切应力 显然 横截面上的最大切应力是 式中 IP R项也是一个仅与截面有关的量 称为抗扭截面系数 用Wt表示 即 下一页 上一页 返回 7 4圆轴扭转时横截面上的切应力 所以 最大切应力计算公式又可以写成 四 极惯性矩和抗扭截面系数的计算直接用积分就可以求出圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数 见图7 10取微面积dA d d 代入到式 7 11 中 得到极惯性矩 即 下一页 上一页 返回 7 4圆轴扭转时横截面上的切应力 把上式代入到式 7 14 中得到抗扭截面系数 如果是空心圆截面 如图7 11所示 用相同的的方法可以求出极惯性矩和抗扭截面系数 下一页 上一页 返回 7 4圆轴扭转时横截面上的切应力 和其中 是内径与外径之比 即空心圆截面上的切应力分布如图7 12所示 上一页 返回 7 5扭转时的强度和刚度问题 一 圆轴的扭转失效通过扭转试验发现 不同材料的圆轴在扭转破坏时 断口的形状也不一样 塑性材料在扭转时 当外力偶矩逐渐增大时 材料首先屈服 这时在圆试件的表面出现纵向和横向的滑移线 横截面上的最大切应力称为扭转屈服应力 当外力偶矩增大到某个数值时 试件就在某一横截面处发生剪断 如图7 13a所示 这时破坏截面上的最大切应力称为扭转强度极限 而当脆性材料在扭转时 扭转变形很小 没有明显的屈服阶段 最后发生约45 的螺旋面的断裂破坏 如图7 13b所示 扭转的屈服应力和强度极限称为扭转的极限应力 用 u表示 下一页 返回 7 5扭转时的强度和刚度问题 二 强度条件和强度计算从扭转试验得到了扭转的极限应力 再考虑一定的安全裕度 即将扭转极限应力除以一个安全系数 就得到扭转的许用切应力 这个许用切应力是扭转的设计应力 即圆轴内的最大切应力不能超过许用切应力 对于等截面圆轴 各个截面的抗扭截面系数相等 所以圆轴的最大切应力将发生在扭矩数值最大的截面上 强度条件就是 下一页 上一页 返回 7 5扭转时的强度和刚度问题 而对于变截面圆轴 则要综合考虑扭矩的数值和抗扭截面系数 所以强度条件是三 刚度条件和刚度计算在纯扭转的等截面圆轴中 从扭曲率的公式 7 12 可以得到 下一页 上一页 返回 7 5扭转时的强度和刚度问题 它表示圆轴中相距dx的两个横截面之间的相对转角 所以长为l的两个端截面之间的扭转角可以积分上式得到 因为在纯扭转中 扭矩T和扭转刚度GIP是常量 所以上式可以简化成 下一页 上一页 返回 7 5扭转时的强度和刚度问题 如果是阶梯形圆轴并且扭矩是分段常量 则式 7 12 的积分可以写成分段求和的形式 即圆轴两端面之间的扭转角是在工程上 对于发生扭转变形的圆轴 除了要考虑圆轴不发生破坏的强度条件之外 还要注意扭转变形问题 这样才能满足工程机械的精度等工程要求 所以用扭曲率作为衡量扭转变形的程度 它不能超过规定的许用值 即要满足扭转变形的刚度条件 对于扭矩是常量的等截面圆轴 扭曲率最大值一定发生在扭矩最大的截面处 所以 刚度条件可以写成 下一页 上一页 返回 7 5扭转时的强度和刚度问题 上式中 扭曲率的单位是rad m