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考研数学全程复习指导(积分学)2.多元函数积分学考试内容(数学一)二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件已知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积分的应用 考试要求(数学一)1理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。3理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。4掌握计算两类曲线积分的方法。 5掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。6了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。7了解散度与旋度的概念，并会计算。8会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。考试要求(数学二)1 了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。考试要求(数学三)1 了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。2 了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。考试要求(数学四)同数学三 2. 多元函数积分学知识点概述2 1 二重积分基本概念：定义、基本性质计算方法：直角坐标法（x型简单区域；y型简单区域） 极坐标法（r型简单区域；型简单区域） 一般变换法几何应用：面积、曲顶柱体体积 物理应用：质量、质心、转动惯量22 三重积分基本概念：定义、基本性质计算方法：直角坐标法：x型简单区域；y型简单区域；z型简单区域投影法（先定积分后二重积分）截面法（先二重积分后定积分） 柱坐标法; 球坐标法; 一般变换法几何应用：体积 物理应用：质量、质心、转动惯量、引力23 曲线积分 第一类曲线积分基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法几何应用：弧长物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 第二类曲线积分基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法曲线积分基本定理(曲线积分与路径无关的条件（平面情形，空间情形）; 全微分的原函数; 场论基本概念与计算格林公式（平面曲线积分）; 斯托克斯公式（空间曲线积分）物理应用：功，环流量，通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系24 曲面积分 第一类曲面积分基本概念：定义、基本性质计算方法：投影法（向xoy平面投影；向yoz平面投影；向zox平面投影）几何应用：曲面面积 物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 第二类曲面积分基本概念：定义、基本性质计算方法：有向投影法（各向投影；单向投影）; 化成第一类曲面积分; 高斯公式; 斯托克斯公式 物理应用：通量第一类曲面积分与第二类曲面积分的联系典型例题二重积分例1（91103）设D是XOY平面上以为顶点的三角形区域，是D在第一象限部分，则=（ ）（A） （B）（C）（D）注 二重积分的对称性例2 计算，其中D是由直线以及曲线所围成的平面区域注平面区域的重心（质心）变式1计算，其中例3计算，其中注1 极坐标法是计算二重积分的重要方法变式1计算，其中变式2 计算，其中注2 二重积分的轮换对称性变式3 计算，其中变式4 （05204）计算，其中为常数，为, 上的正值连续函数例4 (94103) 计算，其中D由直线围成，为连续函数变式1 （01306）计算，其中D由直线围成例5(02107) 计算，其中变式1计算，其中变式2（95305）计算，其中为整个xoy平面例6计算注 将二重积分化成二次积分计算时，确定积分次序是关键变式1 计算变式2 计算，其中D由及Y轴围成变式3 计算，在连续例7 设在上连续，证明例8求在上连续的，使例9 (97306) 求，使得在上连续，且满足方程例10 （00406）设，求，其中变式1 (05111) 计算二重积分，其中, 表示不超过的最大整数变式2 (05209) 计算二重积分，其中 典型例题三重积分例1 （88203）设有空间区域，则（ ）(A)(B) (C) (D) 注 三重积分的对称性例2 计算，其中解一：投影法 解二：截面法 解三：柱坐标变换法 解四：球坐标变换法变式1用截面法计算，其中变式2 利用对称性计算，其中例3 计算，其中例4 计算，其中注 空间区域的重心（质心）例5 设可导，求变式1设可导， ，求例6 (03112) 设为正值连续函数，（1） 讨论在内的单调性（2）证明时，典型例题曲线积分与曲面积分例1 计算，其中解一：参数化法 解二：利用曲线积分的对称性变式1计算，其中为球面与平面的交线变式2计算，其中为球面与平面的交线例2 计算，其中解一：投影法 解二：利用曲面积分的对称性例3（87103）计算,其中取正向(逆时针方向)解一：参数化法 解二：格林公式例4 (03110) 已知平面区域，为其正向边界，试证（1），（2）解一：参数化法 解二：格林公式例5 (97105)计算,其中是与平面 的交线，从Z轴正向往Z轴负向看的方向是顺时针正向解一：参数化法 解二：斯托克斯公式例6 （00106）计算，其中是以点为中心，半径为的圆周，取逆时针方向例7 （98106） 确定常数，使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度，并求解一：曲线积分法 解二：不定积分法变式1(05112)设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数。（1）试证：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有（2）求函数的表达式例8 设，取逆时针方向，为正值连续函数，试证例9 (04112) 计算其中为曲面的上侧解一：高斯公式； 解二： 化为第一类曲面积分变式1计算，其中为曲面 的上侧例10计算，其中，为锥面在xoy平面上方的部分，取上侧解一：用斯托克斯公式化成曲线积分计算； 解二：用斯托克斯公式改变曲面积分在化