第一类曲面积分.doc

第四节 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分一 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件的物体，在点处的密度为，求此物体的质量求解的方法是, 将曲面分为若干个小块()，其面积分别记为()，在小块曲面上任意取一点，若密度函数是连续变化的则可以用点处的密度近似小块上的密度于是小块的质量为，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值即当个小的曲面的直径的最大值时，上面的式子右端的极限值如果存在，则将此极限值定义为曲面的质量即总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分定义13.3设函数是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)上的有界函数将曲面分为若干个小块()，其面积分别记为，在小块曲面上任意取一点，若极限存在，则称此极限值为函数在曲面上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)记为即=其中表示所有小曲面的最大直径, 称为被积函数, 称为积分曲面对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质如1) ；2) ；3) 二 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数确定，曲面在坐标面上的投影为，函数在具有连续偏导数（即曲面是光滑曲面）按照对面积的曲面积分的定义有设对曲面的第块在坐标面上的投影为，则可以表示为下面的二重积分：有二重积分的中值定理有其中是小曲面上的任意一点，为内任意一点，所以注意到，从而得到二重积分的计算公式这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面的方程是，曲面的面积元素为，曲面在坐标面上的投影是，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了将这个过程简单归纳如下：1) 用的函数代替； 2) 用换；3) 将曲面投影到坐标面上得到投影简单地说就是“一代二换三投影”例13.16 计算曲面积分，其中曲面是由平面截球面的顶部 图13-16解： 曲面的方程为，它在坐标面上的投影为圆形的闭区域：，所以利用极坐标计算上面的积分，得到例13.17计算曲面积分，其中曲面是由平面以及三个坐标面所围成的四面体的表面 图13-17解：如上图，曲面由曲面组成，其中分别是平面，上的部分；所以习题13.41. 计算. 其中为上半球面.2. 计算. 其中为曲面介于二平面之间的部分.3. 计算. 其中是锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面.4. 求抛物面壳的质量, 此壳的面密度的大小为.5. 求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量.6. 计算. 其中为四面体, , 及的边界面.参考答案1. 2. 3. 4. 5. 6. .第五节 对坐标的曲面积分一 对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明1. 曲面的侧在曲面上的任意一点处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向，当点在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量也随着连续变动，这种连续变动又回到时，法线向量总是不改变方向，则称曲面是双侧的，否则，称曲面是单侧的如著名的Mbius带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面，如果轴的正方向是竖直向上的，则有上侧和下侧又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧例如对于曲面，若取定的法向量是朝上的，那么实际上就是取定曲面为上侧；对于封闭曲面，若取定的法向量是由内指向外的，则取定的曲面是外侧选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面2. 流向曲面一侧的流量设稳定的不可压缩的液体以速度流向有向曲面，求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量其中函数都是曲面上的连续函数如果流体流过平面上的一个面积为A的闭区域，且流体在闭区域上各点处的流速为常向量，又设是该平面上的单位法向量，那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A，斜高为的斜柱体，其体积即流量为这就是通过闭区域A流向所指的一侧的流量对于一般的曲面，我们可以将它划分为若干个小块，在是光滑的和是连续的前提下，只要的直径很小，我们就可以用上任意一点处的流速近似替代上各点处的流速，以此点处的曲面的单位法向量代替上各点处的单位向量，从而得到通过流向指定侧的流量的近似值为，（为的面积）于是通过曲面指定侧的流量近似地为注意到；因此上式可以写为当所有小块的直径的最大值时，上面和的极限就是流量的精确值在实际问题中还有很多的类似的极限，由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义3. 对坐标的曲面积分的定义定义13.4设是逐片光滑的有向曲面，函数在曲面上有界，将划分为若干个小块，在坐标面上的投影为，取中的任意一点，若各个小块的直径的最大值时，极限存在，称此极限为函数在曲面上对坐标的曲面积分（或第二类曲面积分）记为，即类似地，可以定义函数在曲面上对坐标的曲面积分（或第二类曲面积分），以及函数在曲面上对坐标的曲面积分（或第二类曲面积分）如下：；在应用中通常是上面三种积分的和，即，简记为如果是有向封闭曲面，通常记为，并规定取曲面的外侧4.性质1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:2) 设时有向曲面,表示与取相反侧的曲面,则有二 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法下面以计算曲面积分为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面的上侧,且曲面由方程给出,那么曲面的法向量与轴的正方向的夹角为锐角，曲面的面积元素在坐标面上的投影为正值若为曲面在坐标面上的投影区域由对坐标的曲面积分的定义可以得到如果积分曲面取的下侧，那么曲面的法向量与轴的正方向的夹角为钝角，所以曲面在坐标面上的投影为负值，从而有类似地，如曲面由方程给出，则有；等式右边的符号这样决定：如积分曲面时方程所给出的曲面的前侧，则取正号；如果是后侧，则取负号如曲面由方程给出，则有等式右边的符号这样决定：如积分曲面时方程所给出的曲面的右侧，则取正号；如果是左侧，则取负号对于曲面积分的计算，我们可以简单的归纳出如下的计算步骤：a) 用的函数来代替；b) 将曲面投影到坐标面上，得到；c) 对曲面定向从而确定符号，上侧取正号，下侧取负号简称为“一代二投三定向”，将曲面积分化为二重积分计算例13.18 计算曲面积分，其中是半球面，的上侧解：球面上点处的单位法线向量为，速度，所以例13.19 计算曲面积分，其中是球面外侧在的部分解：将曲面分为两部分，的方程为；的方程为所以习题13.51. 计算. 其中是上半球面的上侧.2. 计算. 其中为柱面被平面及所截部分的外侧.3. 计算. 其中为半球面朝轴正向的一侧.4. 求矢量场穿过在第一卦限中的球面外侧的通量.5. 计算. 其中是球面的下半部分的下侧.参考答案1. 2. 3. 4. 5. 第六节两类曲面积分之间的联系设有向曲面有方程给出，在坐标面上地投影区域为，函数在区域上具有连续的一阶偏导数，是曲面上的连续函数。如果曲面取上侧，则由对坐标的曲线积分的计算公式，有，另一方面，上侧曲面的方向余弦为故由对面积的曲面积分地计算公式，有由此可见，（13-6-1）如果取曲面的下侧，则有，注意此时，因此(13-6-1)式仍然成立类似地，可以得到（13-6-2）（13-6-3）合并上面的(13-6-1), (13-6-2)和(13-6-3)，得到其中是有向曲面上点处的方向余弦这两类曲面积分的联系可以用下面的向量形式表示：其中为有向曲面上点处的法向量称为有向曲面元素例13.20计算曲面积分，其中是旋转