MATLAB语言矩阵处理.doc

实验六 特征值与特征向量、若当标准形【实验目的】1了解特征值与特征向量基本概念及其性质；2了解若当标准型的基本概念；3学习、掌握MATLAB软件有关的命令。【实验准备】1特征多项式设A为n阶方阵, 如果数“”和n维列向量x使得关系式成立, 则称为方阵A的特征值, 非零向量x称为A对应于特征值“”的特征向量。poly(A)，返回矩阵A的特征多项式的向量表示形式，例如： clear A=1 0;2 3; p=poly(A) %矩阵A的特征多项式的向量表示形式p = 1 -4 3 f=poly2str(p,x) %矩阵A的特征多项式f = x2 - 4 x + 3或者由定义出发，计算特征多项式.例如： clear A=1 0;2 3; E=eye(2); %2阶单位阵 syms x f=det(x*E-A) %矩阵A的特征多项式f = (x-1)*(x-3)2特征值与特征向量eigenvalue求一个方阵的特征值与特征向量可以使用函数eig( ).d=eig(A), 返回A所有特征值组成的列向量d.V,D= eig(A), 返回A所有特征值组成的矩阵D和特征向量组成的矩阵V.V,D= eigs(A), 返回A所有特征值(按大小次序)组成的对角矩阵D和特征向量组成的矩阵V，且满足D=V-1AV.d=eig(A,B), 返回复数矩阵A+Bi所有特征值组成的向量d.V,D= eig(A,B), 返回复数矩阵A+Bi所有特征值组成的矩阵D和特征向量组成的矩阵V. 例如： clear（ format）（ format rat） A=0 1 0 0;1 0 0 0;0 0 0 1;0 0 1 0; d=eig(A) %求矩阵A的特征值d = 1 -1 1 -1 %特征值以列向量的形式输出，例如： V,D=eig(A) %求矩阵A的特征值与特征向量所组成的矩阵V = -0.7071 0 0 0.7071 0.7071 0 0 0.7071 0 -0.7071 0.7071 0 0 0.7071 0.7071 0D = -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1%说明（1）矩阵D的主对角线上的元素为特征值，所以方阵A的特征值为-1（二重），1（二重）.%说明（2）特征值-1对应的特征向量为V中的第1、2列，即 (-0.7071 0.7071 0 0)T (0 0 -0.7071 0.7071)T ，其中为任意常数， 特征值1的特征向量为V中的第3、4列，即 (0 0 0.7071 0.7071)T ( 0.7071 0.7071 0 0)T ，其中为任意常数。 V=sym(V) %以符号的形式输出矩阵VV = -sqrt(1/2), 0, 0, sqrt(1/2) sqrt(1/2), 0, 0, sqrt(1/2) 0, -sqrt(1/2), sqrt(1/2), 0 0, sqrt(1/2), sqrt(1/2), 0 V-1*A*V %验证D=V-1AVans = -1, 0, 0, 0 0, -1, 0, 0 0, 0, 1, 0 0, 0, 0, 13.提高特征值的计算精度函数 balance格式 T,B = balance(A) %求相似变换矩阵T和平衡矩阵B, 满足。B = balance(A) %求平衡矩阵B4实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化 P,D= eig(A) D为对角化后的矩阵，P为正交阵.在Matlab中，我们运用函数eig求出二次型矩阵A的特征值矩阵D和特征向量矩阵P，所求的矩阵D即为系数矩阵A的标准形，矩阵P即为二次型的变换矩阵.例如： clear A=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5; %实对称矩阵A P,D=eig(A) %矩阵A的对角化P= -0.2981 0.8944 0.3333 -0.5963 -0.4472 0.6667 -0.7454 0 -0.6667D = 1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 10.00004若当标准形若当标准型可用函数jordan( ) 来求.J = jordan(A), 其中J为A的若当标准型。例如matlab代码： clear A=2 1 0;-1 0 0;-1 1 2; %矩阵A jordan(A) %矩阵A的若当标准形运算结果为：ans = 2 0 0 0 1 1 0 0 1 注意：Matlab中若当块是按上三角形定义的。5其他相关函数矩阵的迹 trace(A)将复对角矩阵转换为实对角矩阵 V,D=cdf2rdf(v,d) 在对角线上用2*2实数块代替共轭复数对.矩阵元素求和函数 sum(A,dim)，dim=1则按列求和，dim=2则按行求和sum(sum(A,1),2) 返回矩阵A的所有元素之和.矩阵元素求积函数 prod(A,dim)，dim=1则按列求积，dim=2则按行求积。prod（prod(A, 1)，2）返回矩阵A的所有元素之积.【实验内容】例6-1：求矩阵的特征值与特征向量 ，并将其对角化. 解一：相应的matlab代码及运算结果如下：clear A= 1 2 2;2 1 2; 2 2 1; d=eig(A) %求全部特征值所组成的向量d = -1.0000 -1.00005.0000 V,D=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵V = 0.6015 0.5522 0.5774 0.1775 -0.7970 0.5774 -0.7789 0.2448 0.5774D = -1.0000 0 0 0 -1.0000 0 0 0 5.0000 inv(V)*A*Vans = -1.0000 0 -0.0000 0 -1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 5.0000 %A可对角化，且对角矩阵为D解二：相应的matlab代码及运算结果如下： clear A= 1 2 2;2 1 2; 2 2 1; p=poly(A) %矩阵A的特征多项式的向量表示形式p = 1 -3 -9 -5 roots(f) %矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值ans = 5.0000 -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i解三：相应的matlab代码及运算结果如下： clear A= 1 2 2;2 1 2; 2 2 1; E=eye(3); syms x f=det(x*E-A) %矩阵A的特征多项式f = x3-3*x2-9*x-5 solve(f) %矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值ans = 5 -1 -1 %所以A的特征值为x1=5,x2=x3=-1. %（1）当x1=5时，求解（x1*EA）X=0，得基础解系 syms y y=5; B=y*E-A; b1=sym(null(B) %b1为（x1*EA）X=0基础解系b1 = sqrt(1/3) sqrt(1/3) sqrt(1/3)%所以b1是属于特征值5的特征向量在基下的坐标 %（2）当x2=-1时，求解（x2*EA）X=0，得基础解系 y=-1; B=y*E-A; b2=sym(null(B) %b1为（x2*EA）X=0基础解系null(A)齐次线性方程组 A*Z=0的基础解系：b2 = sqrt(2/3), 0 -sqrt(1/6), -sqrt(1/2) -sqrt(1/6), sqrt(1/2) b21=b2(:,1),b22=b2(:,2) b21 = sqrt(2/3) -sqrt(1/6) -sqrt(1/6) b22 = 0 -sqrt(1/2) sqrt(1/2)%b21，b22是属于特征值-1的特征向量在基下的坐标 T=b1,b2 %所有特征向量在基下的坐标所组成的矩阵T = sqrt(1/3), sqrt(2/3), 0 sqrt(1/3), -sqrt(1/6), -sqrt(1/2) sqrt(1/3), -sqrt(1/6), sqrt(1/2) D=T-1*A*T %将矩阵A对角化，得对角矩阵D D = 5, 0, 0 0, -1, 0 0, 0, -1例6-2：将矩阵对角化，并将复对角矩阵转换为实对角矩阵相应的matlab代码及运算结果如下： clear A=0 2 1;-2 0 3;-1 -3 0; v,d=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵v = -0.8018 -0.1572 + 0.3922i -0.1572 - 0.3922i 0.2673 -0.6814 -0.6814 -0.5345 -0.1048 - 0.5883i -0.1048 + 0.5883id = 0 0 0 0 0 + 3.7417i 0 0 0 0 - 3.7417i V,D=cdf2rdf(v,d) %复对角矩阵转换为实对角矩阵V = -0.8018 -0.1572 0.3922 0.2673 -0.6814 0 -0.5345 -0.1048 -0.5883D = 0 0 0 0 0 3.7417 0 -3.7417 0%说明：在对角线上用22实数块代替共轭复数对，由D可知A的特征值为1， 3.7417i和-3.7417i. V1=V(:,1),V2=V(:,2),V3=V(:,3); %由V可知A的两个共轭特征向量为V2+ V3*i，即： V2+V3*ians = -0.1572 + 0.3922i -0.6814 -0.1048 - 0.5883i V2-V3*ians = -0.1572 - 0.3922i -0.6814 -0.1048 + 0.5883i例6-3：求例6-1中矩阵A的迹，并验证. 相应的matlab代码及运算结果如下：clear A= 1 2 2;2 1 2; 2 2 1; a=trace(A) %求矩阵A的迹a = 3 d=eig(A) %求矩阵A的特征值d = -1.0000 -1.00005.0000 b=sum(d,1) %矩阵d元素求和b = 3%说明：A的所有特征值之和为A的迹 e=det(A)e = 5 f=prod(d,1) %矩阵d元素求积，即特征值求积f = 5%说明：A的行列式值等于所有特征值乘积.%（1）函数sum(A,dim)是矩阵元素求和函数，dim=1则按列