[理学]2010年2+2高等数学模拟试卷1解析

1,2010年2+2高等数学模拟试卷1解析,2,解,一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每小题4分，共24分）,【分析】 无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小.,【答案】 应填 0.,3,解,【答案】 应填 1.,4,解,齐次方程，,代入原方程，得,5,【答案】 应填,6,解,【答案】 应填,7,解,二次型的矩阵为,【答案】 应填,8,解,【答案】 应填,由全概率公式，,补充：E(Y) = ？,9,（本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）,二、选择题：,【答案】 应选(B)。,10,解,【答案】 应选(D)。,11,解,【答案】 应选(B)。,12,解,【答案】 应选(B)。,13,利用对称性简化二重积分的计算,设积分区域D关于y 轴对称，,(1) 若f(x,y)关于 x 是奇函数，则有,(2) 若f(x,y)关于 x 是偶函数，,则有,其中 是D的右半区域。,14,设积分区域D关于x 轴对称，,(1) 若f(x,y)关于 y 是奇函数，则有,(2) 若f(x,y)关于 y 是偶函数，,则有,其中 是D的上半区域。,注意：不仅要考虑区域的对称性，还要考虑函数的奇偶性。,利用对称性简化二重积分的计算,15,类题 设有平面区域,解,16,解,选(A).,17,类题 求二重积分,解,区域D分别对称于x轴和y轴，,18,解,类题,为x的奇函数，,D关于y轴对称，,19,化为极坐标，,20,解,21,【答案】 应选(C)。,解,22,解,所以,【答案】 应选(D)。,23,（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分，本题共7个小题，每小题9分，共63分）,三、计算题：,解,24,解,25,解,极大值,极小值,26,函数无间断点，故无铅直渐近线；,27,解,化为极坐标，,28,解,化为极坐标，,再交换积分次序，,29,解,30,31,一般表达式为,32,解,6、设,33,通解为,34,(2),35,解,（1）关于X的边缘概率密度,36,解,关于Y的边缘概率密度,37,故 Z 的的概率密度为,38,(3),所以,39,（本题共3个小题，每小题10分，共30分）,四、应用题：,第一年末结余：,第二年末结余：,第n年末结余：,解,40,41,即A至少为3980万元。,问题：若改为连续复利，则结果如何？,42,解,先将A对角化，,43,所以,44,解,3、两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度 f ( t )、数学期望和方差。,45,所以,46,（本题共2个小题，第一小题6分，第二小题7分，共13分）,五、证明题：,证,47,证,2、设n阶方阵A有n个互不相同的特征值，证明: A的特征向量也是B的特征向量的充分必要条件是可交换.,必要性：,因为A有n个互不相同的特征值,故A可,对角化,即存在可逆阵P,使,由于A的特征向量也是B的特征向量,故对同样的P,有,于是,显然,48,充分性：,两边左乘B