构建合理的数学知识结构 优化和完善学生的数学认知结构

中学数学课堂教学中 优化和完善学生的数学认知结构的研究一、问题的提出11在中学数学教学过程中，经常遇到这样的情况，有的学生在解数学题时，苦苦思索却不得其解，但经别人一指点，即刻恍然大悟。这说明学生头脑中已经具有了解决这个问题所必需的概念、定理等知识，只是不知道如何运用这些概念、定理去解决眼前的问题。于是便出现了这样一个问题：怎样掌握数学知识才有助于提高学生解决数学问题的能力？或者说，怎样才能促进学生良好数学解题模式的有效建构？认知心理学认为，各种知识都是对于按照一定的关系和一定的模式构成的事物结构的认识，因此每门学科也就是与一种“事物结构”相应的知识结构。而人们在掌握某门学科的知识时，总要通过感知、记忆、理解、推理等一系列的认知活动，在这个认知活动中，人们就会形成一定的认知模式，即认知结构。有的学生解决数学问题的能力强，学习成绩好，对所学概念、定理、规则等的理解和运用能力强，不是因为他具备的知识更多，而是因为他对已有的知识组织得更好。这好比一个图书馆，如果里面的书籍杂乱无章，乱堆乱放，我们要找某一本书时，就会感到困难重重。但是，如果书存放有序，层次分明，就很容易找到我们要找的书。因此，我们在进行数学教学时不仅仅把课本知识讲清楚就可以了，而是要把这些结构严谨的数学知识转化成学生头脑中的数学认知结构。只有构建学生良好得的数学认知结构，才能有利于学生数学思维能力的发展，从而提高学生解决数学问题的能力，提高数学教学质量。12从我个人的教学体会来看，从我步入中学数学讲台开始，我就特别注重对学生的数学知识的建构，那时我头脑中还没有“数学认知结构”这个概念，只是想从整体教学入手，让学生逐步建立完整的数学知识结构。那时我的主要做法就是在讲每章、每单元之前，先给学生介绍这一部分知识的整体框架；在讲完一个单元、一章后，让学生试着写出这一部分的知识结构图，以及所涉及的主要思想方法、常见的题型等。经过三年的教学尝试，在1996年的高考中，我所带的两个班级的综合成绩在全区44个教学班（包括复习班）名列第四，这就坚定了我对这方面研究的决心。有幸来山师读教育硕士，在各位导师的指导下，我对数学认知结构有了比较深刻的了解，并开始对在课堂教学如何优化和完善学生的数学认知结构进行系统地研究。二、数学认知结构概念的界定2.1.数学认知结构的含义对于数学认知结构的认知，有许多不同看法，在我国数学界，具有代表性的看法有两种：（1）数学认知结构，即学生头脑中的知识结构。它有两个基本元素组成，一是基本的知识，二是其他知识与基本知识的联系。（2）数学认知结构，是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组成一个具有内部规律的整体结构。以上两种说法没有本质区别，而且大多数人倾向于后一种说法。根据元认知理论，数学认知结构中还应包括元成分在里面。数学认知结构是随着主体数学活动的进行而产生的，是数学知识结构和数学活动经验在人脑中的反映，是数学知识结构、数学活动经验内化的结果。数学活动中，人不是消极被动的，而是用原有认知结构积极主动地吸收外来知识，逐步形成和丰富自己的数学认知结构。所以说数学认知结构应包含三种主要成份：数学经验和数学知识系统；数学认知活动操作系统；数学元认知系统。2.2.数学认知结构与数学知识结构的联系与区别数学知识结构是指数学知识本身的结构，它数学知识本身的内在联系，不论学习者是否意识到它，是否掌握了它，它是独立于学习主体而客观存在的。数学认知结构是数学知识结构与学生认知结构相结合的产物，也就是说，它是经过求知者头脑的加工整理后，在头脑里形成的数学知识结构。数学认知结构中已经融入了学习者的认知特点，包含了元认知成份，即包含了学习者的认知体验、经验和对数学知识理解的深度与广度。因此数学认知结构是依赖于学习主体而存在，是因人而异的，具体地说，两者的区别在于：（1）信息的表征方式不同。数学知识结构和数学认知结构都是表达信息的，但两者在表达的方式上却有着明显的区别。教材中的数学知识结构是用文字和符号详尽表达有关世界数量关系和空间形式认识成果的信息。它表现为一个逻辑严密、结构相对完整的数学知识体系。而学生头脑中的数学认知结构则主要是以语义的方式概括地、简约地表达信息的，并且通常以直觉的方式将信息储存在头脑里。这种表达方式表明，认知结构已经将知识表征和个人智力活动方式融为一体了。（2）信息的构造方式不同。数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，作为中学课程内容的数学虽然经过了教材编写者的教学法处理，但其内容仍然是一个较为严密的逻辑体系，前后内容连贯有序，整个结构相对完善。而学生头脑里的数学认知结构，内容之间并无严格的逻辑顺序，它既不是一种条理清楚的线性结构，也不是一种排列有序的网状结构。数学认知结构一旦被学生内化为认知结构以后，其内容之间的逻辑顺序和层次性往往就被淡化了，不同内容之间表现出一种相互融合的态势，其内部结构也不象数学教材知识结构那样清晰可辨。（3）知识的完备性不同。教材中的数学知识结构在内容上都是相对系统的、无缺口的，结构本身就涵盖了它的全部组成内容。如“空间的直线与平面”这一单元的知识结构包括了平面的基本性质，平行直线与异面直线，线面平行与面面平行，线面垂直等，这些内容构成了一个相对完整的、无缺口的单元知识结构。而数学认知结构，由于学习者本身在接受、理解上的失误和学习后的遗忘等原因，在内容上常常是有缺口的、不完备的。如，学生在判定线面垂直时，就不一定会清楚地运用几种判定方法。在强调知识结构与认知结构的区别的同时，并不否认二者之间的密切联系，数学知识结构通过内化在学习者头脑中，形成观念的内容和组织，就构成数学认知结构。所谓内化就是数学知识通过感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知活动转化为学生头脑中的数学认知结构的过程。其基本方式是同化和顺应。数学知识结构和数学认知结构的关系可表示为： 内化（主体的主观能动性）数学知识结构 数学认知结构 基本方式是同化和顺应 2.3.良好的数学认知结构的标准（1）能够迅速地吸收新知识；（2）能够灵活运用知识；（3）能够产生、创造新知识。三、中学数学课堂教学中优化和完善学生数学认知结构的理论探讨3.1 优化和完善学生数学认知结构的必要性3.1.1从数学学习的一般过程来看 根据学习的认知理论，数学学习过程是一个数学认知过程，即新的数学学习内容和学生原有的数学认知结构相互作用形成新的数学认知结构的过程。数学学习过程包括三个阶段：输入阶段，新旧知识相互作用阶段，操作阶段。输入阶段实际上就是给学生提供新的学习内容，创造学习情境，造成新的学习内容与学生原有认知结构之间的冲突，使学生在心理上产生学习新知识的需要。产生学习需要之后，学生原有的数学认知结构与新的学习内容就发生作用，数学学习便进入相互作用阶段。学生原有的认知结构与新的学习内容之间有两种基本作用方式：同化和顺应。相互作用阶段的关键是：学生原有的数学认知结构中是否有相应的知识可与新知识发生作用，以及这些相应知识能否顺利提取出来。操作阶段实质上是在第二阶段产生新的数学认知结构的基础上，通过练习等活动形成新的数学认知结构的过程。“操作”活动实际上就是数学思维活动，操作阶段的目的在于使刚产生的新的数学认知结构得以巩固、充实，变得更加完善，达到预期教育目标，这一阶段的主要形式学生解决数学问题。数学学习过程的理论告诉我们，数学学习过程就是新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。因此，从数学教育的角度看，教师必须从原有的认知结构出发，帮助学生构建合理、完善的数学知识结构；从学生学习角度看，学生要重视打好扎实的数学基础知识，不断完善和优化自己的数学认知结构。3.1.2从有意义学习理论看根据奥苏贝尔的有意义学习理论，产生有意义学习的条件有：第一，判断学生是否进行了有意义的学习，就要看学生学习了知识以后能否进行归类和具体化，也就是说，衡量学生是否掌握知识有两个标准：一是学生能够把新知识融入已有的知识体系中，和已知知识建立联系形成头脑中已有知识的系统化。通俗地理解，也就是学生所学的任何知识，都不是零碎的、彼此孤立的，而应按知识之间的关系，通过不同层次来构成知识的结构，建立知识之间的相互联系。二是在学习了知识之后，要能够将知识具体化，运用知识，这要以将头脑中的知识系统化为前提。第二，学生必须具备有意义学习的心向，即学生必须有把新知识与已有认知结构中的有关知识加以联系的倾向性。第三，学生的认知结构必须具有适当的知识，以便与新知识相互作用。第四，强调学习过程的准备。其实质是认为学生进行学习是有条件的。学生对新知识的掌握是必须通过头脑中已有认知结构和新知识发生联系而进行的。奥苏贝尔强调，学生原有的知识结构是决定新的学习的最重要的因素。他指出，“如果我不得不把全部心理学还原为一条原理的话，那么我会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，根据学生原有的知识状况进行教学。”由此可见，在向学生输入新的知识信息时，必须注意学生原有的知识水平和认知水平，换句话说，学生的认知结构中必须具有适当的知识，即合理的知识结构。因此，教师在数学课堂教学中就要帮助学生构建合理的数学知识结构，以促进学生的数学认知结构不断优化和完善。3.1.3从信息加工理论看按人类信息加工理论的观点，人的学习是处理来自外部环境及思维内部的信息的结果。信息的处理是在一系列的“记忆器”中进行的。记忆可分为感觉缓冲器、工作记忆和长期记忆，每一种记忆都有不同的处理和存储能力，也具有不同的局限性。这些思维结构组成了信息处理系统。人的工作记忆处理信息的单位无法人为的增加很多，但人们可以采用“结构”的形式，合理有效地组织必要的有关联的信息，成为“组块”，使之有可能让过多的信息浓缩进不多的组块而进入工作记忆，达到扩大工作记忆处理能力的目的。同样，认知结构也是人类使自己的思维适应庞大的长期记忆特点的一种方法。按照个人兴趣和认知结构而组织的材料具有出入记忆的最佳机会，因此心理上的组织将有可能防止一大堆无序材料的盲目的积累而引起回忆的困难。因此，数学课堂教学中优化和完善学生数学认知结构，可以使学生思维中有一张“大图”，各项数学知识嵌入这张全面的大图，在适当的地方各占其位，并以某些特定的联系影响其他知识，与他们结合起来，成为有特定意义的局部图或更大的图，以便在解决数学问题时更快地提取有关知识点，达到提高问题解决的能力。3.1.4从数学教育理论的发展来看由认知理论发展而产生的建构主义理论认为，学生的学习过程是建构自己的认知结构的过程。皮亚杰认为“认识是一种连续不断的建构。所谓建构指的是结构的发生和转换，只有把人的认知结构放到不断的建构过程中，动态地研究认知结构的发生和转换，才能解决认识论问题。”数学建构主义的实质是：（1）主体通过对客体的思维构造，在心理上建构客体的意义。所谓“思维构造”是指主体在多方位的把新知识与多方面的各种因素建立联系的过程中获得新知识的意义，建构起新知识与各方面因素间的网络构架，从而最终获得新知识的意义。“自主活动”、“智力参与”和“个人体验”是数学建构主义学习的主要特征。例如，教师利用建构观帮助学生构建数学知识网络，培养学生编织数学知识网络的能力，如立体几何中的定理教学、概念教学，如果能帮助学生构建有序的知识网络，就能减少学生记忆和应用混乱的情况，例如：（4）（5）线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直三垂线及逆定理平行公理线线平行（1）（2）（7）（10）（9）（11）（14）（3）（15）（13）（12）（8）通过这个网络，对立体几何第一章的所有定理就有了很清楚的了解。如果碰到证明空间线线垂直马上想到（7）（10）；如果证明线面垂直即可用（8）（11）（12）（15）等多种方法来证，有触一发而动全身的感觉。我们必须指导学生主动地对所学的知识进行分类和归纳、整理和提炼，最后形成网络，从而形成良好的主体意识，为创造意识打下良好的基础。（2）“建构”同时是建立和构造新的认知结构的过程。“建立”一般是指从无到有的兴建；“构造”则是指对已有的材料、结构、框架加以调整、整合或重组。主体对新知识的学习，既要对新知识理解，对新知识与已有的知识建立适当的联系，又要将新知识与原有的认知结构相互结合，通过纳入、重组和改造，构成新的认知结构。例如，数学的概念、定理、公式、法则等虽然是一些语言和符号，但它们都代表了确定的意义，这些意义是数学家根据对客观事物属性的感知进行思维构造的结果，这些语言、符号只不过是这种思维结果的表达形式，也可以说是概念、定理、公式、法则的思维存在形式。学生要获得这些数学概念、定理、公式、法则的意义，并不是仅仅记住这些思维结果的表达形式，而且也要经过自身为参照中心的思维构造过程，即思维再创造过程。这样的教学过程有助于形成思维过程的内驱力，学生掌握知识更牢固，并培养了学生探索问题的能力。另一方面，当今教育界把“问题解决”作为中小学数学教育的热门话题，因而发展和培养学生的数学能力成为数学教育的核心。“数学能力是主体运用数学认知结构进行数学活动所表现出的数学认知特点的概括。它虽然是以个体的素质和个体智力为其一般能力基础，然而它又是以数学认知结构作为其存在和发展的物质基础。”（曹才翰），因而发展学生的数学认知结构有利于发展学生的数学能力，从而有利于培养学生“问题解决”的能力。3.1.5从系统理论看系统论的整体原理指出，任何系统都是具有结构的，它的功能由各个系统的综合功能反映出来，它的功能不等于各个孤立功能之和，还应加上各部分交互作用所产生的功能。只要挖掘出各个元素潜在的最大的积极因素，促其密切配合、协调一致，就会产生系统的整体功能大于组成其要素部分功能之和的效果。数学认知结构是具有一定整体结构功能的思维模块，它是对学生的数学学习有迁移作用的数学知识和数学经验的总和。数学认知结构具有整体功能，表现在组成其各部分和谐完整的形态以及功能的互相联系、互相影响、互相渗透、互相配合而产生的联合效应。比如，一名学生对数学的概念、公式、定理、法则记忆得比较好，而解题能力和应用数学知识解决问题的能力却比较差，这说明他的再现思维能力较好，而数学技能和数学观念则较弱，影响数学认知结构整体功能的发挥，不利于学习和迁移。这就要求我们在数学课堂教学中不应把知识“散装”在每一节课中，“零售”给学生，而应认真分析教材知识呈现顺序，让学生在知识结构中分析、探索，再经过组合连接，完成对知识系统、结构的认识，从而使头脑中的数学认知结构更加完善，也就提高了学生的数学能力。3.2数学知识内部结构对数学认知结构的影响奥苏贝尔指出，“学生的认知结构是从教材的知识结构转化而来的”。学生学习新数学知识，就是要将其纳入原有数学认知结构中，重新组织和发展数学认知结构。认知建构理论认为，学生能否有效地建构认知结构，在很大程度上取决于学生是否具备相对完整的数学知识结构，也就是说，合理的知识结构可以简化知识，可以产生新知识，有利于知识的迁移，是形成良好的数学认知结构的前提和保证。数学学习作为一种认知活动是数学知识结构和学生原有数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程，其中数学知识结构是影响良好数学认知结构形成的重要方面，有必要对数学知识结构作进一步的分析。3.2.1 数学知识结构的成份分析数学知识的分类，目前分类方法较多。曹才翰、蔡金法的数学教育学概论将数学知识分为五类：基本概念和术语；体现各种空间形式和数量关系之间联系的定理和法则；有关数学活动方法的知识；数学史的知识；评价性知识。郑君文、张恩华的数学学习论将数学知识分为数学概念，数学命题，数学方法，数学史知识。李玉琪在数学教育学概论中指出，“中学数学的基础知识包括常量数学，部分变量数学中基本的概念、公式、定理、法则以及基本的数学思想和数学方法”。一般认为，高中数学知识包括数学概念、数学命题构成的知识体系以及蕴涵在其中的数学思想和数学方法。数学概念，是反映一类对象本质属性的思维形式，主要由原始概念和基本概念组成，是数学知识的最基本形式。数学概念间具有逻辑联系性。数学命题是指在数学中用来表示数学判断的语句或者符号的组合，包括数学公理、数学定理、数学公式和数学法则，数学命题描述的是经严格数学推理论证证实了的数学概念之间固有的关系。数学方法是包含在数学概念和数学命题体系里，人们在数学研究、数学学习和问题解决等数学活动中的步骤、程序和格式。如配方法、消元法等。数学方法可以在数学概念和数学命题的运用中发生。数学方法是人们对客观事物间内在联系的能动的反映，是认识过程的总结。数学思想是渗透在数学概念和数学命题体系贯穿于数学方法中带有普遍性的原则、策略和规律，是对数学概念和数学命题的本质认识，是该类数学方法的概括。如方程思想、函数思想、化归思想等。数学思想具有导向性、统摄性、概括性和迁移性等特征。数学思想是数学知识的精髓，是数学知识迁移的基础和源泉，是沟通数学各部分、各分支联系的桥梁和纽带，是构建数学理论的基石。3.2.2数学知识结构各要素对数学认知结构的影响根据数学学习的一般过程及数学认知结构的定义知，数学概念、数学命题、数学思想、数学方法构成学生的数学知识结构，学生通过注意、感知、记忆、意象、思维等数学认知活动，再依靠思维的监控与调节将数学知识结构内化为数学认知结构，而数学认知结构又直接影响到学生的数学能力。其关系图如下：数学概念 操作系统数学命题 数学知识结构数学认知结构数学解题能力数学思想 元认知系统数学方法 数学成绩 在数学知识结构的各要素中，数学思想是数学知识的精髓，对其它知识起着主导作用，因而数学思想对数学认知结构的影响排在首位，从另一方面，运用数学认知结构解决数学问题就相当于学习过程中的操作阶段，在这一阶段中，数学认知结构中的数学概念、数学命题、数学思想和数学方法要充分地快速组合、整理，使数学认知结构不断地联结，逐渐地优化，在这一过程中，数学方法显示出强大的活力，它将数学思想指明的途径按照一定的步骤、程序和格式组织实施。所以，在数学学习中如果学生只明白解题思想，而不能实现解题思想，与学生不会解，结果是一样。因此，在具体的解题过程中，数学方法比数学思想起更直接的作用。在解题过程中，数学命题的运用要比数学概念方便，如果解题都从概念入手，那么解答过程就相当繁杂了。因此，在影响数学解题能力的各要素中按其影响程度依次为数学方法、数学思想、数学命题和数学概念。四、课堂教学中优化和完善学生数学认知结构的教学原则数学教学的根本任务就是完善和发展学生的数学认知结构，而合理的课堂教学结构是形成学生良好认知结构的手段和媒体。因此，在课堂教学中应遵循以下原则：4.1 问题情境原则“问题是数学的心脏”。数学教学就是要教学生逐步发现问题、提出问题、解决问题。因此，数学课堂教学应从问题开始，精心设计问题的情境。所谓的问题情境，指的是一种具有一定困难，需要努力寻找达到目标的途径，而又是力所能及的学习情境（学习任务）。数学教学中，问题情境的源泉就是学生已有数学认知结构中有关知识与新学习知识之间的联系，教师在了解学生已有认知结构状况的基础上，从学生建构数学认知结构的需要出发，创设问题情境，对数学知识形成过程作必要的教学处理，使学生的认知结构与新知识之间建立有效的联系，以利于良好的数学认知结构的形成和发展。这就要求教师充分了解学生的知识能力水平，提出的问题既不过分难，又不过分简单，让问题处于学生思维的最近发展区。例如，在讲“两点间的距离公式”之前，复习数轴上两点间的距离公式，作为新知的固定点，然后提出问题：（1） 怎样求与x轴平行的直线上两点之间P、Q的距离？（2） 怎样求与y轴平行上两点Q、P2之间的距离？xyoM1M2QxyoP2Q（3） 怎样求坐标系两点P1和P2之间的距离？xyoM1M2P1Q 以上几个问题，为学生推导出两点间的距离公式创设了最近发展区，使学生体会到平行于坐标轴的直线上两点间的距离正是该公式的特殊情形。4.2学生参与知识的发现原则再完善的知识结构也只有通过学生自己主动加工才能转化为其头脑中的认知结构，没有学生积极主动的思考，新的学习内容与学生头脑中原有的数学认知结构就不可能发生作用，因而知识的内化也就不可能发生，新的数学认知结构就不可能形成，调动发挥学生数学学习的主动性、积极性是构建良好的数学认知结构的前提。这里所说的学生参与知识发现过程，不是指学生象科学家发现数学真理那样参与发现发展的全过程，而是指学生在教师启发引导下，独立思考，积极主动地去探索数学概念是怎样形成的，引入这个概念的知识背景和作用是什么，对于定理、公式、法则，分析它们是如何被发现的，定理的证明和公式的推导是怎样想出来的，例题和练习题的解答是怎样思考出来的，真正让学生成为认识的主体，彻底改变那种传统的、封闭的、被动听讲的旧的教学方法。在学生参与知识的发现过程中，为了充分调动学生思维的积极性、主动性，教师要精心设疑、质疑，引导学生把读书、听讲、研究、讨论、思考、做练习有机结合起来，当学生在某一环节上大脑细胞逐步处于抑制状态时，教师要适时调控，从一个环节转向另一个环节，提出新问题让学生猜想、类比、推测和解答，使大脑皮层始终处于兴奋状态。4.3变式训练原则可辨别性是数学认知结构三个变量之一，可辨别性是指新学习任务与同化它的原有认知结构观念系统的分离程度。如果认知结构观念的可辨别性强，则能区别新知识与原有知识的异同，否则，新内容的学习就会因不能清楚分辨而为原有知识所代替。如学生在学习复数时，由于复数概念尚未牢固掌握，实数性质常常干扰复数的学习,这就是由于认知结构可辨别性差而导致的学习上的负迁移。而变式训练是指从不同的角度，不同的方面和不同的形式变换事物呈现的形式，展示知识发生、发展、形成的完整的认识过程的一种训练形式。通过变式训练可以提高学生分辨概念、公式的能力，使概念、公式在不同的知识氛围，以不同的面貌出现时，学生能迅速识别，并能用于解决学习中的有关问题。如在三角函数万能公式的学习时，除了要求会在已知的条件下，用表示角的三角函数外，还要引导学生对对公式进行变式，如，,等。此变式是对规范型公式理解的进一步深化，使学生在非规范的万能公式的情形下，也能迅速辨别，从而达到整体处理问题的目的。 运用变式训练时要防止机械模仿，应采取一题多变、一题多解、多题一解等方式开阔学生思路。变式训练要循序渐进、逐步提高思维程度。4.4 归纳整理原则在每章每单元知识学完之后，教师要引导学生归纳整理所学知识间的内在联系、逻辑顺序、主从地位及解题技巧、技能方面的结论，揭示这些结构在知识整体上的地位、作用，与其它知识的相互联系和结构上的统一性。特别是总结归纳在暴露数学知识发现过程中和思维过程中所反映出的数学思想和数学方法。如在一开始先引导学生对单元知识进行组织、归纳、整理，进而对整个章节进行结构组织，然后可以把整个高中代数知识进行归类，把立体几何、解析几何知识进行网络结构浓缩，最后对整个数学知识进行简约训练，使学生头脑里形成一个经纬交织、融会贯通的有活性的知识网络，以完善和发展学生的数学认知结构。 归纳整理过程就是反思的过程，通过反思，学生回顾和体会了知识的形成过程和解题的思维过程，并体会到这个过程用到了哪些数学思想、数学方法、数学技巧，追索了前人和自己的思维轨迹，进一步洞察数学理论的本质，领会数学思想的精髓，从而提高了学生的思维能力，而思维能力的提高又有助于提高学生把知识结构转化为头脑中的认知结构的能力。五、中学数学课堂教学中优化和完善学生数学认知结构的实践探索从数学认知结构的定义、形成过程及良好的数学认知结构的标准和特征来看，一方面，数学认知结构是从数学知识结构转化而来的，因此良好、全面的数学知识结构是建立良好完善的数学认知结构的基础；另一方面，数学认知结构是在学习主体主动认识、深入加工的基础上形成的。因此主体认识的状态也是建立良好数学认知结构的关键。结合教学实践，从上述两个方面出发进行了一些探讨和尝试。5.1 突出核心知识的教学，建立全面的数学知识结构，形成良好数学认知结构的初步框架 只有建立比较全面的数学知识结构，才能转化成为完整的数学知识结构。数学知识结构的缺损，将导致认知结构基本成份的不完备。所以构建比较全面的数学知识结构，是建立完善数学认知结构的基础。数学知识结构是由知识之间内在的逻辑联系联结而成的知识整体，而核心知识则是数学知识结构中能够对其它知识起着统帅、整合和选择作用的基本概念、基本定理和数学思想方法。它们在抽象性、包摄性、概括性程度上高于其它知识点。以核心知识为中心，组成了一个具有相对的完整性和独立性的知识结构。数学课堂教学中应集中精力讲清楚核心知识，其它知识则必须反复回到核心知识中去，纵向、横向沟通知识，形成紧密的知识结构。5.1.1 注重整体结构，加强概念教学数学概念在数学教学中有着极其重要的地位，因为正确理解概念是掌握数学基础知识的前提。对于概念的教学，要注意知识结构的整体性，把联系紧密的数学概念成“块”呈现。R斯根普指出，“个别的概念一定要融入与其他概念组成的概念结构中才有效用，”这是因为：（1）概念结构能为学生上位学习个别概念提供具体的“实例”（即抽象程度较低的概念），为学生下位学习个别概念呈现包摄程度更高的概念，为并列结合学习个别概念提供有潜在联系的类比概念，使学生在对这类相似或类推概念进行比较，归纳或概括之后获得概念图式，进而发展、形成良好的概念认知结构。（2）数学中的问题解决是由若干有逻辑联系的概念、命题通过逻辑推理得以定理的，孤立的概念或命题不能支持问题解决，概念结构能帮助学生建构概念图式和命题图式，支持解题。奥苏贝尔认为学生在学习概念时主要是以概念同化的方式进行的，其条件主要是：一是学生原认知结构中要有旧概念作为新概念的支持点。二是新旧概念之间必须是本质的联系，从而形成容易提取信息的网络结构，在概念教学时，我主要想采取以下做法：（1）充分利用概念图诺瓦克根据奥苏伯尔的理论设计了一种概念图，其作用有二：1、可帮助学生将句法分析用图表示，较好地理解用定义表征的概念本质特征。2、可以使各知识与概念发生关联，形成网络。学生在做概念图的过程就是一个信息综合加工过程和发生关联过程，对概念的理解一定会更加深入。例如，在讲“平行六面体与长方体”时，可利用下面的概念图帮助学生加以理解：四棱柱平行六面体直平行六面体直四棱柱正四棱柱长方体正方体底面是平行四边形侧棱垂直于底面底面是矩形棱长相等侧棱垂直底面底面是正方形侧棱和底面边长相等底面是矩形底面是平行四边形（2）透彻地建立有意义的网络结构我们的教材其结构是知识结构和认知结构的有机结合，教师对其要有透彻的认识，才能帮助学生不仅在形式上建立如概念图的知识网络结构，而且使其结构中的信息流通畅顺，即结构中各知识点之间有着其数学本质意义的联系。使学生在学习新知识时其认知结构能发挥能动作用，并使新概念在原认知结构中有较多固定点，发生较多联系，找到基本点去贯通地理解概念图中各知识点，才可以使网络具有相关联的数学实际意义，这样才能使学生利用数学认知结构学到新的数学概念。例如：学完“数列”一章概念可总结如下网络图：等比数列等比中项数数列各项通项公式前n项和数学归纳法等差中项等差数列有穷数列无穷数列无穷递缩等比数列各项和 可见，概念学习不仅涉及一个知识点，而且还涉及到学生自己的整个知识结构，因此，概念教学是优化和完善学生数学认知结构关键的一步。（3）深入理解引导的方向一般认为，人们对概念表征的方法有以下四种： 定义特征的表征；可能性的表征；以样例为基础的表征；以理论为基础的表征。定义特征的表征是根据对象的本质特征来表征概念，是一种最简单、直接、字典式的陈述方式，这一直是概念表征的传统模式，也是中学数学概念教学的主要理论基础，以理论为基础的表征是指人们根据自己已有的概念知识，对事物进行分析、推理，并得出结论的过程。如对“复数”概念的解释：数由自然社会的发展和人们研究问题的需要而得到不断地扩充，从自然数有理数实数复数。设定I为虚数单位，并规定i2=-1实数可以和i进行四则运算，且原加、乘运算律仍成立。因而由100kg联想到100ibia+bi(a、bR)。并当b=0时，又回到原先的实数a；当b0时，又产生新的数虚数a+bi，从而形成复数的概念。很明显复数由a、b两个实参数所决定，这时的复数概念不仅是定义特征表征了，而走向以理论为基础的表征。教师在概念教学中的引导方向，就是应该使学生头脑中数学概念的表征从样例表征走向定义特征表征，最终走向以理论为基础的表征。主要做以下两个方面的工作：第一，在帮助学生对个别样例进行概括抽取出本质特征的同时，还要帮助学生建立起这些个别特征之间的因果关系及等级关系，为理解掌握本质特征服务。其次，由于任何数学概念总会与其他概念或规律有一定的联系，学生在学习中不可能孤立地形成某一概念。一个概念的形成往往共生着其他概念的出现，要充分利用各概念之间存在的这些相互关联作用当学生在样例分析中对所形成的概念认识不全面时，这些相互关联会使这种认识的独立性受到抑制，它们之间彼此制约，使得学生在大脑的加工过程中去伪存真，去粗取精，使学生获得该概念的本质特征。例如在讲“三角函数”时要注意与“函数”之间的关联，讲“二面角”要注意与“角”之间的关联。这时教师要设置一些问题，让学生去解答，解答的本身既能使各知识发生关联，以利于整合成自己的知识网络，又可以提高对所用概念的理解，教师可以把解答的结论列成图表。这就是我们常希望达到的在解决问题中获得正确的概念，最终又达到对整个知识结构的理解和掌握。需要指出，在数学概念的学习中，学生原有认知结构的状况是极其重要的，这是因为，不仅各种方式的概念学习都是在原有认知结构的基础上进行的，而且概念学习得以顺利展开的根本动力也是学生原有认知结构与新概念之间的矛盾。当学生原有的认知结构与新的数学概念不相适应而产生矛盾时，就会引起解决这种矛盾的心向，思维活动的积极性和主动性也随之产生，因此概念教学中，教师要充分了解和把握学生认知结构的状况，要重视在新旧知识的衔接上做文章，通过已定义概念类比引入新概念。例如对“二面角”的概念，我们可以通过对平面几何中的“角”的概念的回忆，引导学生进行二维空间到三维空间的类比思维：平面空间；点直线；射线（半直线）半平面。让学生自己去发现、形成新的概念，建构起关于角的概念的一个由线到面、由平面到空间的动态的发展的知识结构。5.1.2. 优化定理教学，完善学生数学认知结构数学定理的学习主要是让学生掌握数学概念之间的本质联系，使学生原有数学认知结构中的两个或者多个固定点联系起来，在数学认知结构中形成一个新的固定点，有效的教学方法能使学生在头脑中建立起数学观念之间稳定的联系，从而使学生在头脑中形成关于所学定理的稳定的认知结构，从而完善学生的数学认知结构。数学定理内化后是数学认知结构的重要组成部分，随着数学学习过程的不断发生，数学认知结构的内部观念在不断地分化和抽象，形成了许多大大小小的“金字塔”结构，这些小“金字塔”结构又互相联系成了一种立体网状结构。每个定理的形成都包含如下两个过程：（1）相关的数学观念的形成过程。定理是由概念通过逻辑或其它联系组成的通过证明是正确的命题，因此定理的学习首先是与定理相关的数学概念的学习。（2）定理观念的形成。根据皮亚杰关于认知结构发展性理论，数学定理观念的形成主要有以下三种方式：第一，学生头脑中的一个或多个观念在不与外界信息作用的方式下，通过头脑内部推理机制（即数学思维）把几个数学观念联系起来，形成一个新的数学观念。当然，最终的推动力还是外界信息的刺激。例如：学生已学习过直线的方程：y-y1=k1(x-x1), y-y2=k2(x-x2),则由两条直线的斜率很快可以推出两直线的夹角正切公式：；第二，指由同化引起的数学认知结构的发展性。此时，虽有外界信息的参与，但数学认知结构本身并没有发生改组，只是一种丰富现象。例如，当学生学习三角函数时，他头脑中已有了函数这个概括性较高的概念，那么他只需要通过派生类属学习这种同化概念的方式即可获得三角函数这个概念。第三，指由顺应引起的数学认知结构的改组。例如：当学生头脑中已有实数的认知结构，而此时学习虚数的概念时，他原有的数学认知结构中没有同化新概念的旧概念，顺应的结果，使实数的认知结构扩大为复数的认知结构。为构建良好的数学认知结构，我们在数学定理教学中采取如下措施：（1）形成稳定的相关数学概念。数学定理揭示的是数学概念之间的本质的联系，数学概念是建立数学定理的基础，因此，若要使学生在头脑中形成较稳定的数学定理与固定点，首先必须使学生在头脑中形成稳定的、清晰的和可辨别的相关数学概念的固定点。（2）引导学生在问题情景中发现数学定理数学教学就是要向学生揭示上述数学概念之间的联系，在教学中采用启发式的教学方法，在教师的引导下，让学生自己在问题情景中揭示数学概念之间的这种联系。疑问是建构教学的起点，它可以揭示学生认识上的矛盾，可以对学生的心理智力产生刺激，问题可以是知识建构的递进需要，也可以是学生在先前的探索中产生的疑点。从认知的角度看，启发式的教学方法与直接说明式的教学方法相比有很大的优越性：第一，在问中学生有更多的积极性，在这种积极性的引导下，不断探索解决数学问题的方法，这是加强数学认知结构各数学观念之间联系的重要手段。认知心理学家布鲁纳曾指出，发现学习确实有使学习者成为构造主义者的作用。发现的实质就是把现象重新组织或转换，再进行组合，从而获得新的领悟，发挥人的智慧潜力。第二，在问题情景中“发现”，有利于记忆的保持，从而有利于数学认知结构的同化和不断分化，为形成良好的数学认知结构创造条件。布鲁纳采用米勒关于人的记忆主要是检索而不是存贮的观点，指出检索的关键在于组织，一般按照个人自己的兴趣和认知结构组织起来的知识，乃是最有希望在记忆中提取的知识。（3）教给学生最基本的逻辑知识、逻辑规律和逻辑方法逻辑知识是联系数学知识的重要手段，数学知识结构中的大多数概念之间的联系都是逻辑联系，因此，教给学生基本逻辑知识有助于学生通过逻辑推理等方法去发现或建立数学概念之间的联系，从而能独立地发现数学知识之间的联系（即定理），使学生在数学认知结构中形成稳定的数学概念的固定点。简单的逻辑知识包括什么是概念、概念内涵和外延、概念应如何定义，什么是命题、命题的四种形式及各种命题之间的关系等；简单的逻辑规律包括形式逻辑的基本规律和辨证逻辑的基本规律，如同一律、矛盾律和排中律；简单逻辑方法包括推理的基本方法，如归纳推理的方法、类比推理方法、演绎推理方法、分析与综合方法、从具体到抽象的方法等。当然，教给学生上述逻辑知识并不是所在课堂上直接讲授这些知识、方法和规律，而是在数学知识和定理的教学过程中贯穿上述逻辑知识，如：排列数公式推导过程，先讲的计算方法，再从最后归纳出一般的计算公式。推导完后，应该向学生指出这种推导的思想方法：不完全归纳、从具体到一般等，还应指出这种方法的不可靠性，还需用数学归纳法证明，为以后的学习作下铺垫。（4）使学生认识定理之间的关系要加深对定理、公式的理解，就必须认识定理、公式在数学知识结构中的地位和作用，以反定理向的相互关系，为此，教师在教学中应讨论一些定理、公式的推广，通过复习，把学过的知识整理成系统的知识，形成定理、公式链，使学生在定理的结构中掌握定理，例如学完三角函数后，引导学生把和、差、倍、半公式之间的关系列成公式表，从而使学过的公式系统化，进而丰富完善知识结构，优化发展数学认知结构。5.1.3.提炼数学思想方法，完善学生数学认知结构数学知识结构通过内化形成数学认知结构，而数学思想是数学知识结构的精髓，是数学知识的内核，正是由于数学思想方法的存在，才使得数学知识不再是孤立的单点或离散的片段，使得解决问题的方法不再是刻板的套路和个别的一招一式，因此数学思想方法在数学认知结构中起着固定的作用。另一方面，由认知理论，数学学习必须使新的数学知识与原有数学认知结构中相应的观念建立起非人为的实质性的联系，也就是要使学生真正理解数学知识中蕴含的数学思想和数学方法。因此，教师在教学中要提炼数学表层知识中蕴含的数学思想和数学方法，以使学生在头脑中形成完善的数学认知结构。天津师大王光明、张文贵通过研究数学表层知识与深层知识相辅相成的关系，总结出数学思想和数学方法教学的教学模式，操作掌握领悟。“操作”和“掌握”指对表层知识的掌握，是“领悟”表层知识中蕴含的数学思想方法的前提。数学思想方法的教学是循环往复，螺旋上升的的过程。为此，在数学思想方法的教学中要采用“逐步渗透”、“多次孕育”、“系统形成”等教学措施。（1）逐步渗透。数学教材的编排一般按表层知识展开的，大量的深层知识只是蕴含在表层知识之中，因此加强数学思想方法的教学，应当逐步渗透数学思想方法。所谓逐步渗透指必须在具体数学概念与数学命题的教学中，通过精心设计的学习情景与教学过程，着意引导学生领悟蕴含在其中的数学思想和数学方法，使他们在潜移默化中达到理解和掌握。主要从以下几个方面进行：第一，知识的发生过程中渗透数学思想和数学方法。从数学发展的角度看，数学概念和数学命题的发生过程实际上也是数学思想和数学方法的发生过程。以概念的发生过程为例，概念的获得主要有两种方式：概念形成和概念同化。概念形成要求学生由具体事实概括出新概念，这就需要从大量的具体例子出发，利用学生在实际经验中的生动事例，以归纳的方式概括出一类事物的本质属性，初步形成一个新概念。而概念同化要求学生利用旧知识导出新概念，即利用认知结构中的有关概念来学习。由此表明，不论概念形成还是概念同化，都需要学生在数学思想的指导下运用一定的数学方法对客观事物和现象进行反复观察、对比、分析、综合，进而将它们结合成类，这种结合的产物便是数学概念。因此，数学思想方法的掌握靠领悟，需要将其逐步渗透到概念和命题的教学中去，是一个循序渐进的过程，不可急于求成，应“在感性基础上运用分析、综合、抽象、概括。并进而获得本质认识”，最终理解和掌握概念获得过程中运用的数学思想方法，只有当学生数学思想方法的高度上掌握了数学概念，才能真正地形成数学能力。第二，在解决数学问题中渗透数学思想方法。解决数学问题的过程就是利用数学认知结构，以数学思想方法为指导，激活相应的数学概念和数学命题的过程。在解决数学问题中教师可以采用一题多解，使学生从不同角度、不同侧面审视知识体系，从而逐步渗透数学思想方法。如已知为等差数列，为其前项和，,求的值。解一：首先激活命题：等差数列的前项和公式，发现缺少首项和公差，然后在认知结构中搜寻首项和公差的数学方法，进入模式识别阶段。模式：要求两个未知量，就要有两个独立的方程，而已知，则此题可解。该题起指导作用的数学思想方法是化归思想。解二：根据等差数列前项和公式特点：是的无常数项的二次函数。故，由条件解出。简化了运算过程。指导思想还是化归思想，数学方法是待定系数法。解三：由知：，将 看成直线上的点，利用数学命题：同一条直线上的三个点，任两个点的连线斜率相等，就能求出的值。指导思想仍然是化归思想，采用的数学方法是数形结合。本题在解题过程中用的数学认知结构网络图为：首项、公差、项数等差数列前项和公式一元二次函数一 元 一 次 函 数直 线 斜 率第三，化隐为显，揭示数学思想方法。知识教学虽然蕴含着数学思想方法，但如果没有有意识地把数学思想方法作为教学对象，学生学习知识时并不一定能注意到数学思想方法。因此，教师在教学过程中充分展现思维过程，把隐藏在知识背后的数学思想方法显现出来，使明朗化。这样教师在讲授某些数学结论时，可根据学生实际与知识体系，引导学生模拟数学家的思维过程，进行大胆猜想，对学生进行数学思想方法的潜移默化的熏陶。同时要注意引导学生反思探索过程，也就是将前人曲折的探索路线重新整合，使其成为笔直的坦路，这实际上就是拆除“脚手架”的工作。经过反思，学生头脑中的思路越来越清晰，认知结构的内在联系越来越紧密，数学知识中蕴含的数学思想方法就逐渐地凸现出来。例如，已知，求的值。有的学生将问题化归为方程，将和看成变量，求出此式的值；有的学生反思后认为可以进一步减少未知量的个数，将看成未知量，求出的值，也可解决问题。而有一名学生经过认真推敲，将问题归结为二项式定理，由，先求出的值，再利用二项式定理则的值迎刃而解。经过反思，学生不仅明白了什么是化归，而且对化归思想的对象、目标、手段有了深入的认识。（2）多次孕育。一般来说，人们对数学思想方法的掌握需要一个循序渐进的过程，学生在数学知识的学习过程中，对于蕴含在其中的数学思想方法一开始只能形成初步的感性的认识。经过多次反复后，在较为丰富的感性认识的基础上，才能逐步抽象、概括而形成理性认识。然后，在实践活动中反复检验和运用，才能加深这种理性认识。从一个较长的学习过程来看，学生对每一种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，期间有一个由低级到高级的螺旋上升过程。因此我们在教学中依据学生的年龄、身心、思维和认知特征，将数学思想方法作适当的分层分解，采用多次孕育的方法进行教学。以化归思想为例。所谓化归思想是通过教学内部的联系和矛盾运动，在转变中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的思路。这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已经能够解决的问题，而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化。因此，简言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。例如，学生学了一元二次方程，已经掌握了求根和韦达定理等。因此，一元二次方程是一个数学模式，而将双二次方程通过换元化归为一元二次方程的过程，就是将该问题模式化。化归思想包含三个基本要素：化归对象、化归目标和化归手段。上例中，双二次方程是化归对象，一元二次方程是化归目标，换元是化归手段，实施