兰州石化职业专业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析).docx

限时：20分钟满分：28分1(满分14分)已知f(x)2xx2，g(x)logax(a0且a1)(1)过P(0,2)作曲线yf(x)的切线，求切线方程；(2)设h(x)f(x)g(x)在定义域上为减函数，且其导函数yh(x)存在零点，求实数a的值解：(1)f(0)0，P(0,2)不在曲线yf(x)上，设切点为Q(x0，y0)，f(x)2x，kf(x0)2x0，且y0f(x0)2x0，切线方程：y2x0(2x0)(xx0)，即y(2x0)x，(0,2)在切线上，代入可得x02.切线方程为y2或y4x2.(2)h(x)2xx2logax在(0，)递减，h(x)2x0在x0时恒成立，x0，2xx2在x0时恒成立x0时，2xx2(，1，1，0ln a1，又h(x)2x存在零点，即方程ln ax22ln ax10有根，4ln2a4ln a0，ln a1或ln a0)，圆C2与y轴相切，其圆心是抛物线C1的焦点，点M是抛物线C1的准线与x轴的交点N是圆C2上的任意一点，且线段|MN|的长度的最大值为3，直线l过抛物线C1的焦点，与C1交于A，D两点，与C2交于B，C两点(1)求C1与C2的方程；(2)是否存在直线l，使kOAkOBkOCkOD3，且|AB|，|BC|，|CD|依次成等差数列，若存在，求出所有满足条件的直线l；若不存在，说明理由解：(1)当点N为圆C2与x轴不是坐标原点的另一交点时，|MN|的长度最大，为p，p3p2.抛物线C1的方程为y24x；圆C2的方程为(x1)2y21.(2)设直线l的方程为myx1，A(x1，y1)，D(x2，y2)，B(x3，y3)，C(x4，y4)由y24my40，y1y24m，y1y24，x1x21，kOAkOD4 m，由解得或.B，C，kOBkOC2m，kOAkOBkOCkOD3，6m3，m，此时直线l：yx1.由得y22y40，|AD|y1y2|6，|AB|CD|2|BC|AD|3|BC|6，|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，存在直线l，它的方程为xy0. (二)限时：20分钟满分：28分1(满分14分)已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点是(1,0)，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为A1.求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；求OA1B面积的取值范围解：(1)易得a2c，c1，则b，所以椭圆的标准方程为1.(2)证明：不妨设直线方程为l：xmy4，代入1，得(3m24)y224my360.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1y2，(*)y1y2，(*)由A关于x轴的对称点为A1，得A1(x1，y1)，根据题设条件设定点为Q(t,0)，得kQBkQA1，即，整理得t4，将(*)(*)代入得t1，则定点为Q(1,0)由中判别式0，解得m2或m0)(1)若f(1)g(1)，f(1)g(1)，求F(x)f(x)g(x)的极小值；(2)在(1)的条件下，是否存在实常数k和m，使得f(x)kxm和g(x)kxm？若存在，求出k和m的值若不存在，说明理由；(3)设G(x)f(x)2g(x)有两个零点x1，x2，且x1，x0，x2成等差数列，试探究G(x0)值的符号解：(1)由F(x)f(x)g(x)x2ln xx，利用导数的方法求得F(x)的极小值为F(1)0.(2)因为f(x)与g(x)有一个公共点(1,1)，而函数f(x)x2在点(1,1)的切线方程为y2x1，下面验证：都成立由于x2(2x1)(x1)20，知f(x)2x1恒成立；设h(x)g(x)(2x1)ln xx1，h(x)1，由h(x)0得x1.在(0,1)上，h(x)0，h(x)单调递增；在(1，)上，h(x)0，h(x)单调递减又因为h(x)在x1处连续，所以h(x)h(1)0，所以g(x)2x1.故存在k和m，使得f(x)kxm，g(x)kxm，且k2，m1.(3)g(x0)的符号为正，因为G(x)x22aln xbx有两个零点x1，x2，则有得xxa(ln x2ln x1)b(x2x1)0，即x2x1b.于是G(x0)2x0b(x1x2b).当0x11，G(x0).设