自动控制宋乐鹏第二章

自动控制原理 第二章连续控制系统的数学模型 第2章控制系统的数学模型 2 1控制系统数学模型的概念2 2控制系统的动态微分方程2 3控制系统的传递函数2 4动态结构图及其等效2 5信号流图2 6MATLAB简介及数学模型的表示 定义 控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型 用途 1 分析实际系统2 预测物理量3 设计控制系统 承上 复习 引入 2 1控制系统数学模型的概念 表达形式静态模型与动态模型外部与内部描述模型连续时间模型与离散时间模型参数模型与非参数模型 数学模型的特点相似性简化性和准确性 建立数学模型的方法机理分析建模方法 分析法 实验建模方法 系统辨识法 混合法 2 2控制系统的动态微分方程 例1如图所示的RLC电路 试建立以电容上电压uc t 为输出变量 输入电压ur t 为输入变量的运动方程 依据 电学中的基尔霍夫定律 由 2 代入 1 得 消去中间变量i t 两边求导 例2机械位移系统 物体在外力F t 作用下产生位移y t 写出运动方程 输入F t 输出y t 理论依据 牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积 m 根据上述的例子 可以得到列写系统微分方程的一般步骤 1 分析系统原理 确定系统的输入 输出变量 2 根据已知的定律 写出运动过程的微分方程 3 消去中间变量 写出输入 输出变量的微分方程 4 整理 与输入有关的放在等号右面 与输出有关的放在等号左面 并按照降阶次进行排列 成为标准化微分方程 例3电枢控制的它励直流电动机如图所示 电枢输入电压ua 电动机输出转角为 Ra La ia分别为电枢电路的电阻 电感和电流 if为恒定激磁电流 eb为反电势 f为电动机轴上的粘性摩擦系数 G为电枢质量 D为电枢直径 ML为负载力矩 电枢回路电压平衡方程为 力矩平衡方程为 许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统 其运动规律可能完全一样可以用一个运动方程来表示 称它们为结构相似系统 上例的机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析 具有相同的数学模型 非线性元件微分方程的线性化 承上 原因 电气中的激磁回路 机械中的摩擦 思路 以直代曲 线性化 设一个变量的非线性函数y f x 在x0处连续可微 例4图为一铁芯线圈 输入为激磁电压ui t 输出为线圈电流i t 线圈电阻为R 求i t 之间的ui t 微分方程 设线圈中的磁通为 根据回路电压定理 线圈的微分方程为 若系统的输出量为y 而有两个输入量x1和x2 则它们的关系可用二元函数表示成 线性化处理的条件 1 系统工作在一个正常的工作状态 有一个稳定的工作点 2 在运行过程中偏离量满足小偏差条件 3 在工作点处各阶导数或偏导数存在 单值 连续 光滑的非本质非线性函数 用微分方程来描述系统比较直观 但是一旦系统中某个参数发生变化或者结构发生变化 就需要重新排列微分方程 不便于系统的分析与设计 为此提出传递函数的概念 传递函数的定义和概念 RLC电路的微分方程为 2 3传递函数 设初始状态为零 对上式进行拉氏变换 得到 定义 零初始条件下 系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值称为该系统的传递函数 用G s 表示 设线性定常系统 元件 的微分方程为 分母中s的最高阶次n即为系统的阶次 特征方程为 说明 1 传递函数只适用于线性定常系统 2 传递函数只与系统的结构 参数有关 而与输入量或输入函数的形式无关 3 传递函数可以是无量纲的 也可以是有量纲的 视系统的输入 输出量而定 许多物理性质不同的系统 有着相同的传递函数 4 传递函数只表示单输入和单输出 SISO 之间的关系 对多输入多输出 MIMO 系统 可用传递函数阵表示 5 单位脉冲输入信号下系统的输出为传递函数的拉普拉斯反变换 传递函数的形式 多项式比值 型别 开环增益加时间常数 零极点 1 传递函数与微分方程一一对应 2 传递函数描述了系统的外部特性 不反映系统的内部物理结构的有关信息 3 传递函数只取决于系统本身的结构参数 而与输入和初始条件等外部因素无关 4 传递函数与系统的输入输出的位置有关 5 传递函数一旦确定 系统在一定的输入信号下的动态特性就确定了 传递函数的性质 典型环节的传递函数 1 比例环节 特点 输入输出量成比例 无失真和时间延迟 常见的比例环节举例电子放大器 齿轮 电位器 感应式变送器等 2 惯性环节 非周期环节 特点 含一个储能元件 对突变的输入 其输出不能立即发现 输出无振荡 常见的比例环节举例RC RL网络 直流伺服电动机等 3 积分环节 传递函数为 特点 输出量与输入量的积分成正比例 当输入消失 输出具有记忆功能 实例 电动机角速度与角度间的传递函数 模拟计算机中的积分器等 常见的积分环节举例电动机角速度与角度间的传递函数 模拟计算机中的积分器等 4 微分环节 传递函数为 式中 环节的时间常数 特点 输出量正比输入量变化的速度 能预示输入信号的变化趋势 理想微分环节实际上难以实现 常采用带有惯性的微分环节 其传递函数 其单位阶跃响应为 注意与理想微分单位阶跃响应比较 5 振荡环节 传递函数为 特点 环节中有两个独立的储能元件 并可进行能量交换 其输出出现振荡 例 RLC电路的输出与输入电压间的传递函数 6 延迟环节 传递函数为 式中 延迟时间 特点 输出量能准确复现输入量 但须延迟一固定的时间间隔 如管道压力 流量等物理量的控制 其数学模型就包含有延迟环节 关于基本典型环节的数学模型的说明 1 按数学模型的共性建立 与系统元件不是一一对应的 2 同一元件 取不同的输入输出量 有不同的传递函数 3 环节是相对的 一定条件下可以转化 4 基本环节适合线性定常系统数学模型描述 传递函数的求取 1 定义法传递函数定义为在初始条件为零时 输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比 用定义法求传递函数步骤如下 1 写出系统的微分方程式 2 假设全部初始条件为零 取微分方程的拉氏变换 3 写出表示系统输出量C s 与输入量R s 之比的有理分式 即为系统的传递函数G s 例5系统如图所示 设支撑点a的位移为 质量m的位移为 设k为弹簧的弹性系数 f为质量m运动时的摩擦系数 求系统的传递函数 由牛顿定律列写方程 得 令初始条件为零 则 则 2 复数阻抗法电气元件的复数阻抗是指当电气元件中流过电流i t 时 若其两端电压为u t 且初始条件为零 则电压电流的拉氏变换之比 1 对于电阻元件 3 对于电容元件 2 对于电感元件 对于电气元件组成网络 当由复数阻抗表示后复数阻抗的串联 并联定律 电路的分压 分流定律 回路电流法 节点电压法 运算放大器的虚地 虚断等计算方法仍然成立 例6已知某电路如图所示 求传递函数 例7已知某电路如图所示 求传递函数 由节点电流及运算放大器的虚地 虚断条件 采用复数阻抗法求取传递函数的步骤如下 1 以复数阻抗表示系统中的每一个元器件 这一步也可不表示出来 2 根据实际情况 引入一定的中间变量 当然引入的越少越好 3 假设全部初始条件为零 根据系统的工作原理 列些系统中各个量之间的复数关系 4 消去中间变量 得到表示系统输出量C s 与输入量R s 之比的有理分式 即为系统的传递函数G s 2 4动态结构图及等效变换 动态结构图的概念 1 信号线 带箭头的直线 箭头表示信号传递方向 2 引出点 信号引出或测量的位置 从同一信号线上引出的信号 数值和性质完全相同 3 综合点 对两个或两个以上的信号进行代数运算 表示相加 常省略 表示相减 4 方框 表示典型环节或其组合 框内为对应的传递函数 两侧为输入 输出信号线 动态结构图的建立 例 建立如图所示的双T网络的动态结构图 绘制有如下三个步骤 1 列写每个元件的原始方程 可以保留所有变量 这样在结构图中可以明显地看出各元件的内部结构和变量 便于分析作用原理 要考虑相互间负载效应 2 设初始条件为零 对这些方程进行拉氏变换 并将每个变换后的方程 分别以一个方框的形式将因果关系表示出来 而且这些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式 3 将这些方框单元按信号流向连接起来 就组成完整的结构图 例8试绘制图无源RC网络的结构图 1 建立各元件的微分方程 2 将各元件的微分方程进行拉氏变换 并改写成以下相乘形式 3 绘出系统的动态结构图按照变量的传递顺序 依次将各元件的结构图连接起来 作用 1 直观形象的分析变量之间的关系2 方便求解传递函数 例9图为电枢电压控制的直流他励电动机 绘制该系统的结构图 设电动机线圈两端的反电势为ea t 电动机转子轴上的电动转矩为MD 应用回路电压定理 电磁感应定理和牛顿定理 描述其运动方程为 结构图的等效变换 1 串联 n个环节串联后总的传递函数 2 并联 n个环节并联后总的传递函数 3 反馈 引出点的移动 G S c1 r c2 2 后移 在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框 综合点的移动 在移动支路中串入所越过的传递函数方框 1 后移 2 前移 相邻综合点之间可以随意调换位置 3 相邻综合点移动 4 相邻引出点移动 注意 相邻引出点和综合点之间不能互换 简化结构图一般可以反复采用合并串联和并联方块 消除反馈回路 然后移动引出点和综合点 出现新的串联和并联方块 反馈回路 再合并串联和并联方块 消除反馈回路 不断重复上述步骤 最后简化为只有一个方框 例11试简化系统结构图 并求系统传递函数 例12试简化系统结构图 并求系统传递函数 x1 x4 x3 x2 a b c 1 2 5信号流图及梅逊公式 信流图的定义 1 支路终点信号等于始点信号乘以支路传递函数 2 节点表示了系统中的信号 而且可以把所有输入支路的信号叠加 并把和信号等同地送到所有输出支路 其值均为所有输入信号乘各自的支路传输之和 一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法 由节点和支路组成 信流图的基本术语 1 源节点 只有输出支路 没有输入支路的节点称为源点 它对应于系统的输入信号 或称为输入节点 2 汇节点 只有输入支路 没有输出支路的节点称为阱点 它对应于系统的输出信号 或称为输出节点 3 混合节点 既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点 输入节点 源点 输出节点 汇点 输入节点 源点 4 通道 从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点 或同一节点 构成的路径称为通道 5 开通道 与任一节点相交不多于一次的通路称为开通道 6 闭通道 如果通道的终点就是通道的起点 并且与任何其他节点相交不多于一次的称为闭通道或称为回环 7 回环增益 回环中各支路传输的乘积称为回环增益 8 前向通道 是指从源头开始并终止于汇点且与其他节点相交不多于一次的通道 该通道的各传输乘积称为前向通道增益 9 不接触回环 如果一信号流图有多个回环 各回环之间没有任何公共节点 就称为不接触回环 反之称为接触回环 找出下图中的源节点 汇节点 输入支路 输出支路 前向通道 自回环 不接触回环 信号流图的性质 1 信号流图只适用于线性系统 2 信号流图所依据的方程式 一定为因果函数形式的代数方程 3 信号只能按箭头表示的方向沿支路传递 4 节点上可把所有输入支路的信号叠加 并把总和信号传送到所有输出支路 5 具有输入和输出支路的混合节点 通过增加一个具有单位传输的支路 可把其变为输出节点 即汇节点 6 对于给定的系统 其信号流图不是唯一的 信流图的绘制 1 由结构图绘制信流图 对应关系 1 结构图中的信号线 方框及传递函数与信号流图中的节点 支路及传递函数相对应 2 结构图中的引出点 在信号流图中合到节点上去了 信号直接从节点上引出 3 结构图中的 比较点 与信号流图中的 节点 相对应 因为结构图中有正反馈和负反馈 结构图的比较点计算时有加有减 而信号流图的节点则仅是相加 因此 结构图中比较点的 号要放到信号流图中支路传递增益中去 2 由线性代数方程组画信号流图 1 把方程组写成 因 果 形式 注意 每个变量作为 果 只能一次 其余的作为 因 2 把各变量作为节点 从左到右按次序画在图上 3 按方程式表达的关系 分步画出各节点与其他节点之间的关系 梅逊 Mason 增益公式 G为信号流图的一个输入节点与输出节点之间的总增益或传递函数 Pk为第k条前向通道的增益或传输函数 为信号流图的特征式 k为在 中 将与第k条前向通路相接触的回路所在项除去后所余下的部分 称为余子式 为所有单回路的 回路传递函数 之和 为两两不接触回路的 回路传递函数 乘积之和 为所有三个互不接触回路的 回路传递函数 乘积之和 回路传递函数 指反馈回路的前向通路和反馈通路的传递函数之积并且包含表示反馈极性的正负号 具体步骤 1 观察信号流图 找出所有的回路 并写出它们的回路增益L1 L2 L3 2 找出所有可能组合的2个 3个 互不接触 无公共节点 回路 并写出回路传递函数 3 写出信号流图特征式 4 观察并写出所有从输入节点到输出节点的前向通道的增益 5 分别写出与第k条前向通道不接触部分信号流图的特征式 6 代入梅森增益公式 例13求如图所示系统的传递函数 Pk与 k为P1 G1G2G3G4G5 1 1P2 G1G6G4G5 2 1P3 G1G2G7G5 3 1 L1 G3H2 L2 G5H1 L3 G2G3G4G5H3 L4 G6G4G5H3 L5 G2G7G5H3 L6 G5G6G7H2H3 例14设某系统的结构图如图 试求其传递函数 Y G1 G2 G3 G4 H1 H2 R 2 6MATLAB简介及数学模型的表示 MATLAB简介美国MATLAB软件开发公司于1967年构思并开发了MATLAB MATRIXLABORATORY 即矩阵实验室 该公司于1992年推出了具有划时代意义的MATLAB4 0版本 并于1993年推出了其微机版 而后先后推出了MATLAB4 X 5 X 6 X 7 X版 使之应用范围越来越广 MATLAB语言是一种交互式语言 给出一条命令 立即就可以得出该命令的结果 该语言无需像C和Fortran语言那样 首先要求使用者去编写源程序 然后对之进行编译 连接 最终形成可执行文件 这无疑会给使用者带来了极大的方便 MATLAB中多项式用行向量表示 行向量元素依次为降幂排列的多项式各项的系数 例如多项式其输入为 P 1024 注意尽管s2项系数为0 但输入P s 时不可缺省0 MATLAB下多项式乘法处理函数调用格式为C conv A B 例如给定两个多项式A s s 3和B s 10s2 20s 3 求C s A s B s 则应先构造多项式A s 和B s 然后再调用conv 函数来求C s A 1 3 B 10 20 3 C conv A B C 1050639即得出的C s 多项式为10s3 50s2 63s 9 有了多项式的输入 系统的传递函数在MATLAB下可由其分子和分母多项式唯一地确定出来 其格式为sys tf num den 由下列语句来输入 num conv 1 1 conv 1 2 6 1 2 6 den conv 1 0 0 conv 1 3 1 2 3 4 G tf num den 传递函数的特征根及零极点图 MATLAB提供了多项式求根函数roots 其调用格式为roots p 其中p为多项式 例如 多项式p s s3 3s2 4 p 1 3 0 4 p s s3 3s2 4 r roots p p s 0的根显示为r 3 35330 1777 1 0773i0 1777 1 0773i 传递函数在复平面上的零极点图 采用pzmap 函数来完成 零极点图上 零点用 表示 极点用 表示 其调用格式为 p z pzmap num den 其中 p为传递函数G s num den的极点 z为传递函数G s num den的零点 可用如下命令来实现 n1 1 1 n2 1 2 d1 1 2 i d2 1 2 i d3 1 3 num conv n1 n2 G s 的分子 den conv d1 conv d2 d3 G s 的分母 printsys num den G s 的表达式 pzmap num den 零极点图 title pole zeroMap 控制系统的方框图模型 1 串联如果G1 s 和G2 s 相串联 在MATLAB中可用串联函数series 来求G1 s G2 s 其调用格式为 num den series