第四章受弯构件

第四章受弯构件 4 1截面的几何性质 一 静矩和形心 形心坐标 静矩和形心坐标之间的关系 例 计算由抛物线 y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩 并确定图形的形心坐标 解 例 确定图示图形形心C的位置 解 例 求图示阴影部分的面积对y轴的静矩 解 二 惯性矩 极惯性矩和惯性积 1 惯性矩 工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积 即 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径 2 极惯性矩 例 求图示矩形对对称轴y z的惯性矩 解 例 求图示圆平面对y z轴的惯性矩 3 惯性积 如果所选的正交坐标轴中 有一个坐标轴是对称轴 则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零 几个主要定义 1 主惯性轴当平面图形对某一对正交坐标轴y0 z0的惯性积Iy0z0 0时 则坐标轴y0 z0称为主惯性轴 因此 具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴 2 主惯性矩平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩 3 形心主惯性轴过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴 可以证明 任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴 4 形心主惯性矩平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩 三 平行移轴公式 平行移轴公式 4 2 1平面弯曲的概念当作用在杆件上的载荷和支反力都垂直于杆件轴线时 杆件的轴线因变形由直线变成了曲线 这种变形称为弯曲变形 工程中以弯曲变形为主的杆件称为 梁 4 2受弯构件的内力 纵向对称面 梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面 CL7TU1 平面弯曲 当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时 梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线 4 2 2受弯构件的内力及计算 一 杆件的简化用梁的轴线来代替实际的梁折杆或曲杆用中心线代替二 载荷的分类1 集中载荷2 分布载荷3 集中力偶 三 支座的分类 根据支座对梁在载荷平面内的约束情况 一般可以简化为三种基本形式 1 固定铰支座 2 可动铰支座 3 固定端支座 CL7TU2 四 静定梁的基本形式 1 简支梁 2 外伸梁 3 悬臂梁 CL7TU3 五剪力和弯矩的符号规定 CL7TU4 剪力Q的符号规定 弯矩M的符号规定 CL7TU5 左上右下为正 上压下拉 上凹下凸 为正 CL7TU6 例 求图示梁1 1 2 2 3 3 4 4截面上的剪力和弯矩 4 3剪力图和弯矩图 4 3 1利用剪力方程和弯矩方程作梁的内力图 一 剪力方程和弯矩方程 二 剪力和弯矩作图规定 1 剪力作图规定 上正下负2 弯矩作图规定 画在受拉侧 上负下正 三 用截面法求指定截面内力 先计算左截面的内力 可取截面1以左隔离体进行分析 计算右截面的内力 也可取截面1以左隔离体进行分析 在这个隔离体上有集中力矩2Pa 三个未知力为 计算如图所示结构截面1的内力 根据静力平衡条件求截面未知力 现取截面2左边的隔离体进行分析 根据三个平衡条件就可得出截面2上的三个未知力 此时应取截面3以上的隔离体进行分析比较简单 计算截面2的内力 也可取截面2右边隔离体计算 计算截面3的内力 4 3 1 荷载 内力之间的关系 平衡条件的几种表达方式 q x 1 微分关系 2 增量关系 3 积分关系 由dQ q dx 由dM Q dx 水平杆件下侧受拉为正 竖向杆件右侧受拉为正 载荷集度 剪力和弯矩的微分关系 几种典型弯矩图和剪力图 1 集中荷载作用点M图有一夹角 荷载向下夹角亦向下 Q图有一突变 荷载向下突变亦向下 2 集中力矩作用点M图有一突变 力矩为顺时针向下突变 Q图没有变化 3 均布荷载作用段M图为抛物线 荷载向下曲线亦向下凸 Q图为斜直线 荷载向下直线由左向右下斜 4 3 2分段叠加法作弯矩图 q MA MB 分段叠加法的理论依据 假定 在外荷载作用下 结构构件材料均处于线弹性阶段 图中 OA段即为线弹性阶段AB段为非线性弹性阶段 4kN m 4kN m 4kN m 2kN m 4kN m 4kN m 6kN m 4kN m 2kN m 1 集中荷载作用下 2 集中力偶作用下 3 叠加得弯矩图 1 悬臂段分布荷载作用下 2 跨中集中力偶作用下 3 叠加得弯矩图 分段叠加法作弯矩图的方法 1 选定外力的不连续点 集中力作用点 集中力偶作用点 分布荷载的始点和终点 为控制截面 首先计算控制截面的弯矩值 2 分段求作弯矩图 当控制截面间无荷载时 弯矩图为连接控制截面弯矩值的直线 当控制截面间存在荷载时 弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值 例 利用叠加法求作图示梁结构的内力图 分析 该梁为简支梁 弯矩控制截面为 C D F G叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值 解 1 先计算支座反力 2 求控制截面弯矩值 取AC部分为隔离体 可计算得 取GB部分为隔离体 可计算得 kN kN 26 7 8 30 M图 kN m Q图 kN 掌握 表6 1内力图绘制的规律性总结 m作用处Fs无变化 静定结构内力 例 外伸梁如图所示 已知q 5kN m P 15kN 试画出该梁的内力图 Q图 M图 RB 15 2 5 2 5 4 20kN RD 15 2 5 2 1 4 5kN 静定结构内力 4 4梁的应力与强度计算 从三方面考虑 1 变形几何关系用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验 变形几何关系 物理关系 静力学关系 一 梁的正应力 CL8TU3 观察到以下变形现象 1 aa bb弯成弧线 aa缩短 bb伸长 2 mm nn变形后仍保持为直线 且仍与变为弧线的aa bb垂直 3 矩形截面的宽度变形后上宽下窄梁在纯弯曲时的平面假设 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面 并仍垂直于变形后的轴线 只是横截面绕某一轴旋转了一个角度 再作单向受力假设 假设各纵向纤维之间互不挤压 于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态 推论 梁在弯曲变形时 上面部分纵向纤维缩短 下面部分纵向纤维伸长 必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短 保持原来的长度 这一纵向纤维层称为中性层 中性层与横截面的交线称为中性轴 中性层 中性轴 中性层 CL8TU3 1 CL8TU3 2 2 物理关系 3 静力学关系 中性轴过截面形心 中性层的曲率公式 正应力计算公式 横截面上的最大正应力 CL8TU4 当中性轴是横截面的对称轴时 Wz称为抗弯截面模量 CL8TU5 CL8TU6 4 4正应力强度计算 上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的 实验证明在纯弯曲情况下这是正确的 对于横力弯曲 由于剪力的存在 横截面产生剪切变形 使横截面发生翘曲 不再保持为平面 一 梁的正应力强度计算 弹性力学精确分析结果指出 当梁的跨度大于梁的横截面高度5倍 即l 5h 时 剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小 可以忽略不计 因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式 仍可以应用于横力弯曲的梁中 二 梁的正应力强度条件 利用上式可以进行三方面的强度计算 已知外力 截面形状尺寸 许用应力 校核梁的强度 已知外力 截面形状 许用应力 设计梁的截面尺寸 已知截面形状尺寸 许用应力 求许可载荷 例 两矩形截面梁 尺寸和材料的许用应力均相等 但放置如图 a b 按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比P1 P2 CL8TU7 解 4 4 2弯曲剪应力和强度校核 一 矩形截面梁的剪应力 CL8TU16 二 工字形截面梁的剪应力 腹板 CL8TU17 翼缘 在腹板上 在翼缘上 有平行于Q的剪应力分量 分布情况较复杂 但数量很小 并无实际意义 可忽略不计 在翼缘上 还有垂直于Q方向的剪应力分量 它与腹板上的剪应力比较 一般来说也是次要的 腹板负担了截面上的绝大部分剪力 翼缘负担了截面上的大部分弯矩 对于标准工字钢梁 三 圆截面梁的剪应力 CL8TU18 下面求最大剪应力 弯曲剪应力强度条件 例 圆形截面梁受力如图所示 已知材料的许用应力 160MPa 100MPa 试求最小直径dmin CL8TU19 解 由正应力强度条件 由剪应力强度条件 4 5提高梁强度的主要措施 控制梁弯曲强