第五章弹性动力学问题的建立

吉林大学韩复兴 第五章弹性动力学问题的建立 5 1弹性动力学的基本方程 5 2弹性动力学问题的提法 5 3以位移表示的运动微分方程 拉梅 Lame 方程 5 4圆柱坐标和球坐标系下以位移表示的运动微分方程 弹性动力学问题的建立 在前几章中我们介绍了弹性动力学的基本假设 分别研究了应力 应变及应力与应变的关系 得出了应力与位移 应变与位移及应力与应变之间分别满足的平衡或运动微分方程 几何方程以及物理方程 本构方程 广义虎克定律 本章研究如何求解具体弹性动力学问题 包括 1 说明弹性动力学的基本方程 进而明确弹性动力学问题的提法 2 阐明解决弹性动力学问题的途径 并建立相应的方程 前面讨论中 主要讨论弹性静力学问题 即假定弹性体的任一微小部分始终处于静力平衡状态 位移 应变和应力只是位置函数 不随时间变化 运动微分方程考虑了时间 在弹性动力学问题中 弹性体内各点的位移 应变和应力一般还随时间变化 因而 它们不仅是位置的函数 也是时间的函数 弹性动力学的基本方程 但只要弹性动力学仍采用理想弹性体 微小位移和和自然状态假定 则针对弹性静力学建立的几何方程和物理方程都可运用于弹性动力学的任何一瞬间 形式上无须作任何改变 只需将平衡方程用运动方程来代替 弹性动力学问题中 15个基本方程为 1 运动微分方程 应力与位移关系 3个 弹性动力学的基本方程 5 1 弹性动力学的基本方程 2 几何方程 应变与位移关系 6个 5 2 弹性动力学的基本方程 3 物理方程 应力与应变关系 6个 5 3 a a 用应变表示应力 弹性动力学的基本方程 3 物理方程 应力与应变关系 6个 5 3 b b 用应力表示应变 弹性动力学的基本方程 上述15个基本方程可求解15个未知数 即位移分量 六个应变分量和六个应力分量 这15个方程称为以直角坐标表示的弹性动力学基本方程 弹性动力学问题的提法 求解弹性动力学问题 只有上述基本方程是不够的 因为基本方程只是反映物体的内部位移 应变和应力之间的相互关系 而对特定具体问题还必须考虑相应的初始和边界条件 1 初始条件 给出弹性体内各个点在时间时位移分量和速度分量 即 5 8 弹性动力学问题的提法 2 边界条件 弹性力学问题的边界条件有三种情况 1 给出弹性体全部表面的面力分量 此时边界条件由应力边界条件表示 应力分量由力的边界条件公式给出 弹性动力学问题的提法 弹性动力学问题的提法 2 给出弹性体全部表面的位移分量 此时边界条件由位移边界条件表示 边界上位移与给定的位移相等 即由位移公式式给出 3 混合边界条件 在弹性体一部分表面上给出了面力分量 而另一部分给出了位移分量 弹性动力学问题的提法 总之 弹性动力学的基本方程一般是控制弹性体内部的位移 应变和应力之间相互联系的普遍规律 而定解条件 初始和边界条件 具体给出了每一个边值 初值问题的特定规律 此外 在弹性波传播问题中 介质分界面处应力和位移连续 3 弹性动力学问题严格且完整的提法 已知 a 弹性体的形状和尺寸 弹性体的物理性质 弹性和惯性 b 作用于弹性体上的体力 c 边界条件 d 初始条件 弹性动力学问题的提法 应用15个基本方程求出初始瞬时 通常 时刻以后任一瞬时刻弹性体中各点的位移 应变和应力 4 弹性动力学问题的简化及解题方法 在解决弹性动力学问题过程中 15个基本方程可以综合简化 因为这些方程中 并非每个方程中都包括所有的未知函数 可以将其中一部分未知函数选作 基本未知函数 先求出它们 然后再由它们求出其它未知数 弹性动力学问题的提法 以应力为 基本未知数 的解题方法称应力法 以位移为 基本未知数 的解题方法称位移法 相应地简化15个基本方程 分别导出应力满足的微分方程或位移满足的微分方程 以及它们相应的边界条件 在一定的边界条件和初始条件下 按选取的解题方法 求出其相应的微分方程的解 也就是满足全部基本方程 弹性动力学问题的提法 1 应力法取物体内点的应力分量为基本未知量 先解出三个应力分量 再求相应的应变及位移 多用于弹性静力学问题 弹性动力学问题的提法 弹性动力学问题的提法 2 位移法取物体内点的位移为基本未知量 将各个方程中的应力和应变都用位移表示 先解出三个位移分量表达式 有了位移 就可以进一步求出应变和应力 在地震波动力学中 往往只需要求出位移就够了 基本做法 弹性动力学问题的提法 利用几何方程 应变 位移 将物理方程中应变消去 即将应变用位移表示 物理方程变为应力与位移关系 这样从这12个方程中去掉6个方程 得到应力 位移关系方程 将其代入运动微分方程中得到以位移表示的运动微分方程 拉梅Lame方程 弹性动力学问题的提法 解位移形式的拉梅方程 求出位移分量 当然求解过程中要用到初始条件和由位移表示的边界条件 求出位移后 按几何方程求出应变 代入物理方程中 再求出应力表达式 以位移表示的运动微分方程 拉梅 Lame 方程 1 Lame方程推导 首先将几何方程式代入物理方程a 得 5 9 以位移表示的运动微分方程 拉梅 Lame 方程 5 10 再将式 5 9 代入运动微分方程 5 1 中 整理得 上式中 为拉普拉斯算子 以位移表示的运动微分方程 拉梅 Lame 方程 上式就是以位移表示的运动微分方程 称为拉梅 Lame 方程 分别乘以 并由 上式写成矢量形式 得 5 11 式中 以位移表示的运动微分方程 拉梅 Lame 方程 2 以位移分量表示的力的边界条件 若弹性体表面处的位移给定 则可通过位移边界条件给出力的边界条件 若弹性体表面处面力给定 则取 5 12 以位移表示的运动微分方程 拉梅 Lame 方程 等号右端用位移表示 才能用拉梅方程定解 将 5 9 代入 5 12 式即可得到 5 13 其中 以位移表示的运动微分方程 拉梅 Lame 方程 3 弹性动力学解的唯一性 弹性动力学解的唯一性可表述为 若弹性体受已知体力作用 在物体表面处 或者面力已知 或者位移已知 此外 初始条件已知 则弹性体在运动时 体内各点的应力分量 应变分量与位移分量均是唯一的 以位移表示的运动微分方程 拉梅 Lame 方程 弹性动力学的唯一定理 为弹性动力学问题常用的逆解法和半逆解法提供一个理论依据 逆解法和半逆解法也称试凑法 如果试凑得不到真正的解 也会逐次逼近 得到比前次更为精确的近似解 此外还有变分法 数值方法求近似解 数值方法中有限差分和有限元法已在地震勘探中广泛应用 圆柱坐标和球坐标系下以位移表示的运动微分方程 1 圆柱坐标系下运动微分方程 拉梅 Lame 方程 也是在15个基本方程中消去应力和应变分量 得到圆柱坐标中以位移表示的运动微分方程 5 14 圆柱坐标和球坐标系下以位移表示的运动微分方程 5 14 式中分别为沿方向的位移分量 而体积应变和转动分量为 圆柱坐标和球坐标系下以位移表示的运动微分方程 2 球对称问题 1 运动微分方程 2 几何方程 a b 圆柱坐标和球坐标系下以位移表