抛物线经典题型.doc

抛物线习题A组题一、选择题：1、抛物线的焦点坐标是 ( ) A BCD 2、抛物线的准线方程为 ( )A B C D3如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（ ）A（1, 0）B（2, 0）C（3, 0）D（1, 0）4、抛物线的焦点到准线的距离是 （ ）A B C DB ，而焦点到准线的距离是5、若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（ ）A B C D对C 点到其焦点的距离等于点到其准线的距离，得6、以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是 （ ）A或 B C或 D或D 圆心为，设；设7、设为过抛物线的焦点的弦，则的最小值为（ ）A B C D无法确定C 垂直于对称轴的通径时最短，即当8、若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（ ）A B C DB 点到准线的距离即点到焦点的距离，得，过点所作的高也是中线 ，代入到得，9、直线y=kx-2与抛物线交于A、B两点，且AB的中点横坐标为2，则k的值是 A.-1 B.2 C.-1或2 D.以上都不是10、双曲线的离心率（，），则k的取值范围是（ ）.(，) .（12，） .（，） .（60，12）11、 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ） A BC D12、抛物线截直线所得弦长等于 （ ）A BCD1513、顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(2,3)，则它的方程是 （ ） A或 B或 C D14、抛物线在点M（，）处的切线的倾斜角是（ ）A30 B45 C60 D9015、若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）。A B C D 416、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,cR，且a0)的判别式是1，两根之积为8，.则（b，c）的轨迹是 （ ）(A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)两个点17、过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|= （ ）(A)10; (B)8; (C)6; (D)4.18过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则PQ中点M到抛物线准线的距离为 （ ）（A）5 （B）4 （C）3 （D）219、设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）（A），（B）2，2（C）1，1（D）4，420、已知点、，动点，则点P的轨迹（ ） （A）圆 （B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线21、抛物线以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线上，则抛物线的方程为 （ ）（A） （B） （C）或（D）或22、过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有（ ）A0条B1条C2条D3条23、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ ）AmB 2mC4.5mD9m24、若抛物线y22px(p0)的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p的值为() A2B4C8 D .425、已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、成等差数列， 则有 （）A B C D. 二、填空题26、抛物线的准线方程为. 27、已知圆，与抛物线的准线相切，则 _2_28、 若直线经过抛物线的焦点，则实数 -1 29、若直线与抛物线交于、两点，若线段的中点的横坐标是，则_。 得，当时，有两个相等的实数根，不合题意当时，30、抛物线的焦点恰好为双曲线的一个焦点，则_或 _31、抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 三、解答题：32、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.解析 (1)设所求的抛物线的方程为或, 过点(-3,2) 抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为 (2)令得，令得， 抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时, ，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时 ，此时抛物线方程. 所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.33、在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。解：设点，距离为， 当时，取得最小值，此时为所求的点。34、已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程。解：设抛物线的方程为，则消去得，则 35、已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A（4，m）到焦点的距离为6. （1）求此抛物线的方程； （2）若此抛物线方程与直线相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值.36、动直线y =a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程(12分)37、 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程解析 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或B组题一、 选择题1、过抛物线y =ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）A2aB C4a D 2、动点P到点A(0，2)的距离比到直线l:y=-4的距离小2，则动点P的轨迹方程为 A. B. C. D.3、抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ）A y 2=-2xB y 2=-4xC y 2=2xD y 2=-4x或y 2=-36x4、抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于 （ ） A B C DA ，且 在直线上，即 5、若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为 （ ）A B C DD 可以看做是点到准线的距离，当点运动到和点一样高时，取得最小值，即，代入得6、已知直线l与抛物线交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是 A. B. C. D.257、动圆M经过点A(3，0)且与直线l:x=-3相切，则动圆圆心M的轨迹方程是( ) A. B. C. D.8、平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A y 2=2xB y 2=4xCy 2=8x Dy 2=16x9、抛物线y=x上到直线x-y=4距离最近的点的坐标是（ ）.() .(1，1) .( ) .(2，4)10、定点P(0,2)到曲线y=|1|上点的最短距离为(A) (B)1 (C)2 (D)11、过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线的准线上的射影分别是A1，B1，则A1FB1等于(A)450; (B)600; (C)900; (D)1200.12、圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）Ax2+ y 2-x-2 y -=0Bx2+ y 2+x-2 y +1=0 Cx2+ y 2-x-2 y +1=0Dx2+ y 2-x-2 y +=013、把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是（ ）ABCD 14、(2010年梧州模拟)抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是()A. B.C. D315、(2010年全国卷)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则 k()A. B.C. D.解析：设抛物线C：y28x的准线为l：x2直线yk(k2)(k0)恒过定点P(2,0)，如图所示过A、B分别作AMl于M，BNl于N，由|FA|2|FB|，则|AM|2|BN|，点B为AP的中点，连结OB.|OB|AF|，|OB|BF|点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2)，k，选D.16、(2010年辽宁卷)已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B3C. D.17、过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线,若此直线与抛物线交于A,B两点,弦AB的中垂线与轴交于P点,则线段PF的长等于 A, B, C, D,解析 此抛物线的焦点与原点重合,得直线AB的方程为,因此A,B两点的横坐标满足方程:.由此求得弦AB中点的横坐标,纵坐标,进而求得其中垂线方程为,令,得P点的横坐标,即PF=.二、填空题18、已知，抛物线上的点到直线的最短距离为_。 直线为，设抛物线上的点 19、对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是_。 设，由得 恒成立，则20、抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为 2 21、抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 22、P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是 （1，0） 23、(2010年宁夏海南卷)设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为_ yx_24、(2010年福建卷)过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p_2_.25、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上焦点在x轴上抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6抛物线的通径的长为5由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)能使这个抛物线方程为y210x的条件是_(要求填写合适条件的序号)26、设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为_.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置解析设直线OA方程为,由解出A点坐标为解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用换k而得。三、解答题27、设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),证明直线AB必过的定点。【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置解析设直线OA方程为,由解出A点坐标为解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用换k而得。28、已知抛物线过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，（）求的取值范围；（）若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值(14分) 解析：（）直线的方程为，将，得 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，则 又， ， 解得 （）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，则由中点坐标公式，得， 又 为等腰直角三角形， ， 即面积最大值为29、如图，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线段C的方程(14分)解：设曲线段C的方程为， 其中分别为A、B的横坐标， 所以， 由，得 联立解得将其代入式并由p0解得，或因为AMN为锐角三角形，所以，故舍去 p=4，由点B在曲线段C上，得综上得曲线段C的方程为30、(2010年揭阳联考)已知M(0，2)，点A在x轴上，点B在y轴的正半轴，点P在直线AB上，且满足，0.(1)当点A在x轴上移动时，求动点P的轨迹C的方程；(2)过(2,0)的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线l1、l2，当l1l2，求直线l的方程解析：(1)设P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)(yB0)则(xxA，y)，(x，yBy)，由得xA2x，yB2y，又(xA,2)，(xxA，y)，即(2x,2)，(x，y)，由0得x2y(y0)(2)显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：yk(x2)，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，因为y2x，故两切线的斜率分别为2x1,2x2.由方程组得x2kx2k0，所以x1x2k，x1x22k，当l1l2时，2x12x21，所以k.31、(2010年山东卷)如右图所示，设抛物线方程为x22py(p0)，M为直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B.(1)求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；(2)已知当M点的坐标为(2，2p)时，4，求此时抛物线的方程；解析：(1