12.1(2)曲线和方程

12 1 2求曲线的方程 第十二章圆锥曲线 2 练习 1 设A 2 0 B 0 2 能否说线段AB的方程为x y 2 0 2 方程x2 y2 0表示的图形是 1 复习曲线的方程和方程的曲线的概念 3 证明已知曲线的方程的方法和步骤 复习回顾 上一节 我们已经建立了曲线的方程 方程的曲线的概念 利用这两个重要概念 就可以借助于坐标系 用坐标表示点 把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹 用曲线上点的坐标 x y 所满足的方程f x y 0表示曲线 通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质 这一节 我们就来学习这一方法 数形结合 数学思想的基础 1 解析几何与坐标法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法 在数学中 用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科 因此 解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科 2 平面解析几何研究的主要问题 1 根据已知条件 求出表示平面曲线的方程 2 通过方程 研究平面曲线的性质 说明 本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤 由两点间的距离公式 点M所适合条件可表示为 将上式两边平方 整理得 x 2y 7 0 我们证明方程 是线段AB的垂直平分线的方程 1 由求方程的过程可知 垂直平分线上每一点的坐标都是方程 解 2 设点M1的坐标 x1 y1 是方程 的解 即 x 2y1 7 0 x1 7 2y1 解 设M x y 是线段AB的垂直平分线上任意一点 也就是点M属于集合 例1 设A B两点的坐标是 1 1 3 7 求线段AB的垂直平分线的方程 即点M1在线段AB的垂直平分线上 由 1 2 可知方程 是线段AB的垂直平分线的方程 点M1到A B的距离分别是 求曲线方程的一般步骤 1 建系 建立适当的直角坐标系 如果已给出 本步骤省略 2 设点 设曲线上任意一点的坐标 x y 3 列式 根据曲线上点所适合的条件 写出等式 4 化简 用坐标x y表示这个等式 并化方程为最简形式 5 证明 验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲上的点 一般只需确定点的范围即可 说明 一般情况下 化简前后方程的解集是相同的 步骤 5 可以省略不写 如有特殊情况 可适当予以说明 例2 已知一条直线l和它上方的一个点F 点F到l的距离是2 一条曲线也在l的上方 它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2 建立适当的坐标系 求这条曲线的方程 取直线l为x轴 过点F且垂直于直线l的直线为y轴 建立坐标系xOy 解 3 列式 4 化简 5 证明 1 建系2 设点 因为曲线在x轴的上方 所以y 0 所以曲线的方程是 设点M x y 是曲线上任意一点 MB x轴 垂足是B 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法 明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础 同时 根据曲线上的点所要适合的条件列出等式 是求曲线方程的重要环节 在这里常用到一些基本公式 如两点间距离公式 点到直线的距离公式 直线的斜率公式 中点公式等 因此先要了解上述知识 必要时作适当复习 仔细研究课本第33页的例3和第34页的例4 例5 体会求曲线方程的方法 熟练掌握解题步骤 解 练习 B 1 B 3 4 到F 2 0 和y轴的距离相等的动点的轨迹方程是 解 设动点为 x y 则由题设得 化简得 y2 4 x 1 这就是所求的轨迹方程 y2 4 x 1 5 在三角形ABC中 若 BC 4 BC边上的中线AD的长为3 求点A的轨迹方程 设A