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浅谈行列式计算的几种技巧专业：数学与应用数学06-1班 姓名：麦水清指导老师：李春香摘要 ：任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。其实，计算行列式并无固定的方法，同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算因此，除了掌握好行列式的基本性质外，针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地解出其值。本文用（1）化三角形法，（2）降阶法，(3)升阶（加边）法，(4)分项（拆开）找递推公式，(5) 利用公式det(AB)=det(A)det(B)计算行列式的值，(6) 利用公式det（I=det(IBA) 计算行列式的值，(7) 利用方阵特征值与行列式的关系七种方法来计算行列式,计算其值。关键词：行列式、 元素、降升阶、递推公式引言：关于行列式计算的问题，本文用（1）化三角形法，（2）降阶法，(3)升阶（加边）法，(4)分项（拆开）找递推公式，(5) 利用公式det(AB)=det(A)det(B)计算行列式的值，(6) 利用公式det（I=det(IBA) 计算行列式的值，(7) 利用方阵特征值与行列式的关系七种方法来计算行列式。降阶法、升阶法、分项递推法、公式法等其它方法来变换行列式，再通过我们熟悉的上三角形或下三角形计算其值。下面介绍行列式计算的一些技巧（1）化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。例1：计算行列式通过观察，从第1列开始，每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。解:（2）降阶法 A、利用行（列）初等变换。1）交换两行（列）；2）某行（列）乘以k倍；3）某行（列）的k倍加到另一行（列）上去。B、看行和（列和），如行和相等，则均可加到某列上去，然后提出一数。C、逐行相减（加）D、找递推公式，注意对称性。E、Laplace展开。例2：利用降阶法计算n阶行列式解：按第一列展开，得 +（-1）这里的第一个n-1阶行列式与有相同的形式，把它记作；第二个n-1阶行列式等于（-1），所以=x+a这个式子对于任何n(2)都成立，因此有=x+a=x(x+a)+a=x+ax+a=x+ax+ax+a但=x+a,所以=x+ax+a把行列式的计算归结为形式相同而阶数较低的行列式的计算，是一个常用的方法。我们再用这个方法来计算一个常要用到的行列式。 例3：计算一个n阶范德蒙德（Vandermonde）行列式 Dn=解：由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘以a，得 D=若在一个n阶行列式中，第i行（或第j列）的元素除a外都是零，那么这个行列式等于a与它的代数余子式A的乘积，所以D=提出每一列的公因子后，得D=（a-a）（a-a）（a-a）最后的因子是一个n-1阶的范德蒙德行列式，我们用D代表它： D=（a-a）（a-a）（a-a）D同样得：D=（a-a）（a-a）（a-a）D此处D是一个n-2阶的范德蒙德行列式，如此继续下去，最后得D=（a-a）（a-a）（a-a）（a-a）（a-a）（a-a）（a-a）(3)升阶（加边）法 =（这里调一下）这里升阶是为了降阶，在*处加上所需要的数，即刻可以简化detA的计算，用此方法时注意行列式阶数的变化。 例4：解：原行列式可化为 =将第一行上的元素乘以（-1）加到一下各行，得 再将第2列起各列上的元素均加到第1列上去，得 =1+a+a+a (4)分项（拆开）找递推公式=+其中（j=1,2,，n）为n维列向量。例5：计算行列式把第1列元素看成两项的和，然后把行列式拆开得 D=+ 对于第一个行列式，第一行加到第二行得 =1对于第2个行列式按第1列展开，得到一个与D同型的行列式，从而应用递推法得D=1-aD=1-a(1-aD)=1-a+aaD=1-a+aa(1-aD)=1-a+aa- aaa+（-1）aaaD=1-a+aa- aaa+（-1）aaa(1-a)=1-a+aa- aaa+（-1）aaa 例6：计算行列式的值。解：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆开得+=+（这里调一下）=+=2+3=5(5)利用公式det(AB)=det(A)det(B)计算行列式的值：det(AB)=det(A)det(B)计算行列式的值，其中A,B均为n阶方阵，此方法关键的一步是能把一个已知矩阵拆成两个（行列式值易算出的）矩阵之积。例7：已知矩阵D=，求。解：令A=，B=，则D=ABdetD=det(AB)=ddddetB=detAdetB例8：计算4阶行列式D=(这个例题是利用公式det(AB)=det(A)det(B)计算行列式的值的应用吗？没有看出来)解：将行列式中每一项展开，并利用行列式乘法公式和范德蒙德行列式的结果，得D=9=9(6)利用公式det（I=det(IBA)引理：设A为型矩阵，B为型矩阵，I，I分别表示n阶，m阶单位矩阵，则有det（I=det(IBA)；且时，有det(IAB)= det(IBA)例9：计算如下行列式的值解：令矩阵A=则可得：A=bI+= bI+=bI+BC其中B=，C=那么根据上面所提到的引理可得：D=det( bI+BC)=bdet(b+ C B)又可得： (7)利用方阵特征值与行列式的关系。也以为例。解： =bI+=bI+bI的n个特征值为b,b,，b。的n个特征值为0，0，0。故的特征值为b+ 由矩阵特征值与对应行列式的关系知：D=b(+b)注M的特征值也可由特征值的定义得到。例11：求行列式D=的值。=3I+=3I+A3I的4个特征值为3，3，3，3.A的4个特征值为10，0，0，0.故的特征值为13，3，3，3，由矩阵特征值与对应行列式的关系知：D=3(10+3)=351综上所述，针对行列式结构特点而采用与之相适应的计算技巧，从而总结出了多种类型题目所适用的计算方法，因此，对于计算行列式的方法，我们首先要熟练掌握并懂得如何选择、运用，不管是哪一种行列式的计算，选取恰当的方法，才能较快地解出其值。参考文献； 1、许甫华 张贤科 高等代数解题方法 清华大学出版社 2001 2、张禾瑞 郝鈵新 高等