第二章_离散信号频谱的窗谱校正方法.doc

第二章_离散信号频谱的窗谱校正方法.txt41滴水能穿石，只因为它永远打击同一点。42火柴如果躲避燃烧的痛苦，它的一生都将黯淡无光。华中理工大学博士学位论文 第二章离散信号频谱的窗谱校正方法 -基本理论 2.1 引言利用DFT可以对离散信号进行频谱分析，但是计算工作量相当大，因此，在快速算法没用发明之前，DFT并没用多大的实际意义。直到1965年，Cooley-Tukey在计算数学杂志上首先提出FFT算法之后， DFT才得到广泛的应用。这一快速算法的出现对数字信号分析领域的发展起到了极大的推动作用。从此以后，它作为频谱分析的基础得到了广泛的应用75,76,77,78。由于计算机只能对信号的有限多个样本进行计算，信号的 FFT谱分析也只能在时域信号的有限区间内进行，这就不可避免地存在由于时域截断(加矩形窗)而产生泄漏61，使谱峰值减小，精度降低，求得的信号相位更是面目全非。在数字信号处理中，由 DFT或 FFT得到的幅值谱是离散谱，是信号与窗函数频谱卷积后，按频率分辨率 fs = fs / N ( fs为信号采样频率，N为分析信号样本长度)等间隔频域抽样的结果（如图 21所示）78。 A幅值f图2-1 频谱抽样的离散谱线如果周期信号的频率正好表2-1 离散频谱幅值、相位和频率误差表落在某一谱线上，经FFT后得矩形窗 Hanning窗 Hamming窗幅值误差（） 0-36.4 0-15.3 0-18.3 相位误差（0） 90 90 90频率误差（Hz） 05fs. 05fs. 05fs. 到的频率、幅值和相位是准确的。在一般情况下，信号频率落于两条相邻谱线之间，由于谱线不在主瓣中心，由峰值谱线反映的频率和幅值都不准10华中理工大学博士学位论文 确，相位误差更大。从理论上分析，加矩形窗时，最大误差可达 36 4.%，即使加其他窗时，也不能完全消除这一影响，在加Hanning窗时，只进行幅值恢复时的最大幅值误差仍高达15 3.%，相位误差将更大，表2-1是离散频谱只进行幅值恢复，不进行其他处理时幅值、相位和频率误差141。 2.2 单频谐波的频谱分析误差产生原因无限长信号 x()t（如振动信号、噪声信号等）的频谱分析所采用的方法为对信号进行截取，然后再对截取得到的有限长度信号进行频谱分析。窗函数 wt()的作用就相当于对无限长的信号开一窗口，从窗口中取出一段数据，从而完成信号的截取。窗函数都是选择实偶函数，并在时域上将窗函数的中心放于被分析的那段信号的中心。加窗信号的傅氏变换为： Fx. () ()() 2 dt.(2.1) () twtxtwteTTjft=.() .其中，wtT()由对称窗wt()在时间上平移T/2得到，即 T() t.T/) wt=w( 2 .(2.2) 设wt()的傅氏变换（如图2-2a） Fwt =W( f( ) ) .(2.3) 根据傅氏变换的奇偶性质，当wt()是实偶函数时，Wf()此时也为实偶函数。又由傅氏变换的时移特性可知（如图2-2b）， Fw t =Wfe () jfT T( ) .(2.4) 设有一周期信号 x()t=ACos(2.f0 .t+.),则其傅氏变换结果为（如图2-2c）： A .j. Aj.() 0 .f0 ) .(2.5) Xf =.e .(f +f) +.e .(f 22 根据卷积定理，加窗后的谐波信号 x()twt.T()的傅氏变换可表示为(图2-2d)： Xf () =Fxt w t T( ) =Fxt () Fw t ( ) T () . T （这里“*”表示卷积） AA.jj . . . j fT = .e .( + ) +.e .( .Wfe ff ff ) () 0022 A. + )+. AjTf f 0).jTf f . . (0 (=.Wf fe + ) +. ( . )( Wf fe . .(2.6) 0022 由此可知，在加窗信号的傅氏分析中，当 ff0时，将存在泄漏情况。此时的幅值及相位分别为： AY=.Wf f ( . 0 ) .(2.7) 2 =. . Tf( .f +.(2.8) 0) 11华中理工大学博士学位论文 对窗长度T = N /fs 作归一化处理，则T = 1，且令f = f . f0代入上面两式可得： A (. ) =.f +. .(2.10) Y = 2 .Wf .(2.9) W ( f )w () Ttt f-T/2 T/2 1.1/0.2/2/1/时域波形窗谱模函数 (a)对称矩形窗函数的时域波形和频谱模函数 wtT ()1 t 0T T .2/.1/0 2/1/W()fTf时域波形窗谱模函数 (b)实际窗函数的时域波形和频谱模函数 T0 Ax(t) t X ( f )A/2A/2 f -f 0 f00 时域波形傅里叶变换模函数 (c)单频率谐波的时域波形和频谱模函数 A xtT( ) 0 T t Y n yKyK.1 k k+2k+1k-1k-2 f00 时域波形离散频谱模函数 (d)单频率谐波离散频谱模函数图2-2 单频率谐波离散频谱的误差产生原因12华中理工大学博士学位论文 显然，当 f=f0时，Y= A ，=.不存在泄漏情况，得到的幅值、相位和频率都是2准确无误差的。在大多数情况下，当 ff0时。由加窗信号的傅氏分析得到的频率 f、幅值Y和相位并不是真实值，且有旁瓣产生，这就是所谓的离散频谱的栅栏效应、梳状效应、能量泄漏和假频等（如图 2-2d所示）。当信号真实频率位于两个相邻离散谱线中间时，即 fK.1 =f0 .fs/2 ， fK =f0 +fs/2 （这里 fs为频率分辩率）时，求得的信号幅值、相位和频率的误差最大。 2.3 离散频谱信号的窗谱校正方法假设加窗信号的频谱主瓣中心为 f（即为信号的真实频率），信号幅值为 A0；加窗信号FFT结果的频谱中，最高的频谱频率(0) 为 f，高度为Y；次高谱线频率为 f2，高度为 Y2。显然， f和 f相差仅为一个频率分辨率(1) ，对此归(1) 一化后，即有 f1 =f2 1。当 f1 f2时取“+(1) ”号(2) ；当 f1 1时，简化式(2.29)可得下面的近似式子：16华中理工大学博士学位论文 yx = 2 .(2.30) y1 +y2 如果信号中有一频率分量，则可看为将窗谱平移至如图 2-7所示的位置，此时的x和 x.1点变为K，K-1点，则信号的实际频率为： yx =K .x =K . 2 .(2.31) 0 y1 +y2 0 k-1yyxy1 2 xx-1)( K( ) f0图2-7 信号将窗谱平移图形将式(2.30)代入式(2.27)可得这一频率分量的幅值为： y .xA0 = 1 .(2.32) NSin (.x. ) 相应相位的校正结果为： N .12 N .12 N .1.=. .x =. .(K .x) =. +. .x .(2.33) 00 K2 N 2 NN 因此对于矩形窗可用式(2.30)(2.31)(2.32)(2.33)分别对频率、相应的幅值及相应的相位进行校正。 2、Hanning窗 Hanning窗的定义78为： 12()1 201 . .(2.34) Wn = +Cos( .nn), =. N /,. , , N /22 N 其频谱函数为： 1 12 12W() = D() + D(. ) + D (+ ) .(2.35) 24 N 4 N NSin 式中 D()= 2 ej 2，为了简化推算，在 N1时，我们忽略三项之间的相位差 Sin 2 2N，则W()的模可近似为三项模函数之和。使用类似于上面矩形窗的讨论方法可得：17 华中理工大学博士学位论文 Sin.x 1 Sin(x .) 1 Sin(x +) Sin.x1 1 11Wx =. +.=. 2() +.x 4 (x .1) 4 (x +1) .x ( .x2 21 ) .(2.36) 其函数图形如图2-8所示： yxyy12xx-1图2-8 汉宁窗频谱模图形与其校正方法由图2-8可知通常在频谱的主瓣内有四条谱线，且主瓣中心处于两个连续的最高谱线之间。设 x和 x .1处谱线所对应的幅值高度为 y1和 y2，则有如下方程组： . Sin.x 1 y1 =. 2. 21.x ( .x ).(2.37)Sin(x )1.1.y2 =. 2. .(x 1) 21 .(x .1) . 由此方程组可求得： 2 y2 .y1x = .(2.38)y1 +y2 与矩形窗类似，按照式(2.30)(2.31)(2.32)(2.33)的推导过程可得汉宁窗校正公式为： 2 y2 .y1=.x0 K .(2.39)y +y2 xy(1) .12A0 =+21.x( ) .(2.40)Sin.x N .12 N .1.=. . (K .x) =. 0 K +. .x .(2.41)2 NN 以上是矩形窗和汉宁窗的校正公式推导，对于其它窗函数因其公式过于复杂，难以找出类似的校正公式。从这一角度来看，基于公式推导进行频谱校正有其局限性。 2.4 仿真计算18 华中理工大学博士学位论文 在上一节中已推导出矩形窗和汉宁窗的校正公式，下面的仿真计算就利用这些校正公式来进行信号频谱的频率、幅值和相位修正。设一模拟信号在无噪声情况下表达为： 10 15 18 y = 05 . Cos (2 . 25 + ) + 30 . Cos (2 . 50 + ) + 0 75 . Cos (. t . t .2.100t + )180 180 180 30 60+05 .Cos(2.150t + ) + 0 15 .Cos(2.200t + ) .(2.42) . 180 180 信号的采样频率固定为1000HZ，分别对信号加矩形窗和Hanning窗进行2048点FFT，采用各窗的相应的校正公式进行计算，所得结果分别列于表2-2和表2-3中。从结果可看出，信号频谱经修正后可达较高的精度。表2-2 信号加矩形窗的频域参数校正前后对照表谱峰频率谱峰幅值谱峰相位矩形窗不加校正矩形窗公式校正真实值矩形窗不加校正矩形窗公式校正真实值矩形窗不加校正矩形窗公式校正真实值 24.902344 24.990749 25.0 0.478713 0.505535 0.50 46.604000 14.014318 10.0 49.804688 50.000698 50.0 2.265033 2.999154 3.0 86.963432 14.706041 15.0 100.097656 100.191962 100.0 0.707923 0.753301 0.75 -18.818087 15.946660 18.0 149.902344 150.004197 150.0 0.462865 0.497733 0.50 65.201889 27.654678 30.0 200.195312 200.011447 200.0 0.118115 0.150937 0.30 -14.291993 53.487831 60.0 表2-3 信号加Hanning窗的频域参数校正前后对照表谱峰频率谱峰幅值谱峰相位 Hanning 不加校正 Hanning 公式校正真实值 Hanning不加校正 Hanning公式校正真实值 Hanning 不加校正 Hanning 公式校正真实值 24.902344 25.000009 25.0 0.487229 0.499997 0.50 45.999359 9.996161 10.0 49.804688 49.999999 50.0 2.702956 3.000000 3.0 86.999680 15.000054 15.0 100.097656 99.999998 100.0 0.730850 0.750000 0.75 -18.000568 18.000162 18.0 149.902344 149.999997 150.0 0.487235 0.500000 0.50 65.999077 30.000103 30.0 200.195312 199.999997 200.0 0.135147 0.150000 0.30 -12.001210 60.000042 60.0 2.6 本章小结 FFT作为频谱分析的基础已得到了广泛的应用。如何提高谱分析精度现已成为进一步推广应用FFT的关键问题。本章在分析了离散频谱型信号分析时误差产生的机理的基础19华中理工大学博士学位论文 上，研究了离散频谱信号的实用校正方法 -窗谱校正方法，这一方法的实质是利用归一化后窗