自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验 第8章.doc

第8章 离散控制系统的分析和综合本章讲述离散控制系统的分析和综合。首先介绍离散控制系统的组成、研究方法、采样过程、采样定理、z变换、脉冲传递函数和差分方程；在此基础上，介绍了离散控制系统的稳定性、稳态误差和动态性能的分析等有关问题；介绍了数字控制器的脉冲传递函数以及最少拍系统的设计；最后介绍应用MATLAB对离散控制系统的分析。习教材习题同步解析8.1 设时间函数的拉氏变换为，采样周期Ts=1秒，利用部分分式展开求对应时间函数的z变换。（1） （2） （3） （4） 解 （1）将展成部分分式则其变换为 （2）将展成部分分式则其变换为（3）将展成部分分式则其变换为（4）将展开为部分分式则其变换为8.2 试分别用幂级数法、部分分式法和留数法求下列函数的z反变换。（1） （2）解 （1）幂级数法做长除法如下将按z的降幂排列成下列形式即可得 部分分式法 故求反变换得 留数法 （2）幂级数法做长除法如下将按z的降幂排列成下列形式即可得 部分分式法 求反变换得 留数法8.3 求下列函数的初值和终值。（1） （2）解 （1）求初值求终值 （2）求初值求终值图8.1 题8.4图8.4 设Ts=0.1秒，对图8.1的结构图。求。解 （a）脉冲传递函数为将Ts=0.1秒代入，整理得（b） 系统脉冲传递函数为将Ts=0.1秒代入，整理得（c） ， 将Ts=0.1秒代入，整理得图8.2 题8.5图（c）+8.5 求图8.2示各系统的。 图8.3 题8.5图（a）解解 （a） 整理得图8.4 题8.5图（b）解（b）（c）将原系统结构图等效变换成图8.5图8.5 题8.5图（c）解图8.64 题8.14图C (s)R (s)，联立求解得图8.6 题8.6图8.6 求图8.6示各系统的。图8.7 题8.6（a）图解解 （a） 对D（s）离散化有由于离散信号的z变换是拉氏变换的变形，故对上式取z变换有（b） 图8.8 题8.6（b）图解对上式取z变换有即图8.9 题8.58（c）图解（c） （1）对离散化有将上式代入式（1），得 （2） （3）而将（2）式代入上式，得将上式代入式（3），得对离散化有（4）将上式代入式（2），得对上式取z变换有图8.10 题8.7图8.7 求图8.10示系统的闭环脉冲传递函数。解 对离散化有 对上式取z变换有则8.8 确定由下列特征方程表示的数字控制系统的稳定性。解（1）将代入方程作双线性变换得到整理化简后得由于，所以该系统不稳定。（2）将代入方程作双线性变换得到整理化简后得由于，所以该系统不稳定。（3） 将代入方程作双线性变换得到整理化简后得由于，所以该系统不稳定。（4）将代入方程作双线性变换得到整理化简后得由于，所以该系统不稳定。（5）将代入方程作双线性变换得到整理化简后得由于，所以该系统不稳定。8.9 数字控制系统的特征方程为确定使系统稳定的K的范围。解 将代入特征方程作双线性变换得到整理化简后得使系统稳定，则因此，不存在使系统稳定的K。，此系统为一结构不稳定系统。图8.11 题8.10图8.10 数字控制系统如图8.11所示。确定使系统稳定的采样周期Ts的范围。解 离散系统开环脉冲传递函数为闭环特征方程为将代入方程作双线性变换，化简整理得由劳斯判据可知，二阶方程所有根均具有负实部的充分必要条件为：二阶方程所有系数都存在且大于0，即方程组的求解如下： 1） 2）此方程整理得此方程为有自然对数环节的非线性方程，且有解的前提条件为，直接求解十分困难。通过MATLAB的绘图命令，在同一坐标系分别绘制与，则在的范围内，使的即为所求的方程解，为附：MATLABC程序如下：a=0:0.01:1; for i=1:length(a) faim(i)=log(4.5-5*a(i); %计算 L(i)=1.5+2*a(i); %计算endaa=plot(a,faim,b-,a,L,r-); %在同一坐标系绘制曲线，在输出图形上用鼠标选取两条曲线的交点坐标即可求出相应的解。 3）同理，有同理，有解的前提条件为，通过MATLAB的绘图命令，在同一坐标系分别绘制与，则则在的范围内，使的即为所求的方程解，为附：MATLABC程序如下：a=0:0.01:2; for i=1:length(a) faim(i)=log(4.5-2.5*a(i)/(2.5*a(i)+0.5); %计算 L(i)=2*a(i); %计算endaa=plot(a,faim,b-,a,L,r-); %在同一坐标系绘制曲线， 3）综上，使系统稳定的采样周期Ts的范围为8.11 确定使图8.12所示系统稳定的K的范围。图8.12 题8.11图解 离散系统开环脉冲传递函数为闭环特征方程为将代入方程作双线性变换，化简整理得由劳斯判据可知，二阶方程所有根均具有负实部的充分必要条件为二阶方程所有系数都存在且大于0，即解之得系统稳定的充分必要条件为。R (s)C (s) 图8.13 题8.12图 Ts+8.12 如图8.13所示的采样控制系统，要求在作用下的稳态误差，试确定放大系数及系统稳定时的取值范围。解 （1）确定在作用下的稳态误差的放大系数系统开环脉冲传递函数为系统是型系统，斜坡输入下的稳态误差为常值故（2）确定系统稳定时的取值范围系统特征方程为即将代入方程作双线性变换，化简整理得由劳斯判据可知，二阶方程所有根均具有负实部的充分必要条件为二阶方程所有系数都存在且大于0，即解之得8.13 设离散系统如图8.14所示，其中采样周期，试求当时，系统无稳态误差、过渡过程在最少拍内结束的。解 系统开环脉冲传递函数为rTsTs图8.14 题8.13图ZOH+令可取得则8.14 已知系统结构图如图8.15所示，试求开环脉冲传递函数，闭环脉冲传递函数，及系统的单位阶跃响应。R (s)C (s)图8.15 题8.14图+解 系统开环脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数而则系统输出的z变换式为则8.15 已知系统的差分方程、输入序列和初始状态如下，试用域分析法求系统的完全响应。（n0）（1），y(0)=0，y(1)=1（2）（3），解（1） 对差分方程两端进行z变换，得代入初始条件化简得将Y(z)/z部分分式展开为因此，有求反变换得也可以利用长除法求得每个采样时刻的：将按z的降幂排列成下列形式即可得 与部分分式展开法结论一致，但长除法只能得到离散序列，不能求得的闭合形式的表达式。（2） 对差分方程两端进行z变换，得因为，且的z变换为所以上述方程变为则求反变换得 （3）对差分方程两端进行z变换，得因为，且的z变换为所以上述方程变为则将Y(z)/z部分分式展开为故求反变换得 8.16 试由以下差分方程确定脉冲传递函数。解 对差分方程两端进行z变换，并设初始条件为0，得则脉冲传递函数为MATLAB实验指导M8.1 利用ztrans和iztrans函数求解习题8.1和8.2。I习题8.1 设时间函数的拉氏变换为，采样周期Ts=1秒，利用部分分式展开求对应时间函数的z变换。（1） （2） （3） （4） 解：MATLAB程序如下习题8.1（1） syms s; %定义s变量Fs=(s+3)/s/(s+1)/(s+2); %输入s函数ft=ilaplace(Fs) %反拉普拉斯变换Fz=ztrans(ft) %z变换ft =-2*exp(-t)+3/2+1/2*exp(-2*t)Fz = 3/2*z/(z-1)+1/2*z/exp(-2)/(z/exp(-2)-1)-2*z/exp(-1)/(z/exp(-1)-1) 即：（2）syms s; %定义s变量Fs=(s+1)*(s+2)/(s+3)/(s+4); %输入s函数ft=ilaplace(Fs); %反拉普拉斯变换Fz=ztrans(ft) %z变换ft =dirac(t)-6*exp(-4*t)+2*exp(-3*t)Fz =dirac(0)-6*z/exp(-4)/(z/exp(-4)-1)+2*z/exp(-3)/(z/exp(-3)-1)即：（3）syms s;Fs=27/(s+2)/(s2+4*s+13);ft=ilaplace(Fs)Fz=ztrans(ft)ft =3*exp(-2*t)-3*exp(-2*t)*cos(3*t)Fz =3*z/exp(-2)/(z/exp(-2)-1)-3*(4*cos(1)3-3*cos(1)-z/exp(-2)*z/exp(-2)/(-1-6*z/exp(-2)*cos(1)+8*z/exp(-2)*cos(1)3-z2/exp(-2)2)当系统有复数极点时，ztrans函数给出的解形式比较复杂，可利用ilaplace(Fs)函数的结果直接求出z变换：（4） syms s;Fs=10/s/(s+2)/(s2+12*s+61);ft=ilaplace(Fs)Fz=ztrans(ft)ft =5/61+100/2501*exp(-6*t)*cos(5*t)-2/2501*exp(-6*t)*sin(5*t)-5/41*exp(-2*t) Fz =5/61*z/(z-1)+100/2501*(16*cos(1)5-20*cos(1)3+5*cos(1)-z/exp(-6)*z/exp(-6)/(-1+10*z/exp(-6)*cos(1)-40*z/exp(-6)*cos(1)3+32*z/exp(-6)*cos(1)5-z2/exp(-6)2)+2/2501*(16*cos(1)4-12*cos(1)2+1)*z/exp(-6)*sin(1)/(-1+10*z/exp(-6)*cos(1)-40*z/exp(-6)*cos(1)3+32*z/exp(-6)*cos(1)5-z2/exp(-6)2)-5/41*z/exp(-2)/(z/exp(-2)-1)II习题8.2 求下列函数的z反变换。（1） （2）解：（1）syms z; %定义z变量Fz=10*z/(z-1)/(z-2); %输入z函数ft=iztrans(Fz) %反z变换ft =10*2n-10即 （2）syms z; %定义z变量Fz=z*(1-exp(-1)/(z-1)/(z-exp(-1); %输入z函数ft=iztrans(Fz) %反z变换，Ts=1ft =1-(828390857088487/2251799813685248)n 即： 若Ts1，则 M8.2 利用相关函数求解习题8.15。习题8.15 已知系统的差分方程、输入序列和初始状态如下，试用域分析法求系统的完全响应（n0）。解：可利用Maple中的rsolve函数直接求解系统的差分方程，其调用格式可在maple中查询，指令为mhelp rsolve.m。（注：Maple是目前世界上最为通用的数学和工程计算软件之一，也是MATLAB的符号计算和高性能数值计算引擎。在MATLAB中调用Maple函数，格式为maple( ) 。）（1），y(0)=0，y(1)=1maple(rsolve(y(n)-4*y(n+1)+y(n+2)=0,y(0)=0,y(1)=1,y(n);) ans =-1/6*3(1/2)*(2-3(1/2)n+1/6*3(1/2)*(2+3(1/2)n即：（2）由于，且，代入差分方程可得因此差分方程等效为MATLAB的求解指令如下maple(rsolve(y(n)-0.5*y(n-1)=0.5,y(n);) ans =y(0)*(1/2)n-(1/2)n+1即： （3），maple(rsolve(y(n)-5*y(n-1)+6*y(n-2)=2, y(-1)=3,y(-2)=2,y(n);) ans =4*2n+1即：M8.3 某二阶系统闭环脉冲传递函数为求其单位阶跃响应曲线。解：MATLAB程序如下num=3 -3 1.5; %脉冲传递函数的分子多项式den=1 -1.6 0.8; %脉冲传递函数的分母多项式dstep(num,den) %求系统的单位阶跃响应图8.16 M8.3系统的单位阶跃响应曲线二阶系统的单位阶跃响应曲线见图。从响应曲线可读出C（z）=4.8z1+6.78z2+8.51 z3+9.69 z4+10.2 z5+10.1z6+9.44 z7+从而可求出每个采样时刻系统的输出。M8.4 对闭环离散系统求其特征值、幅值、等效阻尼比、等效无阻尼自然振荡频率。（提示，调用ddamp指令）解：MATLAB程序如下roots(1 -1.6 0.9) %求特征值mag,wn,z =ddamp(1 -1.6 0.9,1) %假定采样周期为Ts=1s.输出为ans = 0.8000 + 0.5099i 0.8000 - 0.5099imag = %z平面幅值 0.9487 0.9487wn = %等效的s平面无阻尼自然振荡频率 0.5699 0.5699z = %等效阻尼比 0.09240.0924M8.5 离散系统的开环脉冲传递函数为绘制开环Bode图(设Ts0.2s)、根轨迹图与闭环零极点图。解：MATLAB程序如下sys=tf(1 1 1.5, 1 -0.8 0.6,0.2) %建立系统开环脉冲传递函数，Ts0.2sfigure(1)bode(sys) %绘制开环Bode图figure(2)rlocus(sys) %绘制根轨迹图numb,denb=feedback(1 1 1.5, 1 -0.8 0.6,1,1); %求闭环脉冲传递函数z,p,k=tf2zp(numb,denb) %转化为零极点模型figure(3)zplane(z,p) %绘制闭环零极点图 （1）开环Bode图 （2）根轨迹图 （3）闭环零极点图图8.17离散系统的开环Bode图、根轨迹图与闭环零极点图见图8.17。M8.6 已知离散系统结构如图8.18所示，利用SIMULINK建立动态结构图，试求s及s时，系统临界稳定时的值，并讨论采样周期Ts对离散系统稳定性的影响。R (s)C (s)图8.18 实验8.6图+解：1）建立SIMULINK动态结构图（s）当采样周期s时，系统开环脉冲传递函数（K=1）为建立SIMULINK动态结构图，如图8.19所示。图8.19 M8.6系统SIMULINK动态结构图（s）将阶跃信号step的参数step time设置为0，选择不同的增益Gain（即K），启动仿真。系统单位阶跃信号作用下的响应曲线见图8.20。 （1）K=1 （2）K=2.4图8.20 M8.6系统单位阶跃响应曲线（s）由图8.20可见，