圆锥曲线题型汇编.doc

学大教育科技（北京）有限公司 王杕 XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.圆锥曲线题型汇编（一） 以几何度量立意弦长、三角形面积、四边形面积问题2008北京19已知的顶点在椭圆上，在直线上，且（）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程（第21题）浙江21如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为（I）求在，的条件下，的最大值；（II）当，时，求直线的方程（二） 以点、线的位置关系立意垂直、中点、中垂线、对称1. 垂直2. 线段中点（中点弦）3. 中垂线问题（三）以符号化的形式立意向量问题全国II 22已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为.() 求a，b的值；() C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由 辽宁21在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为（）写出C的方程；（）设直线与C交于A，B两点k为何值时？此时的值是多少？海南宁夏21在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点（）求的取值范围；（）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由（三） 以直线与椭圆位置关系立意取值范围问题海南宁夏21在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点（）求的取值范围；（）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由全国II 21在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切（1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围四川21设、分别是椭圆的左、右焦点（）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的作标；（）设过定点的直线与椭圆交于同的两点、，且为锐角（其中为作标原点），求直线的斜率的取值范围以函数性质研究立意最值问题2009福建22已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。（I）求椭圆的方程；（）求线段MN的长度的最小值；（）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由. 北京19已知的顶点在椭圆上，在直线上，且（）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程(另见最值问题)2008福建22如图，椭圆的一个焦点是，且过点.（）求椭圆C的方程；（）若AB为垂直于x轴的动弦，直线与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M. （）求证：点M恒在椭圆C上；（）求面积的最大值.陕西22已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值2007全国I 22已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P（）设P点的坐标为，证明：；（）求四边形ABCD的面积的最小值2008全国II 22设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点（）若，求的值；（）求四边形面积的最大值 解：（）依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，如图，设，其中，且满足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化简得，解得或6分（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为， 9分又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号所以的最大值为12分解法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为，当时，上式取等号所以的最大值为12分（四） 以推理方式立意存在性问题2009辽宁22已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（1，0）（1，0）.（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值2008福建22如图，椭圆的一个焦点是，且过点.（）求椭圆C的方程；（）若AB为垂直于x轴的动弦，直线与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.（）求证：点M恒在椭圆C上；（）求面积的最大值.（另见最值问题）2007山东文22已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的图过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆标准方程为（2）设联立得，则又因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，即解得：，且均满足当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为（五） 以研究手法立意圆的相关问题2009广东19已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.（1）求椭圆G的方程（2）求的面积（3）问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.解：（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2 )点的坐标为 （3）若，由可知点（6，0）在圆外， 若，由可知点（-6，0）在圆外； 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.2008辽宁20已知mR，直线l：和圆C：.（）求直线l斜率的取值范围；（）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解：（）直线的方程可化为，此时斜率因为，所以，当且仅当时等号成立所以，斜率k的取值范围是；（）不能.由（）知的方程为，其中；圆的圆心为，半径；圆心到直线的距离由，得，即。从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于。所以不能将圆分割成弧长的比值为的两端弧；2007北京19如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程；（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为整理得，（II）由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为所以为矩形外接圆的圆心又从而矩形外接圆的方程为（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支因为实半轴长，半焦距所以虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为2006北京19椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（）求椭圆C的方程；（）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.解：()因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2c2=4, 所以椭圆C的方程为1.() 解法一：设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因为A，B关于点M对称，所以 解得， 所以直线l的方程为即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意)解法二：已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 由得 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得直线l的斜率为，所以直线l的方程为y1（x+2），即8x9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)G2009江西22如图，已知圆是椭圆的内接的内切圆, 其中为椭圆的左顶点.（1）求圆的半径;（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，证明：直线与圆相切解: （1）设，过圆心作于,交长轴于由得,即 (1) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 而点在椭圆上, (2)由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）(2) 设过点与圆相切的直线方程为: (3)则,即 (4),解得将(3)代入得,则异于零的解为设,，则则直线的斜率为：于是直线的方程为: 即则圆心到直线的距离 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故结论成立.2009天津文22已知椭圆（）的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且（）求椭圆的离心率（）直线AB的斜率；（）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上，求的值.解：（I）由，得,从而，整理得，故离心率 （II）解：由（1）知，所以椭圆的方程可以写为设直线AB的方程为即由已知设则它们的坐标满足方程组消去y整理，得依题意， 而，由题设知，点B为线段AE的中点，所以联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得 (III)由（2）知，当时，得A由已知得线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为直线的方程为，于是点满足方程组由，解得，故当时，同理可得 （六） 以结果形式立意轨迹问题2009福建20已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1(I)求椭圆的方程;(II)若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：（）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 解得a=4,c=3,所以椭圆C的方程为 w.