电工基础102112103219_·

小结 小结 小结 大小和方向随时间按正弦规律变化的电压 电流统称为正弦量 正弦信号的和 差 微积分等运算结果仍是同频率的正弦信号 当正弦信号作为电路的信号源时 电路中产生的响应仍是同频率的正弦信号 第一节 正弦交流电的基本概念 正弦量 一 周期电流 周期T 电量变化一个循环所需要的时间称为周期 单位是秒 s 频率f 单位时间内电流变动所完成的循环数称为频率 单位是赫兹 Hz 显然f 1 T或T 1 f 周期 频率f 交变电流 随时间作周期性变动的电流称为周期电流 在一个周期内平均值为零的周期电流称为交变电流 交变电流 二 正弦交流电 正弦交流电用三角函数表示为 正弦量的三要素 最大值或幅值 Um或Im 角频率 初相位 i或 u 1 最大值 正弦量某一瞬时的值称为瞬时值 如u i 瞬时值中最大的称为最大值 如Im Um分别表示电流 电压的最大值 表示交流电的大小常用有效值的概念 角频率 单位时间里正弦量变化的角度称为角频率 单位是弧度 秒 rad s 2 T 2 f 3 相位 初相 相位 我们把 t 称为相位 初相 t 0时的相位称为初相 波形如图 t i T 从表达式可以看出 当Im 确定后 正弦量被唯一的确定了 所以这三个量统称为正弦量的三要素 第十三讲 2002 8 15上午录制 相位差 任意两个同频率的正弦量的相位之差称为相位差 用 表示 设 0电压超前电流 角 或电流滞后电压 角 0电压与电流同相位 0电流超前电压 角 电流与电压反向 若 i u i t 三 交流电的有效值 把两个等值电阻分别通一交流电流i和直流电流 如果在相同的时间 内所产生的热量相等 那么我们把这个直流电流 定义为交流电流的有效值 所以交流电的有效值是瞬时值的方均根 即 将电流的三角函数式带入上式中有 有效值与最大值的关系推导如下 已知i Imsin t 6 A 314rad s t 0时其瞬时值为16A 试求有效值I并求t为多少时i Im i Im 即有 例3 1 解 正弦信号的三要素可用一旋转矢量来表示 令矢量长度 Im矢量初始角 矢量旋转速度 第二节 正弦量的相量表示法 一 正弦量的矢量表示法 如图 该矢量某一时刻在纵轴上的投影刚好等于正弦量的瞬时值 将几个同频率的正弦量用相应的矢量表示并画在同一个坐标平面上 这样的图叫做矢量图 t 一般我们研究的是同频率的正弦量 用相量表示时 它们同以 速度旋转 相对位置保持不变 因此 在同一相量图中 以t 0时刻的相量表示正弦量 相量的写法为 大写字母的上方加一个 二 正弦量的相量表示法 复数表示法 j 根据欧拉公式 ej cos jsin A rej 指数式A r 极坐标式 我们知道一个相量可以用复数表示 而正弦量又可以用相量表示 因此正弦量可以用复数表示 1 0 r A a jb代数式A r cos jsin 三角式 其中 arctg b a a rcos b rsin 2 正弦量的相量 一个复数的幅角等于正弦量的初相角 复数的模等于正弦量的最大值或有效值 该复数称为正弦量的相量 这样 表示正弦电压的相量为 为了使计算结果能直接表示正弦量的有效值 通常使相量的模等于正弦量的有效值 即可以表示为 只有正弦量才能用相量表示 注意 几个同频率正弦量可以画在同一相量图上 任意两个同频率正弦量的和或差可用平行四边形法则求解 4 正弦量的瞬时值 相量虚部 第十四讲 2002 8 15上午录制 30 60 已知 试写出和的表达式 并画出其向量图 i1和i2对应的电流向量表达式分别为 的长度是的二倍 例3 2 解 三 复数 复数的四则运算 加减运算用代数式 实部与实部 虚部与虚部分别相加减 乘除运算用指数式或极坐标式 模相乘或相除 幅角相加或相减 解 四 基尔霍夫定律的相量形式 KCL i 0KVL u 0 流出 或流入 任意节点的电流相量之和等于零 沿任一回路的电压相量之和等于零 一 电阻电路 设 u 1 电压与电流的关系 i 为了比较各个正弦量之间的相位关系 先规定一个初相角为零的参考正弦量 u i满足欧姆定律 R Im Um 同样满足欧姆定律 复数形式 可见电阻元件的电压与电流同相位 且大小满足欧姆定律 i u 相量图 电阻元件电压和电流波形图与相量图 可见 p 0 电阻是一个耗能元件 2 功率关系 1 瞬时功率 p ui UmImsin2 t UI 1 cos2 t UI 2 平均功率 有功功率 u i 1 电压与电流的关系 设i Imsin t 感抗 XL L 二 电感电路 U XLI L 因此 相量表达式为 电感中的电流滞后电压90 电压超前电流90 相量图 2 功率关系 1 瞬时功率 在正弦交流电路中 电感功率以 按正弦规律变化 显然 第一个1 4周期P 0 电感吸收能量 第二个1 4周期P 0 放出能量 它与电源间进行能量的互相交换 t ui t p i u 功率波形图 平均功率 有功功率 电感是储能元件 不消耗电能 无功功率 无功功率反映的是电感与电源间能量互相交换的规模 定义 QL UI I2XL U2 XL单位 乏尔 Var 第十五讲 2002 8 15上午录制 解 例3 5 设一电感元件L 0 01H 接于220V 有效值 的电源上 电源频率f 50Hz 试求 流过电感的电流 若电源电压不变 频率变为5000Hz 重求上问 u i C 1 电压与电流的关系 设 三 电容电路 容抗 电容中的电流超前电压 相量图 相量表达式为 2 功率关系 1 瞬时功率 t ui t p 显然 第一个1 4周期p 0 电容储存能量 第二个1 4周期p 0 放出能量 u i 2 平均功率 有功功率 3 无功功率 单位是乏尔 Var 无功功率反映的是电容与电源间能量互相交换的规模 电容是储能元件 不消耗电能 解 例3 6 设有一电容器 接于 的电源上 试求该电路电流 若电源电压不变 频率变为 再求电路电流 电压与电流关系 以电流为参考正弦量 i Imsin t即 第四节 简单的正弦交流电路 一 RLC串联交流电路 可见 UR UL UC U 电压三角形 相量图为 总电压有效值 Z为复阻抗 Z R j XL XC z 式中X XL XC称为电抗 称为阻抗 相量欧姆定律 Z R j XL XC z 纯电阻电路 纯电感电路 纯电容电路 讨论 相位关系 可见 是由R L C及 决定的 角为阻抗角 它等于电压与电流之间的相位差角 0电压超前电流电路呈感性 0电流超前电压电路呈容性 0电压与电流同相 电路呈纯电阻性 阻抗三角形 R XL XC z R zcos X zsin 如图为一RC串联电路 R 1k C 0 05 F 求并画出相量图 C R U2 U1 例3 7 解 I 第十六讲 2002 8 16上午录制 二 阻抗的串联和并联 串联等效复阻抗为 1 阻抗的串联 分压公式为 阻抗的并联 分流公式 导纳 复数阻抗的倒数称为复数导纳 简称导纳 导纳的幅角是阻抗幅角的负值 并联电路的导纳等于各支路导纳的和 如图所示电路 R 10 XL 15 XC 8 电路端电压 1 电流 和 2 画出相量图 3 电路的等效阻抗Z和等效导纳Y U R L C 例3 8 求 解 0 U 第十七讲 2002 8 16上午录制 第五节 复杂交流电路的分析和计算 对于复杂的交流电路 可以象直流电路一样 应用电源等效变换法 节点电位法 支路电流法 叠加原理 等效电源定理等来计算 所不同的是 电压和电流要用相量来表示 电路的参数要用复数来表示 a U j1 1 j2 j4 2 图中 求 和 解 例3 9 U US1 US2 R XL1 XL2 用支路电流法求图中各支路电流 其中 解 例3 10 电路如上图 其参数不变 用戴维南定理求 移走R所在支路 其余部分电路如图 其开路电压为 解 例3 11 等效电路 US U jXC jXL 例3 12 用叠加原理求图中电容电压 已知 解 第十八讲 2002 8 16上午录制 第六节 正弦交流电路的功率 一 瞬时功率 设 二 有功功率 P UIcos cos 称功率因数 所以电路的有功功率为 P URI I2R UR2 R 在RLC电路中 只有电阻消耗功率 u i p t u i 0 p UIcos 1 无功功率 QL ULI I2XL UL2 XLQC UCI I2XC UC2 XC 电路中无功功率包括电感和电容两个元件的无功功率 三 视在功率和无功功率 Q QL QC I UL UC I2 XL XC UL UC Usin Q UIsin Q UIsin 其中 在正弦交流电路中 电压有效值U与电流有效值I的乘积称为视在功率 通常用S表示 2 视在功率 S UI 一般它表示发电设备的容量 单位是伏安 VA P UIcos Scos Q UIsin Ssin S UI 得出功率三角形 P Q S 在下面所示的相量图中 有功分量 无功分量 阻抗三角形 电压三角形和功率三角形是三个相似的三角形 总结 1 2 对于任何复杂的正弦交流电路 总的有功功率等于各个支路 或元件 有功功率之和 总的无功功率等于各个支路 或元件 无功功率之代数和 而总的视在功率在一般情况下不等于各支路 或元件 视在功率之和 即 下图中 U 240V R1 28 XL 96 R2 48 XC 64 求各支路及总的有功功率 无功功率和视在功率 各支路阻抗为 例3 13 解 各支路及总电流为 第十九讲 2002 8 16上午录制 在含有电感和电容元件的电路中 若出现电源电压与电流同相位 整个电路呈纯电阻性 此时电路的状态称为谐振 谐振按电路接法分为串联谐振和并联谐振 一 串联谐振 Z R j XL XC i u 谐振时 0 则有XL XC 发生在R L C串联电路中的谐振称为串联谐振 根据谐振条件有 2 谐振频率 1 谐振条件 改变L C可使电路发生或消除谐振 阻抗 z0 R最小电流 I0 U z0 U R最大电压 XL XC UL UCU URcos 1 一般Q 1 UL UC U 3 串联谐振特征 品质因数Q Q是一个无量纲的参数 UL QUUC QU 电感与电容的能量可以彼此交换而电源与电抗元件之间无能量交换 电源供给的能量被电阻消耗 相量图为 电流谐振曲线 4 电流频率特性 图中 试求 1 谐振频率 2 该电路的品质因数Q 3 若输入 的信号电源 求电路中的电流和电感电压的有效值 4 若输入 的信号电源 求电路中的电流和电感电压的有效值 例3 14 1 谐振频率为 2 品质因数为 3 f f0恰为电路的谐振频率 因此有 解 4 二 并联谐振 发生在R L C并联电路中的谐振称为并联谐振 谐振时 0 则XL XC 1 谐振条件 2 谐振频率 并联时一般R不连接 Q 1 3 并联谐振特征 品质因数Q IL IC QIIL IC I 电流 I0 U z0 U R最小 XL XC IL IC I IR 电感与电容的能量仍然彼此交换而电源与电抗元件之间无能量交换 电源供给的能量被电阻消耗 相量图为 U L C R 下图为并联谐振电路 试计算其谐振频率 电容支路的电流为 电感支路的电流为 解 例3 15 并联谐振时电压与电流同相位 即 第二十讲 2002 8 22上午录制 在生产和科学实践中 经常遇到非正弦周期电压与电流 产生非正弦周期电压或电流的原因主要有两个 1 正弦交流电源作用在非线性元件上 2 电源或信号本身就是非正弦周期电压或电流 例 一 非正弦量的谐波分析 一个非正弦周期函数 若满足狄里赫利条件 即在一个周期内有有限个第一类间断点和有限个极值时 都可以分解为直流分量和一系列不同频率的正弦分量 即谐波分量 即展开成傅里叶级数 f t 为满足狄里赫利条件的非正弦周期函数 其傅里叶展开级数为 式中 同频率的正弦项和余弦项可以合并 有 式中 A0为直流分量 AKsin K t K 是第K次谐波分量 K 1 2 基波 二次谐波 高次谐波 二 非正弦周期量的有效值和功率 1 有效值 根据交变电压和电流有效值的公式 谐波次数越高幅值越小 可以推出非正弦周期电压和电流的有效值分别为 2 功率 根据能量守恒原理 三 非正弦周期电流电路的计算 例3 16 如图所示 已知R 10 L 0 05H C 50 F 电源电压为 试求电路中的电流i和I 式中 非正弦周期电源作用于线性电路可应用叠加原理进行求解 R L C u t i t i0 0I0 0 解 u0单独作用 i0 i t j L R u3 u1 u0 u1单独作用 i t R j3 L u3 u1 u0 u3单独作用 我们把幅值相等 频率相同 彼此之间的相位差角相差120 的三个电源称为对称三相电源 第九节 三相交流电路 一 三相电源 可以提供三个幅值相等 频率相同而相位互不相同的正弦电压为三相电源 由这种电源供电的电路叫做三相交流电路 简称三相电路 uA Umsin tuB Umsin t 120 uC Umsin t 120 其中uA的初相为零 uB滞后uA120 uC滞后uB120 所以相序为A B C 1 时域形式 t u uA uB uC 2 波形图 0 3 相量表达式 4 相量图 120 120 120 二 三相电源的连接方式 1 三相电源的星形接法 A B C分别为三相绕组的首端 X Y Z分别为三相绕组的尾端 将三个尾端接在一起用O表示 三个首端引出三根线与负载相联 A C O B X Y Z O为中点 零点 由O点引出的线叫中线 零线 由A B C三端引出的线为端线或相线 火线 各点与线的名称 相 线电压的定义 有中线供电 三相四线制 无中线供电 三相三线制 A C O B 端线 中线 端线 端线 星形联接的三相电源 相 线电压之间的关系由KVL知 相量图为 线电压超前相应的相电压30 三个线电压之间也是对称的三相电压 彼此相位差120 UA UC UB A A B C B X Z Y C 2 三相电源的三角形接法 特点 三相线圈依次首尾相接 形成一个闭合回路 然后从三个接点引出三根输电线 这种接法只能是三相三线制 线电压 相电压 UC UB UA 对称三相电压的相量和等于零 因此 不接负载时 三相线圈组成的闭合回路中不会有电流 UC 三 三相负载的连接方式 相电压 每相负载两端的电压用Up表示 线电压 各端线之间的电压用Ul表示 三相四线制 有中线 1 三相负载的星形 Y形 接法 三相负载的基本连接方式有星形和三角形两种 相电流 每相负载流过的电流用Ip表示 线电流 电源端线流过的电流用Il表示 ZA ZB ZC 负载星形接法的三相电路 显然 Ip Il 设 ZA zA AZB zB BZC zC C zA zB zC A B C 这样的负载称为对称三相负载 1 负载对称 若满足 A B C互差120 显然三个电流也是对称关系 当电源对称 负载也对称时 相量图为 结论 三相对称负载作星形联接时 计算时只需计算一相 另外两相根据对称关系直接写出 N A B C 0 在三相四线制电路中 不管负载是否对称 电源的相电压和线电压总是对称的 所以负载各相电压对称 由于负载不对称 各相电流不对称 中线电流不为零 计算时需要三相分别计算 2 负载不对称 将三相四线制里的中线断开 这时称为三相三线制