第三章_直线与方程-全章教学分析.doc

第三章直线与方程在平面几何和立体几何里，我们直接依据几何图形中点、直线、平面的关系研究几何图形的性质。现在采用另外一种研究方法：坐标法。坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法。它是解析几何中最基本的研究方法。解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。一、内容与课程学习目标本章我们在直角坐标系中，建立直线的方程，并通过方程研究直线的有关性质，如平行、垂直、两条直线的交点、点到直线的距离等。通过本章学习，学生应当达到的学习目标是：1在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。2理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。3能根据斜率判定两条直线平行或垂直。4根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。5能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。6探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。二、内容安排本章共分三节，大约需要9课时。具体课时分配如下（仅供参考）：31 直线的倾斜角与斜率 约2课时32 直线的方程 约3课时33 直线的交点坐标与距离公式 约3课时小结 约1课时1“直线的倾斜角与斜率”首先探索平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素点和倾斜角。给出斜率的概念，并用代数方法表示它，导出用两点坐标表示斜率的公式，并根据直线的斜率判断两条直线平行与垂直。2“直线的方程”首先在直角坐标系中建立直线的方程，然后介绍直线方程的点斜式、两点式、一般式，最后得出结论：在平面直角坐标系中，一切直线的方程都是二元一次方程，二元一次方程表示直线。3“直线的交点坐标与距离公式”通过直线的方程研究两条直线的交点，并由此判断两条直线的位置关系：相交、平行及重合。通过点的坐标和直线的方程，导出两点间的距离、点到直线的距离以及两平行线间的距离。4“探究与发现魔术师的地毯”是一个非常有趣的素材，主要是让学生运用直线斜率的知识，看两条直线是否共线，进而探究001m2的地毯到什么地方去了？三、编写中考虑的几个问题1贯穿“坐标法”的思想，突出解析几何解决问题的“三部曲”本章注意突出解析几何的基本思想“坐标法”：用方程表示直线，运用方程研究直线的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离。几何问题代数化，用数量关系表示空间形式、位置关系等等。结合大量的例题，突出用坐标方法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。2从一个或几个数学问题展开知识内容问题是数学的心脏。引入知识内容时，常设置一个或几个问题，创设一种情境，一方面引起学生的兴趣，另一方面引起学生解决问题的求知欲望。比如“3. 1.1倾斜角与斜率”，提出了几个思考题：思考：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置关系由那些条件确定呢？思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？3关注结论形成的过程，通过思考、探究，得出结论本章在编写时注意呈现方式，不直接给出结论，让学生证明。而是把结论放在学生经过一系列数学活动之后，通过思考、探究，得出结论。比如，用“坐标法”解决问题的“三部曲”就是通过解决一系列问题后得出。在例题的呈现时，增加了分析的过程，重点分析解题的思路。4充分利用教科书边空，提出具有一定思考价值的问题，强调重要的数学思想方法利用教科书边空不失时机地提出一些具有一定思考价值的问题，例如，“3. 2.1直线的点斜式方程”中的边空“截距是距离吗？”“3. 2.3 直线的一般式方程”中边空“分类讨论时，常按和分类，这样可以做到不重不漏。”等等。四、对教学的几个建议1注意把握教学要求教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。比如，义务教育阶段“空间与图形”部分涉及的许多结论都可以用坐标法来加以证明，而义务教育阶段的教学要求已经有所改变。因此，用坐标法证明平面几何题要求不宜过高，适可而止。传统的解析几何内容安排在三角函数后面，而现在安排在三角函数之前。当用到相关三角函数时，只在边空给出提示，让学生作为结论直接使用，不给出证明。例如，。这些结论放在数学4时补证。2关注重要数学思想方法的教学重要的数学思想方法不怕重复。普通高中数学课程标准（实验）要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点。教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系，只强调“形”到“数”的方面。而忽视“数”到“形”的方面。3关注学生的动手操作和主动参与学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。教学中，注意提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法。“观察”、“思考”、“探究”等栏目设置目的之一就是让学生参与到数学活动中来。4关注信息技术的应用平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科，信息技术在加强几何直观，促使数与形结合方面有着特殊的作用。借助信息技术，可以形象、直观地帮助学生认识所研究的直线。在动态演示中，观察直线的性质，在直观了解的基础上，寻求形成这些性质的原因以及代数表示。通过对方程的研究，了解直线与直线的关系时，运用信息技术，可以进一步验证得到的结果，为抽象的认识增添形象的支持。3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率一、教材内容极其特点直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活的运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。 教材从过一点p的无数条直线的区别入手，引出直线的倾斜角的定义。又从日常生活中已被人们认知的“坡度比”与“升高量与前进量”之间的关系引出 直线的斜率。这样处理，便于学生接受也更能激发学生的学习兴趣和求知欲望。二、教学目标1掌握直线的倾斜角与斜率的定义，理解倾斜角的形成过程及取值范围，在教学中培养学生数形结合的数学思想。2掌握求斜率的两个公式k=tan ( 90) , k= ( )3培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。三、教学重难点掌握直线的倾斜角和斜率的定义以及斜率公式的推导。四、教学过程（一）导入新课我们知道，两点确定一条直线。如果已知直线l经过点p,直线l的位置能确定吗？这些直线有什么联系和区别呢？由此引入课题。（二）新课1直线l的倾斜角 （ 教师在黑板上画图并演示直线l绕定点p旋转）提出问题：直线的倾斜程度如何描述呢？yyyy定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。0x0xxx00 提出问题：（1）图一中标出的直线l的倾斜角对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？（2）直线的倾斜角能不能是下列角？零度角、锐角、直角、钝角、平角、大于平角的角？讨论结果：（1）、都不对，与定义中“x轴正向与直线l向上方向”相违背。（2）、可以是零度角、锐角、直角、钝角，不能是平角和大于平角的角。结论：直线l的倾斜角的取值范围为：2.直线的斜率 从日常生活中，已被同学们认知的“坡度比”与“升高量与前进量的比”之间的关系引出斜率的定义。（1）定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母k表示，即k=tan说明：倾斜角是的直线没有斜率，倾斜角不是的直线都有斜率。倾斜角不同，直线的斜率也不同。因此，我们可以用直线的斜率表示直线的倾斜程度。（教师可以提出这样的问题：当倾斜角变化时，斜率k的值如何变化？讨论结果：当时，；当时，k不存在；当时，（-，0）（2）过两点 的直线的斜率公式给定两点 ，我们求直线的斜率Qxy0如图二，设直线 的倾斜角为 当的方向向上时，过点 作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两线图二相交于点Q，于是点Q的坐标为 当为锐角时，在中，tan思考：当为钝角时，上式成立吗？当 的方向向上呢？讨论结果：等式仍成立。我们得到经过两点 的直线的斜率公式 k= ( )思考：当直线 与x轴平行或重合时上述等式还成立吗,为什么？3.应用示例a) 已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角。分析：此题主要应用斜率公式以及明确直线的斜率和倾斜角的关系。（此处应注意对学生的引导）解：直线AB的斜率 直线BC的斜率 直线CA的斜率 由 0 及0知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由 0,y0解关于k的不等式组，先求出k的范围，再求出倾斜角的范围，也可以画图，利用数形结合法解决。解：由由于交点在第一象限，所以x0且,y0所以倾斜角的范围为 例2、（2007 山东临沂高考模拟）点A(-1,0),P(3,0),为等腰三角形，且AB为三角形底边，则顶点B的轨迹方程为（） B C. D答案：D方法指导：根据列方程解：3.3.34 点到直线的距离，两条平行直线间的距离一、教材内容及其特点点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具。点到直线的距离公式的推导方法很多，除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法。通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻的领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和和方法。二、教学目标1、让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行直线间的距离2、引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化的探索问题的能力。三、教学重难点1、点到直线的距离的推导和应用2、对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立方法四、教学过程（一）导入在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为,直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点P的坐标和直线l的方程直接求点到直线的距离呢？这节课我们就来研究这个问题。（二）新课1、点到直线的距离提出问题：已知点P的特殊位置可分为几种情况，每种情况下点P到直线l:Ax+By+C=0的距离如何表示呢？（引导学生从坐标的角度分析点P的特殊位置，然后归纳，得出结论）（引导学生猜想，当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而利用前面的公式）证明：设过点P且与直线l平行的直线的方程为令y=0得 (*)代入（*）得可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立。2、两条平行直线间的距离 下面证明两条平行直线间的距离为证明：设的距离为又3、应用示例例5、求点到直线l:3x=2的距离解：根据点到直线的距离公式可得例6、已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求的面积解：如图，设AB边上的高为h则0xyCBAhAB边上的高h就是点C到AB的距离AB边所在直线的方程为即x+y-4=0点C(-1,0)到x+y-4=0的距离因此例7、已知直线，是否平行？若平行，求间的距离。解：因为先求与x轴的交点A的坐标，容易知道A点坐标为(4,0)点A到直线的距离所以与间的距离为4、课堂练习：教材109页练习5、课堂小结：通过这节课的学习，要求大家掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行直线间的距离。五、链接高考1、考点点击本节知识在高考中主要考查点到直线的距离，两条平行直线间的距离公式及其应用。2、考题剖析例 （2007 山东潍坊高考模拟）过原点且和A(0,1),B(2,0)两点的距离相等的直线l的方程是（ ）答案：x+2y=0或x-2y=0方法指导：设l的方程为y=kx,根据点到直线的距离公式列方程求k，也可根据直线l的性质求解，由直线l与AB平行或过AB的中点求解解法1：设l的方程为y=kx，则kx-y=0由于A(0,1),B(2,0)两点到l的距离相等,由两点的距离公式得所以直线l的方程为解法2、由l到A,B两点的距离相等，AB或l过AB的中点当AB时， AB的中点M(1,) 第三章复习检测题及参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。）1直线的倾斜角的大小是 （ ）A. B. C. D. 2.已知直线的斜率不存在，则m的值是 ( )A. 1 B. C. -2 D. 3.直线的位置关系是 （ ）A 相交不垂直 B 垂直 C 平行 D重合 4已知直线ax+by+c=0,其中a,b,c同号，则直线与两坐标轴围成三角形的面积是（ ）A. B. C. D. 5.到两条直线3x-4y+5=0和5x-12y+13=0距离相等的点P(x,y)的坐标必满足的方程是( )A. x-4y+4=0 B. 7x+4y=0 C. x-4y+4=0或4x-8y+9=0 D. 7x+4y=0或32x+56y+65=06.已知点P(a,b)是第二象限内的点，那么它到x-y=0的距离是 ( )A. B. b-a C. D. 7.已知直线平行，则实数a的值是( )A. -1或2 B. 0或1 C. -1 D. 28.已知点P(a,b)与点Q(b+1,a-1)关于直线l对称，则直线l的方程是 ( )A. y=x-2 B. y=x+2 C. y=x+3 D.y=x-19.已知直线与夹角的平分线所在直线的方程为y=x，如果的方程是ax+by+c=0(ab0)，那么的方程是 ( )A. bx+ay+c=0 B. ax-by+c=0 C. bx+ay-c=0 D.bx-ay+c=010.若三条直线相交于一点，则k的值为( )A. -2 B. C. 2 D. 11.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置,那么直线l的斜率是 （ ）A. B. -3 C. D. 312.已知两点到直线l的距离均等于a，且这样的直线l可作4条，则a的取值范围是 ( )A. B. 0a1 C. D. 0a2 答题栏题号123456789101112答案二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）13直线x+y-1=0的倾斜角 14已知直线l被两坐标轴截得的线段中点坐标是（1，-3），则直线l的方程是 15.无论k取何值，直线(2k+1)x-(k-2)y-(k+8)=0恒过点 16若A(2,-3)是直线的公共点，则相异两点所确定的直线的方程是 三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）求点P(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点Q的坐标。18. （本小题满分12分）求经过点A(-1,-2)且到原点距离为1的直线方程。19. （本小题满分12分）过A(-4,0).B(0,-3)两点作两条平行线，若着两条直线各自绕A.B旋转，使它们之间的距离取最大值，求此最大值。20. （本小题满分12分）在直角坐标系中，设