东华大学几何与多元微积分A(下)复习题.doc

几何与多元微积分（下）复习题07级一、 填空题（每小题4分，共28分）：1、设函数由方程所确定，则 。2、函数的驻点是 。3、根据二重积分的几何意义 ，其中。4、 。5、柱面以平面上的线段为准线，母线平行于轴，则介于平面及曲面之间的部分的面积可用曲线积分表示为 。6、设有连续导数，是单连通域上任意简单闭曲线，且。则 。7、设是面上的闭区域的上侧，则 。二、 试解下列各题（每小题7分，共28分）：1、求曲面在点处的切平面和法线方程。2、计算二重积分，其中是由直线及所围成的闭区域。3、利用球面坐标计算积分，为球体。、计算积分，其中是摆线自点到点的一段，为正的常数。三、（10分）求在圆域上的最大值和最小值。四、（10分）设圆形薄片的面密度函数为，试求薄片质量。五、（10分）计算，其中是半锥面的介于及之间的那部分锥面。六、（10分）计算曲面积分，其中是旋转抛物面介于平面及之间的部分的下侧。七、（4分）设在上有连续的导函数，试证：。08级一、填空题（每小题4分，共40分）：1、函数在点 处取得极 值。2、函数在点处沿方向的方向导数是 。3、曲面在点处的切平面方程为 。4、交换积分次序： 。5、 。6、设，则 。7、设椭圆的周长为，则曲线积分 。8、设曲面，则曲面积分 。9、设均匀螺旋形弹簧的方程为，它的线密度为，则它关于轴的转动惯量 。10、设为正向圆周，则 。二、试解下列各题（每小题8分，共24分）：1、设由方程所确定，求。2、设是由及所围的有界闭区域，求。3、求，其中为平面被柱面所截得的部分。三、（10分）求从原点到曲面上的最短距离。四、（10分）求，其中，若从轴正向看去，取顺时针方向。五、（10分）计算曲面积分，其中是曲面的上侧。六、（6分）设正值函数在闭区间上连续，证明。09级一、填空题（每题4分，共40分）：1、方程所确定的函数，则 。2、函数在点处沿从点到方向的方向导数为 。3、，则 。4、曲面在点处的切平面方程为 。5、函数在点处取得极 (大、小)值。6、 ，其中。7、设由柱面与平面围成，则 。8、交换积分次序： 。9、设为圆周，则 。10、设是椭圆位于第一象限的部分，已知，则其形心的横坐标 。二、试解下列各题（每题6分，共36分）：1、计算，其中是由直线所围成的闭区域。2、计算，其中。3、计算，其中。4、已知椭圆，周长为，求。5、计算，其中为柱面螺线上对应到的一段弧。6、计算，为锥面被柱面所截得的部分。三、（7分）计算为上侧。四、（7分）设为曲面，取上侧，求。五、（7分）计算，其中由锥体及平面围成。六、（3分）三重积分，由曲面围成，写出球面坐标下的累次积分式。10级（）(2011.6.16)一、 填空题（每题4分，共32分）：1、函数在 处有极 值。2、求函数在处沿梯度方向的方向导数 。3、曲面在点处的切平面方程为 。4、 。5、 ，其中积分域D是由所围成的扇形区域。6、 ，其中为。7、 ，其中为xoy面上闭区域的上侧。8、 ，其中L为圆上由点到点的上半圆弧。二、 计算下列各题（每题6分，共30分）：1、计算，其中积分域是由直线所围成的区域。2、计算，其中积分域为球体。3、计算，其中L是抛物线介于与点之间的那一段弧。4、利用条件极值计算，从斜边长为定值的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。5、求由圆周的外部及心脏线的内部所围成的平面图形的面积。三、（9分）计算。四、（8分）求由锥面及平面所围成区域的整个边界曲