数据结构书本习题答案(续).doc

7.5 对n个顶点的无向图和有向图，采用邻接矩阵和邻接表表示时，如何判别下列有关问题? (1) 图中有多少条边? (2)任意两个顶点i和j是否有边相连? (3) 任意一个顶点的度是多少?答：对于n个顶点的无向图和有向图，用邻接矩阵表示时： (1)设m为矩阵中非零元素的个数无向图的边数=m/2有向图的边数=m(2)无论是有向图还是无向图，在矩阵中第i行,第j列的元素若为非零值，则该两顶点有边相连。(3)对于无向图，任一顶点i的度为第i行中非零元素的个数。对于有向图，任一顶点i的入度为第i列中非零元素的个数，出度为第i行中非零元素的个数，度为入度出度之和。当用邻接表表示时：(1)对于无向图，图中的边数=边表中结点总数的一半。对于有向图，图中的边数=边表中结点总数。(2)对于无向图，任意两顶点间是否有边相连，可看其中一个顶点的邻接表，若表中的adjvex域有另一顶点位置的结点，则表示有边相连。对于有向图，则表示有出边相连。(3)对于无向图，任意一个顶点的度则由该顶点的边表中结点的个数来决定。对于有向图，任意一个顶点的出度由该顶点的边表中结点的个数来决定，入度则需遍历各顶点的边表。(用逆邻接表可容易地得到其入度。)7.6 n个顶点的连通图至少有几条边?强连通图呢?答：n个顶点的连通图至少有n-1条边，强连通图至少有2(n-1)条边。7.7 DFS和BFS遍历各采用什么样的数据结构来暂存顶点?当要求连通图的生成树的高度最小，应采用何种遍历?答： DFS遍历采用栈来暂存顶点。BFS采用队列来暂存顶点。当要求连通图的生成树的高度最小时，应采用BFS遍历。787.9 按顺序输入顶点对：(1，2)，(1，6)，(2，6)，(1，4)，(6，4)，(1，3)，(3，4),(6，5)，(4，5)，(1,5),(3,5),根据第7.2.2节中算法CreatALGraph画出相应的邻接表。并写出在该邻接表上，从顶点4开始搜索所得的DFS和BFS序列，及DFS和BFS生成树。答：相应的邻接表如下： 11 5 3 4 6 2 22 6 1 33 5 4 1 44 5 36 1 55 3 1 4 6 66 5 4 2 1 根据上面的邻接表画出的图见下图: 从顶点4开始搜索所得的DFS序列是：453162 从顶点4开始搜索所得的BFS序列是：453612 相应的生成树见上图。7.10 什么样的图其最小生成树是唯一的?用PRIM 和Kruskal求最小生成树的时间各为多少?它们分别适合于哪类图?答：当候选轻边集中的轻边数始终等于1条时，其最小生成树是唯一的。用Prim和Kruskal求最小生成树的时间复杂度分别为O(n2)和O(elge),前者适合于稠密图，后者适合于稀疏图.7.11 对图7.26（下图）所示的连通图，请分别用Prim和Kruskal算法构造其最小生成树。答：7.13 试写出图7.28(下图)所示有向图的所有拓扑序列，并指出就用7.6节给出的NonPreFirstTopSort算法求得的是哪个序列，设邻接表的边表结点中的邻接点序号是递增有序的。 答：上图中所有拓扑序列如下： v0v1v5v2v3v6v4 * v0v1v5v2v6v3v4 v0v1v5v6v2v3v4 v1v0v5v6v2v3v4 v1v0v5v2v3v6v4 v1v0v5v2v6v3v4 v1v5v0v2v3v6v4 v1v5v0v2v6v3v4 v1v5v0v6v2v3v4 v5v1v0v2v3v6v4 v5v1v0v2v6v3v4 v5v1v0v6v2v3v4 v5v0v1v2v3v6v4 v5v0v1v2v6v3v4 v5v0v1v6v2v3v4 v0v5v6v1v2v3v4 v1v5v6v0v2v3v4 v5v6v1v0v2v3v4 v5v6v0v1v2v3v4 v5v0v6v1v2v3v4 v5v1v6v0v2v3v4 用NonPreFirstTopSort算法求得的是v0v1v5v2v3v6v4也就是上面带*号的那个。7.14 什么样的DAG的拓扑序列是唯一的?答：确定了排序的源点，DAG图中无前趋顶点只有一个且从该点到终点只有一条路径时，它的拓扑序列才是唯一的。7.15 请以V0为源点，给出用DFS搜索图7.28(下图)得到的逆拓扑序列。 答：逆拓扑序列是：V4 V2 V1 V0 V1 V6 V57.16 试在无向图的邻接矩阵和邻接链表上实现如下算法：(1)往图中插入一个顶点(2)往图中插入一条边(3)删去图中某顶点(4)删去图中某条边解：(一)用邻接矩阵表示#define MaxVertexNum l00 /最大顶点数，应由用户定义typedef char VertexType； /顶点类型应由用户定义typedef int EdgeType； /边上的权值类型应由用户定义typedef structVextexType vexsMaxVertexNum /顶点表EdeType edgesMaxVertexNumMaxVertexNum;/邻接矩阵，可看作边表int n，e； /图中当前的顶点数和边数MGragh；(1)往图中插入一个顶点 void AddVertexMGraph(MGraph *G,VertexType x)/往无向图的邻接矩阵中插入顶点if (G-n=MaxVertexNum)Error(顶点数太多)；G-vexsG-n=x;/将新顶点输入顶点表G-n+；/顶点数加1(2)往图中插入一条边void AddedgeMGraph(MGraph *G,VertexType x,VertexType y)/往无向图的邻接矩阵中插入边(x,y)int i,j,k;i=-1;j=-1;for(k=0;kn;k+)/查找X，Y的编号 if (g-vexsk=x) i=k;if (g-vexsk=y) j=k;if (i=-1|j=-1) Error(结点不存在);else /插入边(x,y)g-vexij=1;g-vexji=1;G-e+;/边数加1(3)删去图中某顶点void DeleteVertexMGraph(MGraph *G,VertexType x)/无向图的邻接矩阵中删除顶点xint i,k,j;i=-1;for(k=0;kn;k+)/查找X的编号if (g-vexsk=x) i=k;if (i=-1) Error(结点不存在);else /删除顶点以及边k=0;/求出与x结点相关联的边数kfor (j=0;jn;j+)if (g-vexsij=0) k+;G-e=G-e-k;/设置新的边数for (k=i+1;kn;k+)/在邻接矩阵中删除第i行for(j=0;jn;j+)g-vexsk-1j=g-vexskj;for (k=i+1;kn;k+)/在邻接矩阵中删除第i列for(j=0;jn;j+)g-vexsjk-1=g-vexsjk;G-n-;/总结点数-1 (4)删去图中某条边void DeleteedgeMGraph(MGraph *G,VertexType x,VertexType y)/无向图的邻接矩阵中删除边(x,y)int i,j,k;i=-1;j=-1;for(k=0;kn;k+)/查找X，Y的编号 if (g-vexsk=x) i=k;if (g-vexsk=y) j=k;if (i=-1|j=-1) Error(结点不存在);else if (g-vexsij!=1)/删除边(x,y)g-vexij=0;g-vexji=0;G-e-;/边数加1(二)用邻接表表示 typedef struct node/边表结点int adjvex； /邻接点域struct node *next； /链域/若要表示边上的权，则应增加一个数据域EdgeNode;typedef struct vnode /顶点表结点 VertexType vertex； /顶点域EdgeNode *firstedge；/边表头指针 VertexNode；typedef VertexNode AdjListMaxVertexNum；/AdjList是邻接表类型typedef struct AdjList adjlist；/邻接表 int n，e； 图中当前顶点数和边数 ALGraph； /对于简单的应用，无须定义此类型，可直接使用AdjList类型。 (1)往图中插入一个顶点void AddVertexALGraPh(ALGrahp *G,VertexType x)/往无向图的邻接表表示中插入一个顶点if (G-n=MaxVertexNum)Error(顶点数太多)；G-adjlistG-n.vertex=x;/将新顶点输入顶点表G-adjlistG-n.firstedge=NULL;/边表置为空表G-n+；/顶点数加1(2)往图中插入一条边void AddedgeALGraPh(ALGrahp *G,VertexType x,VertexType y)/往无向图的邻接表中插入边(x,y)int i,j,k;EdgeNode *s；i=-1;j=-1;for(k=0;kn;k+)/查找X，Y的编号 if (G-adjlistk.vertex=x) i=k;if (G-adjlistk.vertex=y) j=k;if (i=-1|j=-1) Error(结点不存在);else s=G-adjlisti.firstedge;while (s)&(s-adjvex!=j)/查看邻接表中有无(x,y)s=s-next;if (!s)/当邻接表中无边(x,y),插入边(x,y) s=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode)； /生成边表结点s-adjvex=j; /邻接点序号为js-next=G-adjlisti.firstedge；G-adjlisti.firstedge=s；/将新结点*s插入顶点x的边表头部s=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode)；s-adjvex=i; /邻接点序号为is-next=G-adjlistj.firstedge；G-adjlistj.firstedge=s； /将新结点*s插入顶点x的边表头部G-e+;/边数加1 (3)删去图中某顶点void DeleteVertexALGraPh(ALGrahp *G,VertexType x)/无向图的邻接表中删除顶点xint i,k,j;EdgeNode *s,*p,*q；i=-1;for(k=0;kn;k+)/查找X的编号if (G-adjlistk.vertex=x) i=k;if (i=-1) Error(结点不存在);else /删除与x相关联的边s=G-adjlisti.firstedge;while (s)p=G-adjlists-adjvex.firstedge;/删除与i相关联的其他结点边表中表结点if (p)&(p-adjvex=i)/是第一个边表结点，修改头指针G-adjlists-adjvex.firstedge=p-next;free(p);else/不是第一个 边表结点，查找并删除while (p)&(p-next)&(p-next-adjvex=i)p=p-next;q=p-next;p-next=q-next;free(q);q=s;s=s-next;free(q);/在i结点的边表中删除表结点G-e-; /调整顶点表for (j=i;jn-1;j+)G-adjlistj.firstedge=G-adjlistj+1.firstedge;G-adjlistj.vertex=G-adjlistj+1.vertex;G-n-; (4)删去图中某条边void DeleteedgeALGraPh(ALGraph *G,VertexType x,VertexType y)/往无向图的邻接表中删除边(x,y)int i,j,k;EdgeNode *s,*p；i=-1;j=-1;for(k=0;kn;k+)/查找X，Y的编号 if (G-adjlistk.vertex=x) i=k;if (G-adjlistk.vertex=y) j=k;if (i=-1|j=-1) Error(结点不存在);else s=G-adjlisti.firstedge;/在i的边表中删除值为j的边表结点if (s)&(s-adjvex=j) G-adjlisti.firstedge=s-next;free(s); elsewhile (s)&(s-next)&(s-next-adjvex!=j)s=s-next;if (!s-next) Error(无此边);else p=s-next;s=p-next;free(p);s=G-adjlistj.firstedge;/在j的边表中删除值为i的边表结点if (s)&(s-adjvex=i) G-adjlistj.firstedge=s-next;free(s); elsewhile (s)&(s-next)&(s-next-adjvex!=j)s=s-next;p=s-next;s=p-next;free(p);G-e-; 7.17 下面的伪代码是一个广度优先搜索算法，试以图7.29（下图）中的v0为源点执行该算法，请回答下述问题：(1)对图中顶点vn+1，它需入队多少次？它被重复访问多少次?(2)若要避免重复访问同一个顶点的错误，应如何修改此算法?void BFS(ALGraph *G,int k)/以下省略局部变量的说明，visited各分量初值为假InitQueue(&Q);/置空队列EnQueue(&Q,k);/k入队while(!QueueEmpty(&Q)i=DeQueue(&Q);/vi出队visitedi=TRUE;/置访问标记printf(%c,G-adjlisti.vertex;/访问vifor(p=G-adjlisti.firstedge;p;p=p-next)/依次搜索vi的邻接点vj(不妨设p-adjvex=j)if(!visitedp-adjvex)/若vj没有访问过EnQueue(&Q,p-adjvex);/vj入队/endofwhile/BFS答：(1)对图中顶点vn+1，它需入队n次,它被重复访问n次。(2)若要避免重复访问同一个顶点的错误，应作如下修改：void BFS(ALGraph *G,int k)/以下省略局部变量的说明，visited各分量初值为假InitQueue(&Q);/置空队列EnQueue(&Q,k);/k入队visitedi=TRUE;/置访问标记printf(%c,G-adjlisti.vertex;/访问viwhile(!QueueEmpty(&Q)i=DeQueue(&Q);/vi出队for(p=G-adjlisti.firstedge;p;p=p-next)/依次搜索并访问vi的未访问邻接点vj(不妨设p-adjvex=j)if(!visitedp-adjvex)/若vj没有访问过printf(%c,G-adjlisti.vertex;/访问vjEnQueue(&Q,p-adjvex);/vj入队/endofwhile/BFS7.18 试以邻接表和邻接矩阵为存储结构，分别写出基于DFS和BFS遍历的算法来判别顶点vi和vj(ij)之间是否有路径。答：(1)基于采用邻接矩阵的DFSint pathDFSM(MGraph *G，int i,int j) /以邻接矩阵为存储结构，判断vi和vj之间是否有路径，若有返回1，否则返回0int k;visitedi=TRUE；for(k=0；kn；k+) /依次搜索vi的邻接点if(G-edgesik=1&!visitedk)if (k=j) return 1;/有路径相通else return(pathDFSM(G,k,j);return 0;/无路径相通/DFSM(2)基于采用邻接表的DFS int PATHDFS(ALGraph *G，int i,int j) /以邻接表为存储结构，判断vi和vj之间是否有路径，若有返回1，否则返回0EdgeNode *p；visitedi=TRUE； /标记vi已访问p=G-adjlisti.firstedge； /取vi边表的头指针while(p)/依次搜索vi的邻接点vk，这里k=p-adjvexif （!visitedp-adjvex)/若vk尚未被访问if (p-adjvex=j)return 1;else ruturn PATHDFS(g，p-adjvex,j);/则以Vk为出发点向纵深搜索p=p-next； /找vi的下一邻接点return 0;/PATHDFS(3)基于邻接矩阵的BFS算法int pathBFSM(MGraph *G，int i,int j)/以邻接矩阵为存储结构，判断vi和vj之间是否有路径，若有返回1，否则返回0int k；CirQueue Q； initQueue(&Q)；visitedi=TRUE；EnQueue(&Q，i)；while(!QueueEmpty(&Q)i=DeQueue(&Q)； /vi出队for(k=0;kn;k+)/依次搜索vi的邻接点vkif(G-edgesik=1&!visitedk)/vk未访问if (k=j) return 1;visitedk=TRUE；EnQueue(&Q，k)；/访问过的vk人队/endwhilereturn 0;/pathBFSM(4)基于邻接表为存储结构的BFS算法int BFS(ALGraph *G，int i,int j)/以邻接表为存储结构，判断vi和vj之间是否有路径，若有返回1，否则返回0int i；CirQueue Q； /须将队列定义中DataType改为intEdgeNode *p；InitQueue(&Q)；/队列初始化visitedi=TRUE； EnQueue(&Q，i)；/vi已访问，将其人队。（实际上是将其序号人队）while(!QueueEmpty(&Q)/队非空则执行i=DeQueue(&Q)； /相当于vi出队p=G-adjlisti.firstedge； /取vi的边表头指针 while(p)/依次搜索vi的邻接点vk(令p-adjvex=k)if(!visitedp-adjvex) /若vk未访问过if (p-adjvex=j)return 1;elsevisitedP-adjvex=TRUE； EnQueue(&Q，p-adjvex)；/访问过的vk人队 p=p-next；/找vi的下一邻接点 /endwhile /endwhile return 0; /end of pathBFS7.19 试分别写出求DFS和BFS生成树(或生成森林)的算法，要求打印出所有的树边。答：(1)求DFS生成树typedef enumFALSE，TRUEBoolean；/FALSE为0，TRUE为1Boolean visitedMaxVertexNum； /访问标志向量是全局量void DFSTraverseTREE(ALGraph *G) /求深度优先生成树(以邻接表表示的图G)，而以邻接矩阵表示G时，/算法完全与此相同,只要将DFSTree(G，i)改为DFSMTree(G，i)即可int i；for(i=0;in;i+)visitedi=FALSE； /标志向量初始化for(i=0;in；i+)if(!visitedi) /vi未访问过DFSTree(G，i)； /以vi为源点开始DFS搜索,求DFS生成树的边/DFSTraversevoid DFSTree(ALGraph *G，int i) /以vi为出发点对邻接表表示的图G进行深度优先搜索,打印生成树(生成森林)的边EdgeNode *p；visitedi=TRUE； /标记vi已访问p=G-adjlisti.firstedge； /取vi边表的头指针while(p)/依次搜索vi的邻接点vj，这里j=p-adjvexif (!visitedp-adjvex)/若vj尚未被访问printf(%c,%c)n,G-adjlisti.vertex,G-adjlistp-adjvex.vertex) ；/ 打印边DFSTree(g，p-adjvex);/则以Vj为出发点向纵深搜索p=p-next； /找vi的下一邻接点/DFSvoid DFSMTree(MGraph *G，int i) /以vi为出发点对邻接矩阵表示的图G进行深度优先搜索,打印生成树(生成森林)的边int j；visitedi=TRUE；for(j=0；jn；j+) /依次搜索vi的邻接点if(G-edgesij=1&!visitedj)printf(%c,%c)n,G-vexsi,G-vexsj);/ 打印边DFSMTree(G，j);/(vi，vj)E，且vj未访问过，故vj为新出发点/DFSMTree(2)求BFS生成树typedef enumFALSE，TRUEBoolean；/FALSE为0，TRUE为1Boolean visitedMaxVertexNum； /访问标志向量是全局量void BFSTraverseTREE(ALGraph *G) /求广度优先生成树(以邻接表表示的图G)，而以邻接矩阵表示G时，/算法完全与此相同,只要将BFSTree(G，i)改为BFSMTree(G，i)即可 int i； for(i=0;in;i+) visitedi=FALSE； /标志向量初始化 for(i=0;in；i+)if(!visitedi) /vi未访问过BFSTree(G，i)； /以vi为源点开始BFS搜索,求BFS生成树的边/BFSTraversevoid BFSTree(ALGraph*G，int k)/ 以vk为源点对用邻接表表示的图G进行广度优先搜索,并求出BFS生成树边int i；CirQueue Q； /须将队列定义中DataType改为intEdgeNode *p；InitQueue(&Q)；/队列初始化visitedk=TRUE； EnQueue(&Q，k)；/vk已访问，将其人队。（实际上是将其序号人队）while(!QueueEmpty(&Q)/队非空则执行i=DeQueue(&Q)； /相当于vi出队p=G-adjlisti.firstedge； /取vi的边表头指针while(p)/依次搜索vi的邻接点vj(令p-adjvex=j)if(!visitedp-adivex) /若vj未访问过printf(%c,%c)n，G-adjlisti.vertex,G-adjlistp-adjvex.vertex)；/打印边visitedP-adjvex=TRUE； EnQueue(&Q，p-adjvex)；访问过的vj人队/endifp=p-next；/找vi的下一邻接点/endwhile/endwhile/end of BFSTree void BFSMTree(MGraph *G，int k)/ 以vk为源点对用邻接矩阵表示的图G进行广度优先搜索,并求出BFS生成树边int i，j；CirQueue Q； InitQueue(&Q)；visitedk=TRUE；EnQueue(&Q，k)；while(!QueueEmpty(&Q)i=DeQueue(&Q)； /vi出队for(j=0;jn;j+)/依次搜索vi的邻接点vjif(G-edgesij=1&!visitedj)/vi未访问printf(%c,%c)n，G-vexsi,G-vexsj)；/打印边visitedj=TRUE；EnQueue(&Q，j)；/访问过的vj人队/endwhile/BFSMTree7.20 写一算法求连通分量的个数并输出各连通分量的顶点集。答：typedef enumFALSE，TRUEBoolean；/FALSE为0，TRUE为1Boolean visitedMaxVertexNum； /访问标志向量是全局量void DFSTraverse(ALGraph *G) /深度优先遍历以邻接表表示的图G，求连通分量的个数和各连通分量的顶点集int i；for(i=0;in;i+)visitedi=FALSE； /标志向量初始化j=0;/连通分量个数计数器for(i=0;in；i+)if(!visitedi) /vi未访问过j+;printf(connected component %d:,j);DFS(G，i)； /以vi为源点开始DFS搜索printf(n);/DFSTraversevoid DFS(ALGraph *G，int i) /以vi为出发点对邻接表表示的图G进行深度优先搜索EdgeNode *p；printf(c,，G-adjlisti.vertex)；/访问顶点vivisitedi=TRUE； /标记vi已访问p=G-adjlisti.firstedge； /取vi边表的头指针while(p)/依次搜索vi的邻接点vj，这里j=p-adjvexif （!visitedp-adjvex)/若vi尚未被访问DFS(g，p-adjvex);/则以Vj为出发点向纵深搜索p=p-next； /找vi的下一邻接点/DFS7.21 设图中各边的权值都相等，试以邻接矩阵和邻接表为存储结构，分别写出算法：(1)求顶点vi到顶点vj(ij)的最短路径(2)求源点vi到其余各顶点的最短路径要求输出路径上的所有顶点(提示：利用BFS遍历的思想)答(1)求顶点vi到顶点vj(ij)的最短路径int shortestpath(ALGraph*G，int i,int j)/ 对邻接表表示的图G，求顶点vi到顶点vj(ij)的最短路径int distMaxVertexNum;CirQueue Q； /须将队列定义中DataType改为intEdgeNode *p；int k；for(k=0;kn;k+)distk=0； /距离向量初始化InitQueue(&Q)；/队列初始化visitedi=TRUE； EnQueue(&Q，i)；while(!QueueEmpty(&Q)/队非空则执行i=DeQueue(&Q)； /相当于vi出队p=G-adjlisti.firstedge； /取vi的边表头指针while(p)/依次搜索vi的邻接点vk(令p-adjvex=k)if(!visitedp-adjvex) /若vj未访问过distp-adjvex+;if (p-adjvex=j) return distp-adjvex;visitedP-adjvex=TRUE； EnQueue(&Q，p-adjvex)；访问过的vk人队/endifp=p-next；/找vi的下一邻接点/endwhile/endwhile/end of shortestpathint BFSM(MGraph *G，int i,int j)/ 对邻接链表表示的图G，求顶点vi到顶点vj(ij)的最短路径int distMaxVertexNum,k；CirQueue Q； initQueue(&Q)；for(k=0;kn;k+)disti=0； /距离向量初始化visitedk=TRUE；EnQueue(&Q，i)；while(!QueueEmpty(&Q)i=DeQueue(&Q)； /vi出队for(k=0;kn;k+)/依次搜索vi的邻接点vkif(G-edgesik=1&!visitedk)/vk未访问distk+;if (k=j) return distj;visitedk=TRUE；EnQueue(&Q，k)；/访问过的vk人队/endwhile/BFSM(2)求源点vi到其余各顶点的最短路径void shortestpath(ALGraph*G，int i)/ 对邻接表表示的图G，求顶点vi到顶点vj(ij)的最短路径int distMaxVertexNum;int preMaxVertexNum;/prek中存放vi到vk路径中，vk的前趋的序号CirQueue Q； /须将队列定义中DataType改为intEdgeNode *p；int k,j；for(k=0;kn;k+)distk=0； /距离向量初始化prek=k;InitQueue(&Q)；/队列初始化visitedi=TRUE； EnQueue(&Q，i)；while(!QueueEmpty(&Q)/队非空则执行i=DeQueue(&Q)； /相当于vi出队p=G-adjlisti.firstedge； /取vi的边表头指针while(p)/依次搜索vi的邻接点vk(令p-adjvex=k)if(!visitedp-adjvex) /若vj未访问过distp-adjvex+;prep-adjvex=i;visitedP-adjvex=TRUE； EnQueue(&Q，p-adjvex)；访问过的vk人队/endifp=p-next；/找vi的下一邻接点/endwhile/endwhilefor(k=0;kn;k+)/ 打印各顶点的最短路径和长度printf(path of %c is %d:,G-adjlistk.vertex,distk); j=k; printf(%c,G-adjlistk.vertex); doj=prej;print(adjlistj.vertex);while (j!=i);printf(n);/end of shortestpat