求函数解析式的类型与方法归纳总结.doc

函数的解析式【教学目标】1.理解函数解析式的概念，2. 掌握求函数解析式的常见类型及其方法。【教学重点】掌握求函数解析式的常见类型及其方法。【教学难点】一些简单实际问题中的函数的解析式表示。一、知识要点：1. 函数解析式的概念，2. 求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等二、典例分析1、定义法（或配凑法）此方法是把所给函数的解析式，通过配方，凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表达式，然后以x代替“自变量”即得所求函数的解析式。例1 已知，求的解析式。解 把解析式按“自变量”变形得，在上式中以x代替，得此方法是将函数的“自变量”或某个关系式代之；以一个新的变量（中间变量），然后找出函数中间变量的关系，从而求出函数的解析式。例2 已知求解 令=t，则即3、待定系数法此方法适用于所求函数的解析式表达式是多项式的情形，首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数。例3 已知二次函数满足条件及，求。解 设由，知c=1，。由，得4、解方程组法此方法是将函数中解析式的变量（或关系式）进行适当的变量代换，得一个新的等式，然后与原式联立，解方程组，即可求出所求的函数。例4 已知求。解 在原式中将x换成，再与原式联立，得消去，得5、赋值法此方法是在函数定义域内，赋予变量一些特殊值，利用所给函数关系式进行化简，从而使问题获得解决。例5 设是R上的函数，且满足，并且对任意实数x，y有，求的表达式。解 对任意，有，令x=y，得又，。6、参数法此方法是通过设参数、消参数得出函数的对应关系，从而求出的表达式。例6 已知求。解 设所求函数的参数表达式为；，消去参数t，得，即7、函数性质法例7已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值证明：；求的解析式；求在上的解析式解：是以为周期的周期函数，又是奇函数，当时，由题意可设，由得，是奇函数，又知在上是一次函数，可设，而，当时，从而当时，故时，当时，有，当时，8、构造法 例8如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，ABP的面积为。（1）求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值. 解：（1）这个函数的定义域为（0，12）.当时，；当时，；当时，。这个函数的解析式为 （2）其图形为 由图知，f（x）max=8.9、递推法若函数的定义域为，且函数关系式是由递推关系给出的，可用递推法求出。例9 已知函数定义域为，且对任意的，都满足求。解 由，依次令以上个式子相加，得故。10、数列法求定义在正整数集上的函数，实际上就是数列的通项。数列法就是利用等比、等差数列的有关知识（通项公式，求和公式等）求定义在上的函数。例10 已知，且对任意正整数n，都有求。解 由，有为公比是3的等比数列，其首项为即。三、巩固训练：1、（2006年全国卷II）、若，则（ ）（A）（B）（C）（D）【考点分析】本题考查求函数的解析式、函数值和余弦倍角公式，基础题。解析：法1 ，故，故选择C。法2 【名师点拔】本题一般采用先求出函数的解析式，再求函数值。但如能巧用诱导公式，变成已知条件模式，则可减少计算量。2、（2004年湖北理，3）已知f（）=，则的解析式可取为（ ）A. B C.D.【考点分析】本题考查求函数的解析式、换元思想，基础题。解析：令，则x=，f（t）=.f（x）=.答案：C评述：本题考查函数的定义及换元思想.本题还有一个陷阱 ，故准确的讲应为3、已知，求。解：，（或）4、已知，求。解：令（），则，5、已知是一次函数，且满足，求。解： 设，则，6、已知满足，求解： ，把中的换成，得 ，得，7( 2006年重庆卷)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.（）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);（）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.解：（）因为对任意xR，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.（）因为对任意xR，有f(f(x)- x2 +x)=f(x)- x2 +x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.所以对任意xR，有f(x)- x2 +x= x0.在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,又因为f(x0)- x0，所以x0- x=0，故x0=0或x0=1.若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即f(x)