2009年山东省高考文科数学真题及答案

2009年山东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）集合A=0，2，a，B=1，a2，若AB=0，1，2，4，16，则a的值为（）A0B1C2D42（5分）复数等于（）A1+2iB12iC2+iD2i3（5分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）Ay=2cos2xBy=2sin2xCDy=cos2x4（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2+2B4+2C2+D4+5（5分）在R上定义运算：ab=ab+2a+b，则满足x（x2）0的实数x的取值范围为（）A（0，2）B（2，1）C（，2）（1，+）D（1，2）6（5分）函数y=的图象大致为（）ABCD7（5分）定义在R上的函数f（x）满足，则f（2009）的值为（）A1B0C1D28（5分）设P是ABC所在平面内的一点，则（）ABCD9（5分）已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a0）的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）Ay2=4xBy2=4xCy2=8xDy2=8x11（5分）在区间，上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（）ABCD12（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x4）=f（x）且在区间0，2上是增函数，则（）Af（25）f（11）f（80）Bf（80）f（11）f（25）Cf（11）f（80）f（25）Df（25）f（80）f（11）二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）在等差数列an中，a3=7，a5=a2+6，则a6=14（4分）若函数f（x）=axxa（a0，且a1）有两个零点，则实数a的取值范围是15（4分）执行程序框图，输出的T=16（4分）某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为元三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinsinx（0），在x=处取最小值（）求的值；（）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C18（12分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点证明：（1）EE1平面FCC1（2）平面D1AC平面BB1C1C19（12分）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆（）求z的值；（）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率20（12分）等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b0）且b1，b，r均为常数）的图象上（1）求r的值；（2）当b=2时，记bn=（nN*），求数列bn的前n项和Tn21（12分）已知函数，其中a0（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？（2）已知a0，且f（x）在区间（0，1上单调递增，试用a表示出b的取值范围22（14分）设mR，在平面直角坐标系中，已知向量a=（mx，y+1），向量b=（x，y1），ab，动点M（x，y）的轨迹为E（）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（）已知m=证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OAOB（O为坐标原点），并求该圆的方程；（）已知m=设直线l与圆C：x2+y2=R2（1R2）相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值2009年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）（2009山东）集合A=0，2，a，B=1，a2，若AB=0，1，2，4，16，则a的值为（）A0B1C2D4【分析】根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案【解答】解：A=0，2，a，B=1，a2，AB=0，1，2，4，16a=4，故选D2（5分）（2009山东）复数等于（）A1+2iB12iC2+iD2i【分析】将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个向量的乘法法则化简【解答】解：复数=2+i，故选C3（5分）（2009山东）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）Ay=2cos2xBy=2sin2xCDy=cos2x【分析】按照向左平移，再向上平移，推出函数的解析式，即可【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数=cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x，故选A4（5分）（2009山东）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2+2B4+2C2+D4+【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为122=2棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2+故选C5（5分）（2009山东）在R上定义运算：ab=ab+2a+b，则满足x（x2）0的实数x的取值范围为（）A（0，2）B（2，1）C（，2）（1，+）D（1，2）【分析】根据规定的新定义运算法则先把不等式化简，然后利用一元二次不等式求解集的方法求出x的范围即可【解答】解：x（x2）=x（x2）+2x+x20，化简得x2+x20即（x1）（x+2）0，得到x10且x+20或x10且x+20，解出得2x1；解出得x1且x2无解2x1故选B6（5分）（2009山东）函数y=的图象大致为（）ABCD【分析】欲判断图象大致图象，可从函数的定义域x|x0方面考虑，还可从函数的单调性（在函数当x0时函数为减函数）方面进行考虑即可【解答】解析：函数有意义，需使exex0，其定义域为x|x0，排除C，D，又因为，所以当x0时函数为减函数，故选A答案：A7（5分）（2009山东）定义在R上的函数f（x）满足，则f（2009）的值为（）A1B0C1D2【分析】本题考查的知识点是分段函数的性质及对数的运算性质，要求f（2009）的值，则函数的函数值必然呈周期性变化，由函数的解析式，我们列出函数的前若干项的值，然后归纳出函数的周期，即可求出f（2009）的值【解答】解：由已知得f（1）=log22=1，f（0）=0，f（1）=f（0）f（1）=1，f（2）=f（1）f（0）=1，f（3）=f（2）f（1）=1（1）=0，f（4）=f（3）f（2）=0（1）=1，f（5）=f（4）f（3）=1，f（6）=f（5）f（4）=0，所以函数f（x）的值以6为周期重复性出现，所以f（2009）=f（5）=1，故选C故选C8（5分）（2009山东）设P是ABC所在平面内的一点，则（）ABCD【分析】根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果【解答】解：，故选B9（5分）（2009山东）已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】判充要条件就是看谁能推出谁由m，m为平面内的一条直线，可得；反之，时，若m平行于和的交线，则m，所以不一定能得到m【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线，且m，则，反之，时，若m平行于和的交线，则m，所以不一定能得到m，所以“”是“m”的必要不充分条件故选B10（5分）（2009山东）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a0）的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）Ay2=4xBy2=4xCy2=8xDy2=8x【分析】先根据抛物线方程表示出F的坐标，进而根据点斜式表示出直线l的方程，求得A的坐标，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得a，则抛物线的方程可得【解答】解：抛物线y2=ax（a0）的焦点F坐标为，则直线l的方程为，它与y轴的交点为A，所以OAF的面积为，解得a=8所以抛物线方程为y2=8x，故选C11（5分）（2009山东）在区间，上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（）ABCD【分析】求出所有的基本事件构成的区间长度；通过解三角不等式求出事件“cos x的值介于0到”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率【解答】解：所有的基本事件构成的区间长度为解得或“cos x的值介于0到”包含的基本事件构成的区间长度为由几何概型概率公式得cos x的值介于0到之间的概率为P=故选A12（5分）（2009山东）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x4）=f（x）且在区间0，2上是增函数，则（）Af（25）f（11）f（80）Bf（80）f（11）f（25）Cf（11）f（80）f（25）Df（25）f（80）f（11）【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可【解答】解：f（x4）=f（x），f（x8）=f（x4）=f（x），即函数的周期是8，则f（11）=f（3）=f（34）=f（1）=f（1），f（80）=f（0），f（25）=f（1），f（x）是奇函数，且在区间0，2上是增函数，f（x）在区间2，2上是增函数，f（1）f（0）f（1），即f（25）f（80）f（11），故选：D二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）（2009山东）在等差数列an中，a3=7，a5=a2+6，则a6=13【分析】根据等差数列的性质可知第五项减去第二项等于公差的3倍，由a5=a2+6得到3d等于6，然后再根据等差数列的性质得到第六项等于第三项加上公差的3倍，把a3的值和3d的值代入即可求出a6的值【解答】解：由a5=a2+6得到a5a2=3d=6，所以a6=a3+3d=7+6=13故答案为：1314（4分）（2009山东）若函数f（x）=axxa（a0，且a1）有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+）【分析】根据题设条件，分别作出令g（x）=ax（a0，且a1），h（x）=x+a，分0a1，a1两种情况的图象，结合图象的交点坐标进行求解【解答】解：令g（x）=ax（a0，且a1），h（x）=x+a，分0a1，a1两种情况在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f（x）=axxa有两个不同的零点，则函数g（x），h（x）的图象有两个不同的交点根据画出的图象只有当a1时符合题目要求故答案为：（1，+）15（4分）（2009山东）执行程序框图，输出的T=30【分析】本题首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量T的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：按照程序框图依次执行为S=5，n=2，T=2；S=10，n=4，T=2+4=6；S=15，n=6，T=6+6=12；S=20，n=8，T=12+8=20；S=25，n=10，T=20+10=30S，输出T=30故答案为：3016（4分）（2009山东）某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为2300元【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，我们可以列出满足条件的约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解【解答】解：设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，则目标函数为z=200x+300y作出其可行域，易知当x=4，y=5时，z=200x+300y有最小值2300元三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）（2009山东）已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinsinx（0），在x=处取最小值（）求的值；（）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C【分析】（）把函数解析式中第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，利用两角和的正弦函数公式化简，由函数在x=处取最小值，把x=代入到化简后的式子中并令f（x）等于1，得到sin的值，然后利用的范围及特殊角的三角函数值即可求出的度数；（）把的值代入到f（x）中化简可得f（x）的解析式，然后把x等于A代入解析式，利用其值等于，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，然后由a，b和sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B的范围和特殊角的三角函数值即可求出B的度数，根据三角形的内角和定理即可求出C的度数【解答】解：（）f（x）=2sinx=sinx+sinxcos+cosxsinsinx=sin（x+）因为f（x）在x=时取最小值，所以sin（+）=1，故sin=1又0，所以=；（）由（）知f（x）=sin（x+）=cosx因为f（A）=cosA=，且A为ABC的角，所以A=由正弦定理得sinB=，又ba，所以B=时，当B=时，C=AB=18（12分）（2009山东）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点证明：（1）EE1平面FCC1（2）平面D1AC平面BB1C1C【分析】（1）法一：由EE1A1DEE1F1CEE1平面FCC1即用利用线线平行来推线面平行法二：由平面ADD1A1平面FCC1EE1平面FCC1即用利用面面平行来推线面平行（2）先证ACBC，又由ACCC1AC平面BB1C1C平面D1AC平面BB1C1C即利用线线垂直来推线面垂直再推2面面垂直【解答】证明：（1）证法一：取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，由于FF1BB1CC1，所以F1平面FCC1F1，因为平面FCC1F1即为平面C1CFF1，连接A1D，F1C，由于A1F1和D1C1和CD平行且相等所以四边形A1DCF1为平行四边形，因为A1DF1C又EE1A1D，得EE1F1C，而EE1平面FCC1F1，F1C平面FCC1F1，故EE1平面FCC1F1证法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，ABCD，所以CDAF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以ADFC又CC1DD1，FCCC1=C，FC平面FCC1，CC1平面FCC1F1，所以平面ADD1A1平面FCC1F1，又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1（ 2）证明：连接AC，连FBC中，FC=BC=FB，又F为AB的中点，所以AF=FC=FB，因此ACB=90，即ACBC又ACCC1，且CC1BC=C，所以AC平面BB1C1C，而AC平面D1AC，故平面D1AC平面BB1C1C19（12分）（2009山东）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆（）求z的值；（）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率【分析】（）根据用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，得每个个体被抽到的概率，列出关系式，得到n的值（）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举数出结果，根据古典概型的概率公式得到结果（）首先做出样本的平均数，做出试验发生包含的事件数，和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果【解答】解：（）设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得=，n=2000，z=2000（100+300）150450600=400（）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意，得a=2因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：（A1，A2），（A1B1），（A1B2），（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10个，事件E包含的基本事件有：（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7个，故P（E）=，即所求概率为（）样本平均数=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，P（D）=，即所求概率为20（12分）（2009山东）等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b0）且b1，b，r均为常数）的图象上（1）求r的值；（2）当b=2时，记bn=（nN*），求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）由“对任意的nN+，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b0，且b1，b，r均为常数）的图象上”可得到Sn=bn+r，依次求出a1、a2、a3，由等比数列的性质（a2）2=a1a3，解可得答案（2）结合（1）可知an=（b1）bn1=2n1，从而bn=，符合一个等差数列与等比数列相应项之积的形式，用错位相减法求解即可【解答】解：（1）因为对任意的nN+，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b0，且b1，b，r均为常数）的图象上所以得Sn=bn+r，当n=1时，a1=S1=b+r，a2=S2S1=b2+r（b1+r）=b2b1=（b1）b，a3=S3S2=b3+r（b2+r）=b3b2=（b1）b2，又因为an为等比数列，所以（a2）2=a1a3，则（b1）b2=（b1）b2（b+r）解可得r=1，（2）当b=2时，an=（b1）bn1=2n1，bn=则Tn=Tn=相减，得Tn=+=所以Tn=21（12分）（2009山东）已知函数，其中a0（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？（2）已知a0，且f（x）在区间（0，1上单调递增，试用a表示出b的取值范围【分析】（1）对函数求导，由题意可得f（x）=0有解，由a0，分a0，a0讨论可求解（2）f（x）在区间（0，1上单调递增，可得f（x）0在0，1上恒成立，从而转化为求函数的最值，可求解【解答】解：（1）由已知得f（x）=ax2+2bx+1，令f（x）=0，得ax2+2bx+1=0，f（x）要取得极值，方程ax2+2bx+1=0，必须有解，所以=4b24a0，即b2a，此时方程ax2+2bx+1=0的根为x1=，x2=，所以f（x）=a（xx1）（xx2）当a0时，x（，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）+00+f（x） 增函数极大值 减函数极小值 增函数所以f（x）在x1，x2处分别取得极大值和极小值当a0时，x（，x2）x2（x2，x1）x1（x1，+）f（x）0+0f（x）减函数极小值 增函数极大值 减函数所以f（x）在x1，x2处分别取得极大值和极小值综上，当a，b满足b2a时，f（x）取得极值（2）要使f（x）在区间（0，1上单调递增，需使f（x）=ax2+2bx+10在（0，1上恒成立即b，x（0，1恒成立，所以b设g（x）=，g（x）=+=，令g（x）=0得x=或x=（舍去），当a1时，01，当x（0，时g（x）0，g（x）=单调增函数；当x（，1时g（x）0，g（x）=单调减函数，所以当x=时，g（x）取得最大，最大值为g（）=所以b当0a1时，1，此时g（x）0在区间（0，1恒成立，所以g（x）=在区间（0，1上单调递增，当x=1时g（x）最大，最大值为g（1）=，所以b综上，当a1时，b；0a1时，b；22（14分）（2009山东）设mR，在平面直角坐标系中，已知向量a=（mx，y+1），向量b=（x，y1），ab，动点M（x，y）的轨迹为E（）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（）已知m=证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OAOB（O为坐标原点），并求该圆的方程；（）已知m=设直线l与圆