《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第三章

1 第三章第三章 习题 3 1习题 3 1 1 设 s 1 2 gt 求 2 d d t s t 解 2 22 2 1 2 1 4 2 2 limlim 22 tt t gg dss ts dttt t 2 1 lim 2 2 2 t g tg 2 设 f x 1 x 求 f x0 x0 0 解 1 2 11 fxx xx 00 2 0 1 0 fxx x 3 试求过点 3 8 且与曲线 2 yx 相切的直线方程 解 设 切 点 为 00 xy 则 切 线 的 斜 率 为 0 0 2 x x yx 切 线 方 程 为 000 2 yyx xx 由已知直线过点 3 8 得 000 82 3 yxx 1 又点 00 xy在曲线 2 yx 上 故 2 00 yx 2 由 1 2 式可解得 00 2 4xy 或 00 4 16xy 故所求直线方程为 44 2 yx 或168 4 yx 也即440 xy 或8160 xy 4 下列各题中均假定 f x0 存在 按照导数定义观察下列极限 指出 A 表示什么 1 0 lim x 00 f xxf x x A 2 f x0 0 0 lim xx 0 f x xx A 3 0 lim h 00 f xhf xh h A 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 2 解 1 0000 0 00 limlim xx f xxf xf xxf x fx xx 0 Afx 2 00 0 0 00 limlim xxxx f xf xf x fx xxxx 0 Afx 3 00 0 lim h f xhf xh h 0000 0 lim h f xhf xf xhf x h 0000 00 limlim hh f xhf xf xhf x hh 000 2 fxfxfx 0 2 Afx 5 求下列函数的导数 1 y x 2 y 32 1 x 3 y 322 5 xx x 解 1 1 2 yxx 11 22 11 22 yxx x 2 2 3 yx 225 1 333 35 222 33 3 yxxx x 3 215 2 362 yxxxx 15 66 65 11 6 6 yxx x 6 讨论函数 y 3 x在 x 0 点处的连续性和可导性 解 3 0 lim0 0 x xf 3 32000 0 01 limlimlim 0 xxx f xfx xx x 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 3 函数 3 yx 在0 x 点处连续但不可导 7 如果 f x 为偶函数 且 f 0 存在 证明 f 0 0 证 f x 为偶函数 fxf x 00 0 0 0 limlim 00 xx f xffxf f xx 0 0 lim 0 0 x fxf f x 即2 0 0f 故 0 0f 8 求下列函数在 x0处的左 右导数 从而证明函数在 x0处不可导 1 y 0 3 sin 0 0 0 x x x xx 2 y 1 0 0 0 1 e 0 0 x x x x x 3 y 0 2 1 1 1 x x x xx 解 1 3 2 000 0 0 0 limlimlim0 0 xxx f xfx fx xx 00 0 sin0 0 limlim1 0 xx f xfx f xx 0 0 ff 函数在0 x 处不可导 2 1 1 000 0 0 1 1 0 limlimlim1 0 1 x xxx x x f xf e f xx e 1 00 0 1 0 limlim0 0 1 xx x f xf f x e 0 0 ff 函数在0 x 处不可导 3 2 111 1 1 1 limlimlim 1 2 11 xxx f xfx fx xx 111 1 111 1 limlimlim 1121 xxx f xfx f xxx 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 4 1 1 ff 函数在1x 处不可导 9 已知 f x sin 0 0 x x x x 求 f x 解 当0 x 时 sin cosfxxx 当0 x 时 1fxx 00 0 sin 0 limlim1 0 xx f xfx f xx 00 0 0 limlim1 0 xx f xfx f xx 0 1 f 综上所述 cos 0 1 0 x x fx x 10 设函数 f x 2 1 1 xx axb x 为了使函数 f x 在 x 1 点处连续且可导 a b 应取什么值 解 为使 f x在1x 处连续 必须 1 0 1 0 1 fff 11 1 0 lim lim xx ff xaxbab 2 11 1 0 lim lim1 xx ff xx 1 1f 11abba 1 为了使 f x在1x 处可导 必须 1 1 ff 111 1 1 1 limlimlim 111 xxx f xfaxbaxa fa xxx 2 111 1 1 1 limlimlim 1 2 11 xxx f xfx fx xx 2a 代入 1 式得1b 当2a 1b 时 f x在1x 处连续且可导 11 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性 1 y sinx x 0 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 5 2 y 2 1 sin 0 0 0 0 xx xx x 点 3 y 1 1 2 1 x x x x x 点 解 1 000 lim lim sinlimsin0 0 xxx f xxxf f x 在0 x 处连续 又 00 sin limlim xx xy xx 00 sinsin limlim1 xx xx xx 00 sinsin limlim1 xx xx xx 所以 0 lim x y x 不存在 即 f x在0 x 处不可导 2 2 00 1 lim limsin0 0 xx f xxf x f x在0 x 处连续 2 000 1 sin0 0 1 limlimlim sin0 0 xxx x f xf x x xxx f x在0 x 处可导 3 11 lim lim 2 1 xx f xx 11 lim lim1 xx f xx 而 1 1f 1 0 1 0 1 fff 故 f x在1x 处连续 111 1 211 1 limlimlim1 111 xxx f xfxx f xxx 11 1 1 1 limlim1 11 xx f xfx f xx 1 1 ff 故 f x在1x 处不可导 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 6 12 证明 双曲线 xy a 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a 2 证 设 00 p xy是双曲线 2 xya 上任一点 则 2 00 x ya 该双曲线在 00 p xy 处切线的斜率 0 2 000 22 000 x x x yya ky xxx 该双曲线在 00 p xy 处切线的方程为 0 00 0 y yyxx x 令0 x 得该切线在y轴上的截距为 0 2y 令0y 得该切线在x轴上的截距为 0 2x 于是 它与两坐标轴构成的三角形 的面积 22 0000 1 22222 2 syxx yaa 13 垂直向上抛一物体 其上升高度与时间 t 的关系式为h t 10t 1 2 gt m 求 1 物体从 t 1 s 到 t 1 2 s 的平均速度 2 速度函数 v t 3 物体何时到达最高点 解 1 22 11 10 1 29 8 1 2 10 19 8 1 1 2 1 22 1 2 10 2 hh v 0 78 m s 2 10v th tgt 3 当 0v t 时 物体到达最高点 由 0v t 即100gt 得 1050 49 ts g 即上抛 50 49 时物体到达最高点 14 设物体绕定轴旋转 在时间间隔 0 t 内 转过角度 从而转角 是 t 的函数 t 如果旋转是匀速的 那么称 t 为该物体旋转的角速度 如果旋转是非匀速 的 应怎样确定该物体在时刻 t0的角速度 解 设从时刻 0 t到 0 tt 间转过的角度为 则 00 ttt 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 7 物体在时刻 0 t的角速度为 0 0 lim t t t dd t dtdt 15 设 T 表示重 1 单位的金属从 0 加热到 T 所吸收的热量 当金属从 T 升温到 T T 时 所需的热量为 T T T 与 T 之比称 为 T 到 T T 的平均比热 试解答如下问题 1 如何定义在 T 时 金属的比热 2 当 T aT bT 其中 a b 均为常数 时 求比热 解 1 应以 00 limlim TT QQ TTQ TdQ TTdT 定义金属的比热 2 当 2 Q TaTbT 时 比热为2 dQ abT dT 16 已知 f x 在 x x 点可导 证明 00 0 lim h f xhf xh h f x0 证 当0 0 时 00 0 lim h f xhf xh h 0000 0 lim h f xhf xf xhf x h 0000 00 limlim hh f xhf xf xhf x hh 000 fxfxfx 习题 3 2习题 3 2 1 求下列函数的导数 1 s 3lnt sin 7 2 y xlnx 3 y 1 x sinx 1 sinx 4 y 1 sin 1 cos x x 5 y tanx e 6 y secx x 3secx 7 y lnx 2lgx 3log2x 8 y 2 1 1xx 解 1 3 s t 2 ln ln ln yxxxxxx lnln1 22 xxx xxxx ln2 2 x x 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 8 3 22 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin yxxxxxx 2 1 sin 1 sin xxx 22 2 sin 1 sin 1 cos 1 sin 1 sin cos xxxxxxxxx 222 2 sin2 sincoscossin2sin2xxxxxxxxxx 4 2 1 sin 1 cos 1 sin 1 cos 1 cos xxxx y x 22 cos 1 cos 1 sin sin1 sincos 1 cos 1 cos xxxxxx xx 5 22 tan sec0secyxexx 6 2 secsec tansec 3 sec 3sec tan xxxxx yxxx xx 7 2 ln 2 lg 3 log yxxx 123123 1 ln10ln2ln10ln2xxxx 8 2 2222 1 21 1 1 xxx y xxxx 2 求下列函数在给定点处的导数 1 y xsinx 1 2 cosx 求 4 d d x y x 2 f x 3 5x 2 5 x 求 f 0 和 f 2 3 f x 2 54 1 43 1 xx xx x 求 f 1 解 1 11 sincossinsincos 22 dy xxxxxxx dx 4 13 sincos 1 244442 x dy dx 2 22 3 5 232 5 5 5 5 x fxxx xx 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 9 317 0 2 2515 ff 3 111 1 54 15 1 1 limlimlim5 111 xxx f xfxx f xxx 2 111 1 431 41 1 1 limlimlim 111 xxx f xfxxxx f xxx 1 lim 41 5 x x 1 1 1 5fff 3 设 p x f1 x f2 x fn x 0 且所有的函数都可导 证明 12 12 n n fxfxfxp x p xf xfxfx 证 12123 nn p xfx fxfxf x fx fxfx 121 nn f x fxfx fx p x p x 1212311 12 nnnn n fx fxfxf x fx fxfxf xfx fx f x fxfx 12 12 n n fxfxfx f xfxfx 4 求下列函数的导数 1 y 3 e x 2 y arctanx 2 3 y 21 e x 4 y 1 x 2 ln x 2 1x 5 y x 2 sin 2 1 x 6 y cos 2ax3 a 为常数 7 y arccos 1 x 8 y arcsin 2 x 2 9 y 2 1 ln x 10 y sinnx cosnx 11 y 11 11 xx xx 12 y arcsin 1 1 x x 13 y lncosarctan shx 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 10 14 y 2 x 22 ax 2 2 a arcsin x a a 0 为常数 解 1 33 3 3 xx yexe 2 2 44 12 11 x yx xx 3 2121 1 21 21 2 21 xx yexex x 2121 11 2 2 2121 xx ee xx 4 2222 1 ln 1 1 ln 1 yxxxxxx 2 22 2 1 2 ln 1 1 1 x xxxxx xx 2 2 22 11 2 ln 1 12 12 1 x xxxx xxx 22 2 22 11 2 ln 1 11 xxx xxx xxx 22 2 ln 1 1xxxx 5 22 22 11 sin sin yxx xx 2 222 111 2 sincos xx xxx 2 223 112 2 sincosxx xxx 22 121 2 sincosx xxx 6 33333 2cos cos 2cos sin yaxaxaxaxax 23 3sin2axax 7 2 222 2 111 1 11 1 xx y xx xxx x 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 11 8 22 2arcsin 1 2 2arcsin arcsin 2arcsin 2222 4 1 4 x xxxx y xx 9 2 222 111ln 1 ln 2ln 2 1 ln2 1 ln1 ln x yxx x xxxx 10 1 sincoscossin sin nn ynxxnxxnx n 1 sin cos cossin sin n nxxnxxnx 1 sincos 1 n nxn x 11 2 11 11 11 11 11 xxxxxxxx y xx 2 1111 11 11 2 12 12 12 1 11 xxxx xxxx xx 22 2 22 11 11 2 2 11 11 1 11 xxxx xxxx xxx 2222 21 1 22 1 11xxxx 12 11111 12111 12 11 xxx y xxxxx xx 2 111 1 1 1 221 1 xxxx xxx 2 1112 221 1 xx xxx 1 1 2 1 xxx 13 1 cosarctan cosarctan yshx shx 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 12 1 sinarctan arctan cosarctan shxshx shx 2 1 tan arctan 1 shxshx sh x 22 1 shxshx chx chxthx sh xch x 14 2 22 22 2 1211 222 2 1 xxa yax ax ax a 2222 2222 2 22 axxa axax 22 ax 5 y arccos 3 3 x 6x x 求 3x y 解 2 1316 2 36 3 2 1 9 xx y xx x x 2 2 11 1 6 1 36 3 1 9 xxx xx x 2 2 16 6 9 3 x xx x 3 2 1631 9633 90 x y 6 试求曲线 y x e 3 1x 在点 0 1 及点 1 0 处的切线方程和法线方程 解 2 3 3 1 1 1 1 3 xx yexex 3 2 3 1 1 3 1 x ex x 0 2 3 x y 故曲线在 0 1 点的切线斜率 2 3 k 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 13 曲线在 0 1 点的切线方程为 2 1 3 yx 即2330 xy 法线方程为 3 1 2 yx 即3220 xy 又 1x y 此时 曲线具有垂直于 x 轴的切线 x 1 其法线为 y 0 7 设 f x 可导 求下列函数 y 的导数 d d y x 1 y f x 2 2 y f sin2x f cos2x 解 1 222 2 dy fxxxfx dx 2 2222 sin sin cos cos dy fxxfxx dx 22 sin 2sin cos cos 2cos sin fxxxfxxx 22 sin2 sin cos x fxfx 8 求下列隐函数的导数 1 x 3 y3 3axy 0 2 x yln xy 3 xey yex 10 4 ln x 2 y2 2arctany x 5 xy ex y 解 1 方程两边对 x 求导 得 22 33330 xyyayaxy 解得 2 2 xay y axy 2 0 axy 2 方程两边对 x 求导 得 1 1ln yxyyxyy xy 即1ln y yxyy x 即 1 ln xy y xxy 1 ln 0 xxy 3 方程两边对 x 求导 得 0 yyxx exeyy eye 解得 0 yx yx yx eye yxee xee 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 14 4 方程两边对 x 求导 得 2222 2 11 22 2 1 xyy xy y yxyx x 即 2222 xy yxyy xyxy 即xy yxyy 即 0 xy yxy xy 5 方程两边对 x 求导 得 1 x y yxyey 解得 x y x y ey y xe 0 x y xe 9 用对数求导法求下列函数的导数 1 y 4 5 2 3 1 xx x 2 y cos sin x x 3 y 2 e 3 5 4 x x xx 解 1 两边取得对数 得 1 lnln 2 4ln 3 5ln 1 2 yxxx 上式两边对 x 求导 得 1115 2 2 4 3 1 y yxxx 所以 4 5 2 3 115 1 2 2 4 3 1 xx y xxxx 2 两边取得对数 得 lncoslnsinyxx 上式两边对 x 求导 得 11 sin lnsincoscos sin yxxxx yx 即 2 1cos sinlnsin sin x yxx yx 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 15 所以 2 cos cos sin sinlnsin sin x x yxxx x 3 两边取得对数 得 11 ln2ln 3 ln 5 ln 4 22 yxxxx 上式两边对 x 求导 得 1111 2 32 5 2 4 y yxxx 2 3 111 2 32 5 2 4 5 4 x ex y xxxxx 10 求下列参数方程所确定的函数的导数 d d y x 1 cossin sincos xabtbat yabtbat a b 为常数 2 1 sin cos x y 解 1 cossincossin sincoscossin dy dyabbtabatbtat dt dx dxabbtabatatbt dt 2 cossincossin 1 sin cos 1 sincos dy dy d dx dx d 11 已知 e sin e cos t t xt yt 求当 t 3 时 d d y x 的值 解 cossincossin sincoscossin tt tt dy dyetettt dt dx dxetettt dt 3 cossin 13 33 32 13 cossin 33 t dy dx 习题3 3习题3 3 1 设 f x ln 1 x 求 f n x 解 1 1 fx x 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 16 2 1 1 fx x 23 12 1 1 fx xx 设 1 1 1 1 kk k k fx x 则 1 11 1 1 1 kkkk fxfxkkx 1 1 1 k k k x 由数学归纳法知 1 1 1 1 nn n n fx x 1 2 3 n 2 设 y 1 axb a 0 求 y n 并由此求 f x 2 1 1x 的 n 阶导数 f n x 解 12 1 yaxbaxba 23223 1 2 1 2 yyaaxbaaxb 334 1 3 yya axb 设 1 1 kkkk yk aaxb 则 1 2 1 1 kkkkk yyk akaxba 11 2 1 1 kkk kaaxb 由数学归纳法知 1 1 nnnn yn aaxb 1 2 n 由上述结论有 1 1 11 1 1 1 1 1 nnnn n n xn xx 1 1 11 1 1 1 1 1 nnnn n n xn xx 而 2 1111 12 1 1 f x xxx 1111 2121 nnn fx xx 11 1 11 2 1 1 n nn n xx 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 17 3 求下列函数在指定点的高阶导数 1 f x 2 1 x x 求 f 0 2 f x 21 e x 求 f 0 f 3 0 3 f x x 10 6 求 f 5 0 f 6 0 解 1 2 22 22 22 1 121 2 11 11 x xxxx xx fx xx 3 2 2 22 1 1 1 1 x xx 5 2 2 3 1 2 2 fxxx 5 2 2 3 0 1 0 2 00 2 f 2 2121 21 2 xx fxexe 21 4 x fxe 3 21 8 x fxe 2 0 1 4 4fxe e 3 2 0 1 8 0 8fe e 3 54 6 1 6 5 1 fxxfxx 3 4 2 6 5 4 1 6 5 4 3 1 fxxfxx 5 6 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 16 fxxfx 5 6 0 6 5 4 3 2 16 720 0 6 720ff 4 求下列方程所确定的隐函数 y y x 的二阶导数 2 2 d d y x 1 b 2x2 a2y2 a2b2 2 y 1 xey 3 y tan x y 4 y 2 2lny x4 解 1 方程两边对 x 求导 得 22 220b xa y y 由此得 2 2 b x y a y 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 18 式两边再对 x 求导 得 2222 2220ba ya y y 将 2 2 b x y a y 并注意到 222222 b xa ya b 得 2224222222 4343 a b yb xba yb x y a ya y 2224 4323 b a bb a ya y 2 方程两边对 x 求导 得 yy yexey 解得 12 yy y ee y xey 式两边再对 x 求导 得 2 2 yyy yeyxeyxey 得 2 222 3 2 1 2 3 2 2 12 2 yy y yyy y ee ey eyxeyeyyy y xeyy 3 方程两边对 x 求导 得 2 sec 1 yxyy 可解得 2 2 2 sec csc 1 sec xy yxy xy 2csc csc cot 1 yxyxyxyy 22 2csc cot 1 csc xyxyxy 22 2csc cot cot xyxyxy 23 2csc cot xyxy 4 方程两边对 x 求导 得 3 2 24y yyx y 可解得 3 2 2 1 x y y y 32323 222 2 62 1 22 1 1 x yx yx yyx yy y y yy 33 23232 22 22 22 62 1 4 11 1 x yx y x yxyx y yy y 2226263 2 3 6 1 4 1 8 1 x yyx yyx y y 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 19 222663 2 3 6 1 44 1 x yyx yx y y 5 求下列由参数方程所确定函数的二阶导数 2 2 d d y x 1 sin 1 cos xa tt yat a 0 为常数 2 xf t ytf tf t 其中 f t 存在且非 解 1 1 cos sinsin sin 1 cos 1 cos dyatatt dxa ttatt 得到参数方程 sin sin 1 cos xa tt t y x t 故 2 2 sin1 1 cos1 cos sin 1 cos t d y tt y x dxa ttat 2 1 1 cos at 2 dytf tf tf ttftf t t dxf tft 得到参数方程 xf t y xt 故 2 2 1 d yt dxf tft 6 已知 f x 存在 求 2 2 d d y x 1 y f x 2 2 y lnf x f x 解 1 2 2 dy fxx dx 2 22 2 22 2 d y fxxxfx dx 222 4 2 x fxfx 2 1 dyfx fx dxf xf x 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 20 22 222 d yfxfxf xfxfxfxf xfx dxf xfxfx 7 设 y y x 的反函数为 x x y 且 y x 0 y x 存在 试由反函数导数公式 d1 d x yy x 导出 2 2 d d x y 3 y y 证 2 223 11 d xddxddxyy dydy dydx ydyyyy 8 试用数学归纳法证明莱布尼茨高阶导数公式 若 u u x 和 v v x 在点 x 处有 n 阶导数 则 u v n 0 C n kkn k n k uv 其中 u 0 u v 0 v Ck n 1 1 n nnk k 证 当1n 时 由 uvu vuv 知公式成立 设当nk 时公式成立 即 1 2 0 1 2 k kik iikkkk k i k k yC uvuvkuvuvu v 两边求导 得 1 1 1 kkkkk yuvuvk uvuv 1 2 1 1 2 kkkk k k uvuvu vuv 1 1 1 0 k ikii k i Cuv 即1nk 时公式也成立 由数学归纳法知 对于一切自然数n公式都成立 即 0 n nkkn k n k u vC uv 习题3 4习题3 4 1 在括号内填入适当的函数 使等式成立 1 d costdt 2 d sin xdx 3 d 1 1x dx 4 d 2 e x dx 5 d 1 x dx 6 d sec xdx 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 21 7 d 1 x lnxdx 8 d 2 1 x x dx 解 1 sin costCt sin cosdtCdt 2 1 cos sinxCx 1 cos sindxCxdx 3 1 ln 1 1 xC x 1 ln 1 1 dxCdx x 4 22 1 2 xx eCe 22 1 2 xx deCedx 5 1 2 xC x 1 2 dxCdx x 6 2 1 tan3 sec 3 3 xCx 2 1 tan3 sec 3 3 dxCxdx 7 2 11 ln ln 2 xCx x 2 11 ln ln 2 dxCxdx x 8 2 2 1 1 x xC x 2 2 1 1 x dxCdx x 2 根据下面所给的值 求函数 y x 的 y dy 及 y dy 1 当 x 1 x 0 1 时 2 当 x 1 x 0 01 时 解 222 1 1 2 yf xxf xxxxx xx 22dyfx dxxdxxx 22 2 2 ydyxxxx xx 1 当1 0 1xx 时 2 2 1 0 1 0 1 0 21y 2 1 0 10 2dy 2 0 1 0 01ydy 2 当1 x 0 01x 时 2 2 1 0 01 0 01 0 0201y 2 1 0 010 02dy 2 0 01 0 0001ydy 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 22 3 求下列函数的微分 1 y xex 2 y ln x x 3 y cosx 4 y lntan 5 x 5 y ln tan 24 6 y 8xx 6 2 e x 7 y 2 arcsin arctan xx 解 1 1 xxxxxx dyd xexd ee dxx e dxe dxex dx 2 22 1 ln ln ln ln xdxxdx xxdxxdx x dyd xxx 2 1 ln x dx x 3 1 cos sin sin 2 dydxxdxxdx x sin 2 x dx x 4 lntanlntan 5 5ln5 lntan xx dyddx lntan 1 5ln5 tan tan x dx x lntan2 1 ln5 5sec tan x xdx x lntan 1 2ln5 5 sin2 x dx x 5 1 ln tan tan 2424 tan 24 xx dydd x 2 1 sec 2424 tan 24 xx d x 2 11 sec 242 tan 24 x dx x 11 sec cos sin 2 dxdxxdx x x 6 22ln2 86 8 6 8 6 2 xxxxxxx dydxed xd ed ee dx 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 23 ln22 1 8 ln 128 ln 12 xxxxx ed xxe dxxxdxx dxe dx x 2 8 1 ln 12 xx xxedx 7 22 arcsin arctan arcsin arctan dydxxdxdx 1 arcsin 2arctan arctan 2 arcsin dxxdx x 2 2 12arctan 1 2 arcsin1 x dxdx x xx 2 2 12arctan 1 2 arcsin1 x dx x xx 4 求由下列方程确定的隐函数 y y x 的微分 dy 1 y 1 xey 2 22 22 1 xy ab 3 y x 1 2 siny 4 y 2 x arccosy 解 1 方程两边微分 得 yy dyxd ee dx 即 yy dyxe dye dx 1 y y e dydx xe 2 方程两边微分 得 22 22 0 xy dxdy ab 2 2 b x dydx a y 3 方程两边微分 得 1 sin 2 dydxdy 即 1 cos 2 dydxydy 2 2cos dydx y 4 方程两边微分 得 2 arccos d yxdy 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 24 即 2 1 2 1 ydydxdy y 2 2 1 121 y dydx yy 5 利用微分求下列各数的近似值 1 3 8 1 2 ln0 99 3 arctan1 02 解 1 设 3 f xx 则 2 3 1 3 fxx 令 0 8x 0 1x 则 3 000 8 1 f xxf xfxx 2 3 3 1 880 12 0083 3 2 设 lnf xx 则 1 fx x 令 0 1x 0 01x 则 000 ln0 99 f xxf xfxx 1 ln1 0 01 0 01 1 3 设 arctanf xx 则 2 1 1 fx x 令 0 1x 0 02x 则 000 2 1 arctan1 02 arctan10 02 1 1 f xxf xfxx 1 0 020 78540 010 7954 42 6 试利用结论 若 f x 可导 则当 x 很小时 有 f x f 0 f 0 x 证明下列 近似公式 1 当 x 很小时 sinx x 2 当 x 很小时 ex 1 x 3 设 a 0 且 b 与 an相比是很小的量 则 nn ab a 1n b na 证 1 设 sinf xx 则 cosfxx 当x很小时 由 0 0 f xffx 有sinsin0cos00 1xxxx 即sin xx 2 设 x f xe 则 x fxe 微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案 本文档由天天l e a r n 提供 查看其他章节请点击h t t p w w w t t l e a r n n e t h t m l 69 n 69 h t m l 25 当x很小时 由 0 0 f xffx 有 00 1 x eeexx 即1 x ex 3 1 1 nnnn n nn bb abaa aa b 与 n a相比是很小的量 n b a 很小 设 1 n f xx 则 1 1 1 1 nfxx n 当x很小时 由 0 0 f xffx 有 1 1