三角函数历年真题解析版

. . . .专题一 三角函数【知识点回顾】1、角的概念、正角、负角、零角.2、角的表示：（1）终边相同的角：与角终边相同的角的集合（连同角在内），可以记为k360，kZ。（2）象限角：顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，则终边落在第几象限，就称这个角是第几象限的角。 请写出各象限角的集合。（3）轴线角：顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，则终边落在坐标轴上的角叫轴线角。请写出各轴线角的集合。（4）区间角、区间角的集合： 角的量数在某个确定的区间内（上），这角就叫做某确定区间的角由若干个区间构成的集合称为区间角的集合3、角度制、弧度制及互换： 1rad57.30=5718， 10.01745（rad）4、弧长公式：，扇形面积公式：5、三角函数的定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则, ,tan,cot,sec,csc.6、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）7、三角函数线 正弦线：MP；余弦线：OM；正切线： AT。8、同角三角函数的基本关系式：，=，9、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限），10、和角与差角公式 ;；(平方正弦公式)；=(辅助角所在象限由点的象限决定, )。11、二倍角公式及降幂公式 ；。12、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质 图象定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴13、三角函数的周期公式 函数，xR及函数，xR(A,为常数，且A0)的周期；函数，(A,为常数，且A0)的周期14、正弦定理：（R为外接圆的半径）15、余弦定理；。16、面积定理（1）（分别表示a、b、c边上的高）。（2）。 (3)。17、三角形内角和定理 在ABC中，有。18、常见三角不等式（1）若，则；(2) 若，则；(3) 。【考点剖析】一、选择题1、设，且，则. . . .答案B 2、若，则（）A、1 B、2 C、3 D、4【答案】C【解析】，3、在中，BC边上的高等于,则 （A） （B） （C） （D）【答案】C试题分析：设边上的高线为，则，所以，由余弦定理，知，故选C来源:学*科*网Z*X*X*K4、如图，长方形的边，是的中点，点沿着边，与运动，记将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）答案 B【解析】由已知得，当点在边上运动时，即时，；当点在边上运动时，即时，当时，；当点在边上运动时，即时，从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B5. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在0,上的图像大致为【解析】如图所示,当时,在中,在中,；当时,在中,在中,所以当时,的图象大致为C,6、已知，函数在上单调递减。则的取值范围是（ ） 【解析】选 不合题意 排除 合题意 排除另：， 得： 7、 设函数的最小正周期为，且，则 （A）在单调递减 （B）在单调递减 （C）在单调递增（D）在单调递增答案 A 8、函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8答案 D9已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.10、已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（A）11 （B）9 （C）7 （D）5【答案】B11.设函数，则的最小正周期（）A与b有关，且与c有关 B与b有关，但与c无关C与b无关，且与c无关 D与b无关，但与c有关【答案】B试题分析：，其中当时，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期故选B12.已知函数（，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）（A） （B）（C） D）【答案】A【解析】由题意，所以，则，而当时，解得，所以，则当，即时，取得最大值.要比较的大小，只需判断与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知与比较近，与比较近，所以，当时，此时，当时，此时，所以，故选A.2、 填空题1.在平面四边形ABCD中，A=B=C=75，BC=2，则AB的取值范围是 . 【答案】（，）试题分析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在BCE中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在BCF中，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.2.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .答案3.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b= .【答案】4.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=_.【答案】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，这样.5.在锐角三角形中，若，则的最小值是_.【答案】8.【解析】，因此，即最小值为8.6.在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_.【答案】【解析】由正弦定理得，即，解得，从而，所以，.7.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 _m. 【答案】8.已知ABC，AB=AC=4，BC=2点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则BDC的面积是_，cosBDC=_【答案】试题分析：取BC中点E，DC中点F，由题意：，ABE中，又，综上可得，BCD面积为，3、 解答题1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为. （1）求sin Bsin C;（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求ABC的周长.【解析】（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.2中，是上的点，平分，面积是面积的2倍（） 求；（）若，求和的长【解析】（），因为，所以由正弦定理可得（）因为，所以在和中，由余弦定理得，由（）知，所以3.在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（II）若，求.【答案】（）证明详见解析；（）4.【解析】试题分析：（）已知条件式中有边有角，利用正弦定理，将边角进行转化（本小题是将边转化为角），结合诱导公式进行证明；（）从已知式可以看出首先利用余弦定理解出cosA=，再根据平方关系解出sinA，代入（）中等式sin AsinB=sin AcosB+cosAsinB，解出tanB的值.试题解析：（）根据正弦定理，可设=k(k0)则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC（）由已知，b2+c2a2=bc，根据余弦定理，有cosA=所以sin A=由（），sin AsinB=sin AcosB+cosAsinB，所以sin B=cosB+sin B，故4.设的内角，的对边分别为，且为钝角.（1）证明：；（2）求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.试题分析：（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为，再结合条件从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将转化为只与有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解.试题解析：（1）由及正弦定理，得，即，又为钝角，因此，故，即；（2）由（1）知，于是，因此，由此可知的取值范围是.5.已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.()求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；()已知关于的方程在内有两个不同的解（1)求实数m的取值范围；（2)证明：【答案】() ，；()（1）；（2）详见解析【解析】解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为(2)1) （其中）依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是.当时, 所以解法二：(1)同解法一.(2)1) 同解法一.2) 因为是方程在区间内有两个不同的解，所以，.当时，当时, 所以于是【考点精炼】一、选择题1sin20cos10-con160sin10= （A） （B） （C） （D）【答案】D试题分析：原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=，故选D.2.若cos()=，则sin 2=（A） （B） （C） （D）【答案】D试题分析： ，且，故选D.3.若 ，则 (A) (B) (C) 1 (D) 【答案】A试题分析：由，得或，所以，故选A4. =( )（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】原式= =，故选D.5.“”是“”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以或，因为“”“”，但“”“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A6.在中，BC边上的高等于,则 （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：设边上的高线为，则，所以，由余弦定理，知，故选C来源:学*科*网Z*X*X*K7.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=( )A. 5B. C. 2D. 1答案B 8.若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为（A）x=(kZ) （B）x=(kZ) （C）x=(kZ) （D）x=(kZ)【答案】B试题分析：由题意，将函数的图像向左平移个单位长度得函数的图像，则平移后函数图像的对称轴为，即，故选B.9.函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为(A)（k-14,k+34,）,kz (b)（2k-14,2k+34）,kz(C)（k-14,k+34）,kz (D)（2k-14,2k+34）,kz【答案】D试题分析：由五点作图知，解得，所以，令，解得，故单调减区间为（，），故选D.10.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A5 B6 C8 D10【答案】C【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C【考点定位】三角函数的图象与性质【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法本题从图象中可知时，取得最小值，进而求出的值，当时，取得最大值11.设函数，则下列结论错误的是A的一个周期为 B的图像关于直线对称C的一个零点为 D在(,)单调递减【答案】D【解析】当 时， ，函数在该区间内不单调.12.设函数，其中，.若，且的最小正周期大于，则（A），（B），（C），（D），【答案】13.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度【答案】D试题分析：由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.14.函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx sinx）的最小正周期是（）（A）（B） （C）（D）2【答案】B试题分析：,故最小正周期,故选B.15.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（）A. B. C. D.【答案】D.试题分析：向右平移个单位后，得到，又，不妨，又，故选D.2、 填空题1函数的最大值是_【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则，由可得，当时，函数取得最大值12.设为第二象限角，若，则_答案 3.已知,则 .【答案】【解析】由,得,故,.4.已知为第三象限的角，,则 .答案 5. .【答案】.【解析】法一、.法二、.法三、.6.函数的图像可由函数的图像至少向右平移_个单位长度得到【答案】试题分析：因为，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到7.在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_.【答案】【解析】由正弦定理得，即，解得，从而，所以，.8.在中，则【答案】13、 解答题1.的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若，的面积为，求2.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，a=2,b=2.（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求ABD的面积.3.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （I）求C；（II）若的面积为，求的周长【答案】（I）（II）【解析】试题解析：（I）由已知及正弦定理得，故可得，所以4. 在内角的对边分别为，已知 （）求； （）若，求面积的最大值5.如图，在ABC中，ABC90，AB=，BC=1，P为ABC内一点，BPC90(1)若PB=，求PA；(2)若APB150，求tanPBA解析（）由