有理数巧算.doc

【同步教育信息】一. 本周教学内容：有理数的混合运算简便运算技巧（2）二. 重点、难点：有理数运算是中学数学中一切运算的基础，准确地理解有理数相关的概念，以及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择简捷的算法，可以很好地提高思维的敏捷性。将现实中的问题与学习中的知识相结合，并合理的解决它，你会发现数学的很多乐趣。三. 我们的目标：当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的概念。整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都可以表示为一个既约分数均为整数且互素）。并且，有理数可以比较大小，有理数的和、差、积、商（分母不为零）仍为有理数，任意两个有理数之间都有无穷个有理数，有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则，公式等正确、迅速地进行运算，同时还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。【典型例题】一. 巧用错位相减例1. ；解： 原式或者用下面的“错位相减法”求和。令，则将这两式错位相减得即再将这两式错位后式减去前式得 二. 巧用分析法例2. 解：考察第n项n（n+1）如何分析，仔细观察后会发现： 原式 说明：分析和错位相减是有理数运算中常用的技巧，在解题中应注意总结归纳规律，力求灵活应用。 三. 巧换元例3. 计算：解：设，则原式例4. ；解：直接计算较繁，仔细观察分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为，即原式分母的值是1。原式=24690。四. 巧相约例5. 计算：解：原式五. 巧用倒序配对例6. 计算：解：设原式，对括号内各项倒序排列后，再设，则：所以所以原式六. 巧用倒数法例7. 计算分析：因为与互为倒数，而比较容易计算，故此题只需先计算出后部分的结果即可。解：因为 原式【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 计算：2. 计算：3. 计算：4. 计算：【试题答案】1. 解：设（1）则（2）则得：即（含整体思想）2. 解：令 则原式3. 解：令19991998=a，则原式=4. 解：设，把等式右边倒序排列，得将两式相加，得即， 原式4005【励志故事】现代剥夺有一出著名的西方荒诞剧，叫椅子，其内容发人深省。一对老年夫妇一个劲地往屋里搬椅子，说是要等待一个前来演讲的人，就这么搬呀搬呀，直到搬得满屋都是椅子。至于结果，则是满屋的椅子“剥夺”了他们最后一点生存空间，那个虚无的人没来，他们自己却被“椅子”赶了出去，失去了他们赖以生存的自由窝。这就是内涵极厚重的现代戏，它昭示的主题是：在现代，常常不是人“压迫”了椅子，而是椅子“剥夺”了人！于是，想起了种种颇具现代文明色彩的“现代剥夺”！比如电视是现代文明的产物，但你若只迷恋看电视而不再愿意看书，你就会在无形中被剥夺了“思索”与“再创造”的能力。再如，自打有了快速便捷的现代通讯手段，人们就动辄打手机打电话，呼BP机，不再喜欢动手写信了。当您在享受现代文明时，千万别忘了您的创造精神与主动精神，换言之，谁忘了这一点，谁就会被现代文明“甜美地”剥夺一次！灵活运用有理数运算方法的进行解题江苏 丁小平 有理数的运算是初中代数运算中的基础运算，它有一定规律和技巧.只要认真分析和研究题目的内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高.下面介绍几种运算技巧.一. 巧用运算律例1. 计算思路分析 本题既有分数又有小数，把小数化成分数较易，本题还可运用运算律使运算更简便.解；原式= 二. 巧用添项法例2 计算分析：观察算式的特征，发现将算式添上9，8，7，6，5的和，利用加法结合律可以使运算简便快捷.解：原式三. 巧用配对的方法例3 与相比较，哪个更大？为什么？解：设构造对偶式那么而Am时，解：原式 说明：形如的分数，可以拆成的形式.六. 巧用反序相加减的方法例6. 计算_分析：把括号中的各项倒序排列后，再与原式相加，把分数相加变为整数相加，运算变得简单易行.解：设又两式相加得又上面两式相加得故S612.5七. 巧用整体换元法例7. 计算分析：本题目从结构上看相当繁琐，因此要选择恰当的方法进行计算.不妨巧用整体换元法，那么本题就不难解决了，计算就简便了.解：令则原式七年级数学有理数的混合运算简便运算技巧（1）江苏科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：有理数的混合运算简便运算技巧（1）“算对与算巧”求的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。二. 重点、难点：有理数运算是代数中最基本的运算，若能根据题目特点灵活掌握运用一些技巧，不仅可提高运算速度和准确率，还可培养学生善于思考的好习惯，有利于思维能力的培养，现介绍几种有理数运算中的解题技巧。三. 基础回顾：（1）有理数的运算法则： 加法法则：同号相加一边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑。 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。0乘任何数都得0。 除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。0不能作除数。 有理数的乘方运算：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 （2）运算律： 加法交换律：abba。 加法结合律：（ab）ca（bc）。 乘法交换律：abba。 乘法结合律：（ab）ca（bc）。 乘法对加法的分配律：a（bc）abac。 （3）运算顺序及注意事项： 有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。这样可以防止出错。 对含有三级运算的情况，按先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序。同级运算从左到右依次运算。有括号时按小、中、大括号顺序进行，有时也可灵活去括号。 应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。【典型例题】一. 符号与括号有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入，符号“”与“”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。例1. 计算分析：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的1。解：下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是个（1）的和，即；当n为奇数时，上式是个（1）的和，再加上最后一项，所以有说明：两种情况可以合并为：二. 巧添辅助数例2. 计算：解：原式三. 巧用整体例3 购买5种物品，的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种物品各一件共需多少元？解：由已知表格：购买1件，3件，4件，5件，6件共需1995元；所以购买2件，6件，8件，10件，12件共需21995元；又因为购买1件，5件，7件，9件，11件共需2984元；所以购买每种物品各一件共需2199529841006（元）说明：设购买物品i1，2，3，4，5则 ，由 2 得需要指出的是：我们无法计算每个，但我们能巧算出这个整体，整体思维常常会帮助我们算对，算快和算得巧妙。四. 巧用凑整运算例4. 计算：解：原式五. 巧用公式例5. 计算：解：原式说明：平方差公式：例6. 计算：解：原式说明：立方差公式： 立方和公式： 完全平方公式： ， 六. 巧用拆项法例7. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题）计算 _分析：直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为，而，同理，那么本题就不难解决了。解：原式说明：形如的分数，可以拆成的形式。例8. 解：应用关系式 来进行“拆项”。原式【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 计算：2. 已知0为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为1、2，设P1为AB的中点，P2为AP1的中点，P100为P99