海淀区高三年级第一学期期中练习(2).doc

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2008.11学校 班级 姓名题号一二三总分（15）（16）（17）（18）（19）（20）分数一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，4，5，集合B=2，3，4，那么集合1，5等于 ( )(A)A(UB)(B) U (AB)(C) U(AUB) (D)A (UB)(2)若a，bR，则“a2b2”是“ab”的 ( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(3)已知等比数列an中，a1a5=4，那么a1a2a3a4a5等于 ( )(A)64 (B)64(C)32(D)32(4)若函数f(x)=ax-1的图象经过点(2，4)，则f-1(2)的值是 ( )(A) (B)(C)2(D)4(5)如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学 校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 ( )(A)50种(B)60种(C)120种(D)210种(6)已知关于x的方程x2-kx+k+3=0(kR)有两个正根，那么这两个根的倒数和的最小值是 ( )(A)2(B)(C)(D)1(7)已知函数f (x)的图象如图所示，f (x)是函数f (x)的导函数，且y=f (x+1)是奇函数，那么下列结论中错误的是 ( )(A)f (1x)+f (x+1)=0(B)f (x)(x1)0(C)f (x)(x1)0(D)f (x)=f (0)(8)已知等差数列an的通项公式an=2n1(n=1，2，3，)，记T1=a1，Tn= (n=2，3，)，那么T2n= ( )(A)2n+1(B)n6(C)(D)3n2+2n，n为奇数，n为偶数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.(9)= .(10)已知复数=a+bi(a，bR，i为虚数单位)，那么a+b= .(11)()6的展开式中常数项是 . (用数字作答)(12)已知等差数列an中，S1=1，S19= 95，那么S10= .(13)设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立.若甲、乙各射击一次，则甲命中但乙未命中目标的概率是 ；若按甲、乙、甲的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时甲射击了两次的概率是 .(14)定义在实数集R上的函数f (x)，如果存在函数g (x)=Ax+B(A，B为常数)，使得f (x)g (x)对一切实数x都成立，那么称g (x)为函数f (x)的一个承托函数.下列说法正确的有： . (写出所有正确说法的序号)对给定的函数f (x)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；g (x)=ex为函数f (x)=ex的一个承托函数；函数f (x)=不存在承托函数；函数f (x)=，若函数g (x)的图象恰为f (x)在点P (1，)处的切线，则g (x)为函数f (x)的一个承托函数.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)(本小题共12分) 已知关于x的不等式组，其中a0.()求不等式的解集；()若不等式组的解集为空集，求实数a的取值范围.(16)(本小题共13分) 已知函数f (x)=x22ax，把函数f (x)的图象向左平移一个单位得到函数y=g (x)的图象，且y=g (x)是偶函数.()求a的值；()设函数F (x)=f (x)g (x)+1，求函数F (x)在区间1，3上的最大值和最小值.(17)(本小题共13分) 设数列an的前n项和为Sn，且满足S1=2，Sn+1=3Sn+2 (n=1，2，3，).()证明数列an是等比数列并求通项an；()求数列nan的前n项和Tn.(18)(本小题共14分) 某中学已选派20名学生观看当地举行的三场(同时进行)比赛，名额分配如下：足球跳水柔道1064()从观看比赛的学生中任选2人，求他们恰好观看的是同一场比赛的概率；()从观看比赛的学生中任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；()如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛(假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的)，记观看足球比赛的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望.(19)(本小题共14分) 已知函数f (x)=x2ax+bln(x+1)，(a，bR，且a2).()当b=1且函数f (x)在其定义域上为增函数时，求a的取值范围；()若函数f (x)在x=1处取得极值，试用a表示b；()在()的条件下，讨论函数f (x)的单调性.(20)(本小题共14分) 设f (x)是定义在区间D上的函数，若对任何实数 (0，1)以及D中的任意两个实数x1，x2，恒有f (xl+(1)x2)f (x1)+(1)f (x2)，则称f (x)为定义在D上的C函数.()试判断函数f1(x)=x2，f2(x)=(x0)是否为各自定义域上的C函数，并说明理由；()已知f (x)是R上的C函数，m是给定的正整数，设an=f (n)，n=0，1，2，m，且a0=0，am=2m，记Sf=a1+a2+am.对于满足条件的任意函数f (x)，试求Sf的最大值；()若g (x)是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明g (x)不是R上的C函数.海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2008.11参考答案及评分标准一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案ADCBCBBD二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) (9) (10)1 (11)60 (12)30 (13)(3分)；(2分) (14)三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)(15)(本小题满分12分)解：()由0得 2x2. 4分 即不等式的解集是x|2x2. 5分 ()由x2+(3a)x3a0，a0得 x3或xa. 9分 原不等式组的解集为空集， 不等式与不等式的解集的交集为空集. 11分 a2. 12分 (注：若答案中少等号，只有a2，扣1分)(16)(本小题满分13分)解：()由题意得g (x)=f (x+1)=x2+2(1a)x2a+1. 2分 y=g (x)是偶函数， 1a=0. a=1. 4分 ()由()知f (x)=x22x,g (x)=x21. F(x)=f (x)g (x)+1=x42x3. 5分F(x)=4x36x2=2x2(2x3). 6分 令 2x2(2x3)=0得x1=x2=0，x3=.8分 方法一：当x在1，3上变化时，F(x)，F(x)的变化情况如下表x13F(x)F(x)127 12分 函数y=F (x)在区间1，3上的最大值、最小值分别是27、.13分 方法二：函数y=F(x)在区间1，3内只有一个极值点，因此函数y=F(x)在区间1，3上的最小值是，最大值是F(1)，F(3)中的较大者，即F(3)=27. 13分(17)(本小题满分13分)证明：()Sn+1=3Sn2(n=1，2，)， Sn=3Sn12(n=2，3，). 1分 Sn1Sn=3(SnSn1). 即an1=3an(n=2，3，). 4分 S1=2，a1=2.又Sn1=3Sn2，a2=6.a2=3a1.5分an是以2为首项，3为公比的等比数列.6分an=23n1(n=1，2，3，). 7分()Tn=1a12a2nan=12302231n23n1,3Tn=123+2232(n1) 23n1n23n. 9分2Tn=2(13323n1)n23n=2n23n=3n(12n)1.11分Tn.13分(18)(本小题满分14分)解：()设从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛为事件A.1分 则P(A)3分 答：从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛的概率是.()解法1：设所选的3名学生均没有观看足球比赛为事件B. 4分 则P(B)，所以P()1P(B).7分 答：从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率是. 解法2：设从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛为事件C. 4分 则P(C)7分 答：从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率是.()解法1：可能取的值为0，1，2，3，4. 8分 由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为.9分所以P(0)；P(1)；P(2)；P(3)；P(4)11分随机变量的分布列为：01234P 12分所以E01234.14分解法2：由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为.8分 则随机变量B(4，).10分 所以随机变量的分布列为：01234P12分所以E np4.14分(19)(本小题满分14分)解：()当b1时，函数f (x)x2axln(x+1)，其定义域为(1，). f (x)2xa.1分函数f (x)是增函数，当x1时，f (x)2xa0恒成立. 2分 即当x1时，a2x恒成立. 当x1时，2x2(x+1)+222，且当x1时取得等号. 4分 a的取值范围为(，22. 5分()f (x)2xa，且函数f (x)在x1处取得极值，f (1)0. b2a4. 7分 此时f (x)2xa. 当1，即a6时，f (x)0恒成立，此时x1不是极值点. a6. 8分 又知a2， b2a4(a2，且b6).()由f (x)得 当a2时，1.当1x1时，f (x) 0；当x1时，f (x)0.当a2时，f (x)的单调递减区间为(1，1)，单调递增区间为(1，+). 10分当2a6时，11.当1x，或x1时，f (x)0；当x1时，f (x) 0.当2a6时，f (x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为(1，)，(1，+). 12分 当a6时，1. 当1x1，或x时，f (x)0；当1x时，f (x)0. 当a6时，f (x)的单调递减区间为(1，)，单调递增区间为(1，1)，(，). 14分 综上所述：当a2时，f (x)的单调递减区间为(1，1)，单调递增区间为(1，+)； 当2a6时，f (x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为(1，)， (1，)； 当a6时，f (x)的单调递减区间为(1，)，单调递增区间为(1，1)，(，).(20)(本小题满分14分)解：()f1(x)x2是C函数，证明如下： 对任意实数x1，x2及(0，1)， 有f1(x1+(1)x2)f1(x1)(1)f1 (x2) (x1+(1)x2)2(1) (1) (1)+2 (1)x1x2 (1)(x1x2)20. 即f1(x1+(1)x2)f1(x1)+(1)f1(x2). f1(x)x2是C函数. f2 (x)(x0)不是C函数，证明如下： 取x13，x21， 则f2(x1+(1)x2)f2(x1)(1)f2(x2) f2(2)f2(3)f2(1)0. 即f2(x1(1)x2)f2(x1)(1) f2 (x2). f2(x)(x0)不是C函数. 4分()对任意0nm，取x1m，x20，0，1. f (x)是R上的C函数，an=f(n)，且a00，am=2m， an=f (n)f (x1+(1)x2)f(x1)+(1)f(x2)2m2n. 那么Sfa1+a2+am2(1+2+m)m2+m. 可证f (x)2x是C函数，且使得an=2n(n0，1，2，m)都成立，此时Sf=m2+m. 综上所述，Sf的最大值为m2+m. 9分()假设g(x)是R上的C函数. 若存在mn且m，n0，T)使得g