李亚飞终稿论文.doc

目录中文摘要 关键词 (II)1、 绪论(1)2、预备知识(1)2.1二次型的相关定义(1)2.2 二次型的相关定理(2)3、正定二次型和正定矩阵的判定方法(7)3.1定义法(7)3.2正定二次型和正定矩阵等价判定(8)4、 正定矩阵常见的性质(12)5、 正定二次型和正定矩阵的简单应用(18)5.1解题中的应用(18)5.2极值问题中的应用(20)5.3几何中的应用(23)5.4统计中的应用 (25)6、 结论(26)参考文献(27)外文摘要 关键词()浅谈正定二次型的性质和应用数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导老师 蔡炳苓作 者 李亚飞摘要 二次型这一章节形式上在高等代数中是独立的，但它与矩阵的性质、特征值、特征向量、Math lab中矩阵的求解和线性变换等有很大的联系，并且它的求解计算等思想又丰富了矩阵的计算和解析几何中二次曲面等知识。二次型的讨论对象是二次函数，二次型在物理、统计、几何、极值等问题中有广泛的应用。其中正定二次型因其特殊的地位在许多应用和理论研究中有很大的实用价值，本文简单介绍了二次型的相关定义：如正定矩阵、特征值等；概括解题中的正定二次型和正定矩阵判定定理和等价条件：如正定矩阵顺序主子式大于零等；总结了一些性质、应用和证明；重点举例在解题中的若干定理和性质，进行了总结和推广并研究它的一些简单的应用。关键词 正定二次型，正定矩阵，可逆矩阵，主子式，特征值III1绪论在实二次型中正定二次型占有特殊的地位，正定二次型和它相互唯一决定的正定矩阵是我们探讨研究的重点，以下我们介绍二次型讨论的常用手法，指出正定二次型的地位，给出实用性较强的定理和经典例题，通过实例我们更好的了解正定二次型和正定矩阵的魅力。2预备知识2.1二次型的相关定义定义1 设是一数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式称为数域上的一个元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型定义2 设，是两组文字，系数在数域中的一组关系式称为由到的一个线性替换（简称线性替换）如果系数行列式则称线性替换是非退化的定义3 令 ，0即正定必要性：显然成立性质6 合同不改变矩阵的正定性（证明见正定二次型的定义法）性质7 时，正定证明 因为 所以是非退化的合同于单位矩阵，所以正定性质8 实对称矩阵正定，则正定，当时也可推出正定证明 正定，因为，所以正定，有归纳法得正定性质9 任个同阶实对称正定矩阵之和依然正定证明 由性质3 为同阶正定矩阵，则有 所以是正定阵性质10 任个同阶实对称正定矩阵若满足两两交换律则它们的积依然是正定阵证明 性质5 由题意知由归纳法显然正定性质11 实对称矩阵正定，且则证明 由题意知是正定的，因是正定矩阵，所以存在正交矩阵使其中是的特征根（特征根可相同）因为与可交换知，其中为阶矩阵，由于是正定矩阵，与对角矩阵相似，所以也必与对角矩阵相似，即有满秩矩阵，推论1 设证明 为正定矩阵，设的特征值为，其中且存在正交矩阵推论2 证明 性质12 设为n阶正定矩阵，则，其中为的主对角元素。 证明 设 其中为的n-1阶顺序主子式，因为正定，所以正定，存在，于是两边取行列式因为正定 所以正定， 同理 其中为的n-2级顺序主子式，所以性质13 设是实矩阵，且的元素全满足（常数），则证明 为半正定矩阵，且由引理 得 （这是不等式）性质14 正定矩阵之绝对值最大的元素必在主对角线上。证明 因为正定，从而的一切2阶主子式均大于零，当时设的主对角线上最大元素为（因为正定，），则所以中绝对值最大元素必在主对角线上我们推出，假设中绝对值最大元素为这便为矩阵的行列式值划定了一个范围，但应注意是正定矩阵例4 设是维欧式空间的个单位向量，即表示矩阵，求证的行列式的绝对值证明 由于半正定，且 由上也可推出正定矩阵对角线上的元素都大于零5 正定二次型和正定矩阵的简单应用5.1解题中的应用引理 任何可逆实方阵都可以分解为正交阵和上三角阵的乘积，其中的主对角元均为正定理1 实对称矩阵为正定阵的充要条件是存在上三角阵其中 ，使证明 必要性：由定理正定矩阵合同于单位阵，即存在可逆阵使，是实可逆阵，由引理知存在实正交阵和可逆上三角阵使,这样 知上三角阵中主对角线上元素都大于零，所以 为所求。充分性：如果，欲证对任何非零维列向量有令， 因为是可逆矩阵，由可得于是例5 但若形式为的二次型我们怎样判断它的正定性？证明 此二次型对应的矩阵为，则设的各阶顺序主子式为，则 故是正定二次型有没有什么通式或规律能直接应用来判断此二次型的正定性，现来探索一些形式例6 其中满足什么条件时，二次型是正定的？解：分两种情况（1）时，对应的矩阵为设为的第i阶顺序主子式则所以当a0，0时，为正定的（2）当时，对应的矩阵这时的各阶顺序主子式为所以当时，是正定的，（用矩阵的正定性判断二次型的正定性）5.2极值问题中的应用一元函数求极值时我们常通过求导来完成，而二元函数乃至多元函数求极值时，正定二次型和正定矩阵有其无可替代的价值我们首先看二元函数求极值问题定义 设函数 定理2 二元函数存在极值点的必要条件是，若函数现在我们假设具有二阶连续偏导数，并记称为黑塞矩阵定理3二元函数存在极值点的充分条件是，设二元函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数且是的稳定点，则当是正定矩阵时，在取得极小值，而当是负定矩阵时，在取得极大值，当是不定矩阵时，在不取极值例7 解 得 所以处处存在偏导数，所以点为唯一的极小值例8 探究的极值情况解 观察得令，猜想是正定矩阵时函数在极值点处取得极小值，是负定矩阵时函数在极值点处取得极大值现求偏导数 当与的系数无关所以猜想成立继续猜想：当元函数时，设元实函数在点的一个邻域内连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数在点近旁有性质：若正定，则点为极小值点，若负定，则点为极大值点但这只适用函数为二次的一般形式，黑塞矩阵有其更广泛的应用型现不证明例9 求的极值解： 为点，在点处所以极小值点是，极小值是例10求函数的极值解 在上有定义，且有连续的一阶、二阶偏导数.求解方程组即得到四个驻点：（2，1），（-2，-1），（2，1），（-1，-2） .进一步计算得即矩阵是正定矩阵，故（2，1）是极小值点，此时极值为-28；矩阵是负定矩阵，故（-2，-1）是极大值点，此时极值为28；矩阵，都是不定矩阵，故（1，2），（-1，-2）都不是极值点.5.3几何中的应用有些二次曲面，我们不能从函数表达式直观的看出它在直角坐标系中的立体图形的形状，我们知道正交变换和平移变换不改变图形的大小和形状，选择适当的线性变换，再进行平移变换，使它的函数表达式只含有平方项，我们便能看出二次曲面的形状非退化的线性变换不改变二次曲面的形状在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是其中不全为零，则上述方程可以写为 （1）其中就是一个二次型由于是实对称矩阵，所以存在正交矩阵，使得这里，为的特征值（均为实数）作正交变换，其中，式（1）化为 （2）令，则（2）式化为 （3）若都不为零，配方得 （4）那么，经过平移后式（4）可简化为 （5）其中若 由（5）式得令，则有（椭球面）例11用正交变换将二次曲面化为标准形并指出它的形状解：令题中式子左端的二次型为，其相应的矩阵为，则可计算得作正交变换 则上面二次曲面变为，它表示一个旋转椭球面我们探索二次曲面的形状与对称矩阵之间的关系，得若正定矩阵则对应的二次曲面都是椭球面例12 指出二次曲面在直角坐标系中的图形解： 是正定的，所以是椭球面，经验证的确是椭球面5.4统计中的应用 许多统计问题都涉及到样本点距某中心的距离，在大多数情况下，通常的欧氏距离是不能令人信服的考察维变量对应维空间的点，假设的位置可以变化，为了体现各个变量在变差大小上的不同以及有时存在的相关性，需要建立统计距离定义 设为正定矩阵，称为一种距离，对于不同的的选择，可得到不同的统计距离为考虑问题的方便，考察，而为正定矩阵的二次型6结论通过对本课题的研究，我们了解二次型中的正定二次型的研究现状，总结和探索正定二次型和正定矩阵的证明和解题方法，初步对高等代数和二次性的研究思想和理念达到更好的认识，这正是课题研究的意义所在，同时也是作者的目的。定理、性质的概括归纳不仅锻炼了我的思维逻辑能力，解决实际问题，也提高我的数学素养，对这一课题的发展提出我的见解，做出我的一点贡献。参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数（第三版）M北京：高等教育出版社，2003：205-2322 钱吉林高等代数题解精粹（第二版）M 武汉：中央民族大学出版社，2010：185-2243 张志让，刘启宽线性代数与空间解析几何（第二版）M高等教育出版社，20094 俞正光，何坚勇，王飞燕线性代数与空间解析几何M科学出版社，20035 Horn, Roger A Johnson, Charles. Matrix AnalysisR. Cambridge University Press, 1985:ISBN978-0-521-38632-6. 6 Rajendra Bhatia. Positive definite matrices. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007: ISBN 978-0691129181.Discussion of the nature and application ofPositive definite quadratic form Abstract Quadratic form is an independent section in advanced algebra, but it has great connections with property of the matrix, eigenvalues, eigenvectors, calculation of the matrix in math lab and linear transformation and so on. Whats more，the solution and calculation of quadratic form also enrich the calculation of the matrix and the knowledge of quadric surface in analytic geometry and so on. The discussion of quadratic function is quadratic form. Quadratic form in physics, statistics, geometry, extremum and other issues has a wide range of applications. Positive definite quadratic in many applications and theoretical studies has great practical value because of their special status. The paper introduces the related definitions of quadratic form, such as positive definite matrix and eigenvalues and so on. The paper generalizes the decision theorem and equivalent conditions of positive definite quadratic and positive definite matrices in solving problems, such as order of principal minors of positive definite matrix is greater than zero and so on. The paper summarizes some properties, applications and certification. The pape